2020_2021學年高中數(shù)學第三章三角恒等變換3.2簡單的三角恒等變換一課件新人教A版必修420210305115

1、3.2簡單的三角恒等變換(一),必備知識自主學習,半角公式:,【思考】 (1)半角公式是由以前學習過的哪些公式推導來的?如何推導的? 提示:二倍角的余弦公式.推導如下:在二倍角公式cos 2=1-2sin2 =2cos2-1中,以代替2,以 代替, 即得:cos =1-2sin2 =2cos2 -1. 所以sin2 = ,cos2 = , tan2 = .開方可得半角公式.,(2)半角公式中的正負號能否去掉?該如何選擇? 提示:不能.若沒有給出決定符號的條件,則在根號前保留正負兩個符號; 若給出的具體范圍(即某一區(qū)間)時,則先求 所在范圍, 然后根據(jù) 所在范圍選用符號.,(3)半角公式對R都成

2、立嗎? 提示:公式 對R都成立,但公式 要求(2k+1)(kZ).,【基礎(chǔ)小測】 1.辨析記憶(對的打“”,錯的打“”) (1) () (2)存在R,使得cos cos . () (3)對于任意R,sin sin 都不成立. () (4)若是第一象限角,則tan . (),提示:(1).只有當 (kZ), 即-+4k+4k(kZ)時, (2).當cos =- +1時,上式成立,但一般情況下不成立. (3).當=2k(kZ)時,上式成立,但一般情況下不成立. (4).若是第一象限角,則 是第一、三象限角,此時tan = 成立.,2.(教材二次開發(fā):例題改編)已知cos = , , 則sin 等于

3、() 【解析】選A.由題知,3.已知24,且sin =- ,cos 0,則tan 的值等于_. 【解析】由sin =- ,cos 0得cos =- , 所以 答案:-3,關(guān)鍵能力合作學習,類型一利用半角公式求值(數(shù)學運算、直觀想象) 角度1給角求值 【典例】求值:(1)sin =_.(2)tan =_. 【思路導引】利用半角公式求解.,【解析】(1) (2)tan 答案:(1) (2) -1,【變式探究】 設(shè)a= cos 6- sin 6,b= ,c= 則有() A.abcB.abc C.acb D.bca 【解析】選C.a=sin 30cos 6-cos 30sin 6=sin 24, b=

4、sin 26,c=sin 25,所以acb.,角度2給值求值 【典例】已知sin =- , ,求 的值. 【思路導引】利用半角公式求解. 【解析】因為 ,sin =- , 所以cos =- ,且 ,所以,【解題策略】 利用半角公式求值的思路 (1)看角:若已知三角函數(shù)式中的角是待求三角函數(shù)式中角的兩倍,則求解時常常借助半角公式求解. (2)明范圍:由于半角公式求值常涉及符號問題,因此求解時務(wù)必依據(jù)角的范圍,求出相應(yīng)半角的范圍.,(3)選公式:涉及半角公式的正切值時,常用tan = ,其優(yōu)點 是計算時可避免因開方帶來的求角的范圍問題;涉及半角公式的正、余弦值時, 常先利用sin2 ,cos2 計

5、算. (4)下結(jié)論:結(jié)合(2)求值.,【題組訓練】 1.求值: =() A.1B.2C. D. 【解析】選C.原式=,2.(2020聊城高一檢測) 若 ,則 等于() A.cos -sin B.cos +sin C.-cos +sin D.-cos -sin 【解析】選D.因為 ,所以sin 0, cos 0,則 =|cos |-|sin |=-cos -sin .,3.設(shè)2,cos =a,求: (1)sin 的值;(2)cos 的值;(3)sin2 的值. 【解析】(1)因為2,所以 .又因為cos =a, 所以sin = 所以sin =2sin cos =2a (2)cos =2cos2

