復(fù)變函數(shù)與積分變換(修訂版-復(fù)旦大學(xué))課后的第三章習(xí)題答案

1、復(fù)變函數(shù)與積分變換（修訂版）課后答案（復(fù)旦大學(xué)出版社）習(xí)題三1. 計算積分,其中C為從原點(diǎn)到點(diǎn)1+i的直線段.解 設(shè)直線段的方程為,則. 故 2. 計算積分，其中積分路徑C為(1) 從點(diǎn)0到點(diǎn)1+i的直線段;(2) 沿拋物線y=x2，從點(diǎn)0到點(diǎn)1+i的弧段.解 (1)設(shè). (2)設(shè). 3. 計算積分，其中積分路徑C為(1) 從點(diǎn)-i到點(diǎn)i的直線段;(2) 沿單位圓周|z|=1的左半圓周，從點(diǎn)-i到點(diǎn)i;(3) 沿單位圓周|z|=1的右半圓周，從點(diǎn)-i到點(diǎn)i.解 (1)設(shè). (2)設(shè). 從到(3) 設(shè). 從到6. 計算積分,其中為.解 在所圍的區(qū)域內(nèi)解析從而故7. 計算積分,其中積分路徑為（1）

2、 （2） （3） （4）解：（1）在所圍的區(qū)域內(nèi)，只有一個奇點(diǎn).（2）在所圍的區(qū)域內(nèi)包含三個奇點(diǎn).故（3）在所圍的區(qū)域內(nèi)包含一個奇點(diǎn),故（4）在所圍的區(qū)域內(nèi)包含兩個奇點(diǎn),故10.利用牛頓-萊布尼茲公式計算下列積分. (1) (2) (3) (4) (5) (6) 解 (1)(2)(3) (4) (5) (6) 11. 計算積分,其中為(1) (2) (3) 解 (1) (2) (3) 16. 求下列積分的值,其中積分路徑C均為|z|=1. (1) (2) (3) 解 (1) (2)(3) 17. 計算積分,其中積分路徑為(1)中心位于點(diǎn),半徑為的正向圓周(2) 中心位于點(diǎn),半徑為的正向圓周解：

3、(1) 內(nèi)包含了奇點(diǎn)(2) 內(nèi)包含了奇點(diǎn),19. 驗(yàn)證下列函數(shù)為調(diào)和函數(shù).解(1) 設(shè), 從而有,滿足拉普拉斯方程,從而是調(diào)和函數(shù).(2) 設(shè), 從而有,滿足拉普拉斯方程,從而是調(diào)和函數(shù). ,滿足拉普拉斯方程,從而是調(diào)和函數(shù).20.證明:函數(shù),都是調(diào)和函數(shù),但不是解析函數(shù)證明: ,從而是調(diào)和函數(shù). ,從而是調(diào)和函數(shù).但 不滿足C-R方程,從而不是解析函數(shù).22.由下列各已知調(diào)和函數(shù),求解析函數(shù)(1) (2)解 (1)因?yàn)?所以 令y=0,上式變?yōu)閺亩?2) 用線積分法，?。▁0,y0）為(1,0)，有由，得C=023.設(shè),其中各不相同，閉路C不通過,證明積分等于位于C內(nèi)的p(z)的零點(diǎn)的個數(shù).證明: 不妨設(shè)閉路C內(nèi)的零點(diǎn)的個數(shù)為k, 其零點(diǎn)分別為24.試證明下述定理(無界區(qū)域的柯西積分公式): 設(shè)f(z)在閉路C及其外部區(qū)域D內(nèi)解析，且，則其中G為C所圍內(nèi)部區(qū)域.證明：在D內(nèi)任取一點(diǎn)Z，并取充分大的R，作圓CR: ，將C與Z包含在內(nèi)則f(z)在以C及為邊界的區(qū)域內(nèi)解析，依