6、-1=2a2-1. (3)sin2,類型二三角函數(shù)式的化簡(直觀想象、數(shù)學運算) 【典例】1.設(shè)56,cos =a,則sin 等于() 2.化簡: =_. 3.已知 ,化簡:,【思路導引】注意分析角之間的關(guān)系,利用半角、倍角及兩角差的正弦公式化簡求值.,【解析】1.選D.因為56,所以 所以 2.原式= 答案:2 cos ,3.原式= 因為0, 所以原式=,【解題策略】 化簡問題中的“三變” (1)變角:三角變換時通常先尋找式子中各角之間的聯(lián)系,通過拆、湊等手段消除角之間的差異,合理選擇聯(lián)系它們的公式. (2)變名:觀察三角函數(shù)種類的差異,盡量統(tǒng)一函數(shù)的名稱,如統(tǒng)一為弦或統(tǒng)一為切. (3)變式

7、:觀察式子的結(jié)構(gòu)形式的差異,選擇適當?shù)淖冃瓮緩?如升冪、降冪、配方、開方等.,【跟蹤訓練】 1.化簡: =_. 【解析】原式= 答案: cos 2x,2.(2020本溪高一檢測)化簡:,【解析】原式= 又因為180360,所以90 180,所以cos 0, 所以原式= =cos .,類型三三角恒等式的證明(數(shù)學建模、邏輯推理) 【典例】證明 【思路導引】方法一:從右邊入手,切化弦,推導出左邊. 方法二:從左邊入手,分子分母運用二倍角公式的變形,降倍升冪,弦化切,得到右邊.,【證明】方法一:右邊= 由左右兩邊的角之間的關(guān)系,想到分子分母同乘以cos +sin , 得 =左邊.所以原等式成立.,方

8、法二: 左邊= 由兩邊三角函數(shù)的種類差異,想到弦化切,即分子分母同除以cos , 得 =右邊.所以原等式成立.,【解題策略】 關(guān)于證明三角恒等式的原則 (1)由繁到簡:一般由式子較復雜的一邊向較簡單的一邊化簡證明. (2)兩邊夾:對于式子兩邊都比較復雜的式子,則采取兩邊同時化簡,找到一個共同的“第三者”從而證明等式成立. (3)變角:觀察角的關(guān)系是由“單”到“倍”,還是由“倍”到“單”,或是需消去一個角,從而采取不同的變換. (4)變名:觀察函數(shù)名稱的關(guān)系,采用弦切互化,降冪等方法,實現(xiàn)三角函數(shù)名稱的變換.,【跟蹤訓練】 求證: 【證明】左邊= 所以原等式成立.,【延伸拓展】 積化和差公式 s

9、in cos = cos sin = sin(+)-sin(-); cos cos = cos(+)+cos(-); sin sin =- cos(+)-cos(-).,和差化積公式 sin +sin =2sin cos , sin -sin =2cos sin , cos +cos =2cos cos , cos -cos =-2sin sin .,已知sin(+)= ,sin(-)= ,則sin cos =_. 【解析】sin cos = sin(+)+ sin(-)= 答案:,1.(教材二次開發(fā):例題改編)已知180360,則cos 等于() 【解析】選C.因為180360,所以90 1

10、80,cos 0, 又cos2 = ,所以cos =,課堂檢測素養(yǎng)達標,2.已知(,2),則 等于() A.sin B.cos C.-sin D.-cos 【解析】選D.因為(,2), 所以 所以,3.化簡: =_. 【解析】原式= 因為 0, 故原式=sin . 答案:sin,4.在ABC中,4sin A+3cos B=5,4cos A+3sin B=2 ,求角C.,【解析】由4sin A+3cos B=5,可得16sin2A+9cos2B+ 24sin Acos B=25., 由4cos A+3sin B=2 , 可得16cos2A+9sin2B+24sin Bcos A=12., 用+可得25+24(sin Acos B+sin Bcos A)=37,因為sin Aco