2019年全國II卷理科數(shù)學(xué)高考真題

1、2019 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)本試卷共5 頁。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。注意事項(xiàng)：1答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2選擇題必須使用2B 鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5 毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12 小題，每小題5 分，共 60 分 在每

2、小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 。1設(shè)集合A= x|x25x+60 ， B= x|x1b，則Aln( a b)0B3a0D a b7設(shè) ， 為兩個平面，則 的充要條件是A 內(nèi)有無數(shù)條直線與 平行B 內(nèi)有兩條相交直線與 平行C， 平行于同一條直線D ，垂直于同一平面8若拋物線 y2=2px(p0) 的焦點(diǎn)是橢圓x 2y23 p1 的一個焦點(diǎn)，則 p=pA 2B 3C4D 89下列函數(shù)中，以為周期且在區(qū)間 (，)單調(diào)遞增的是242A f(x)= cos2xB f(x)= sin2xCf(x)=cos xD f(x)=sin x10已知 (0 ，)， 2sin2=cos2+1，則 s

3、in=2A1B 555C3D 25352211設(shè) F 為雙曲線 C：x2y21(a 0, b 0)的右焦點(diǎn)， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 OF 為直徑的圓與圓 x2y2a2ab交于PQ兩點(diǎn)若PQOF ，則C的離心率為，A 2B 3C2D 512設(shè)函數(shù) f ( x) 的定義域?yàn)?R ，滿足 f (x1) 2 f (x) ，且當(dāng) x(0,1 時， f (x) x(x 1) 若對任意x(, m ，都有 f (x)8，則 m 的取值范圍是9A 9B 7,43C, 5D , 823二、填空題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分 。13我國高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn)經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10

4、個車次的正點(diǎn)率為 0.97，有20 個車次的正點(diǎn)率為 0.98，有 10 個車次的正點(diǎn)率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為 _ 14已知 f ( x) 是奇函數(shù)，且當(dāng) x 0 時， f ( x)eax .若 f (ln 2)8 ，則 a_ 15 ABC 的內(nèi)角 A, B,C 的對邊分別為 a, b, c .若 b 6, a 2c, BABC 的面積為 _，則316中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體 ”（圖 1）半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體半正多面體體

5、現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美圖2 是一個棱數(shù)為48 的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1則該半正多面體共有 _個面，其棱長為 _（本題第一空 2 分，第二空3 分）三、解答題：共70 分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721 題為必考題，每個試題考生都必須作答第 22、23 為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60 分。17（ 12 分）如圖，長方體ABCD A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，點(diǎn)E 在棱 AA1 上， BE EC1（ 1）證明： BE平面 EB1 C1；（ 2）若 AE=A1E，求二面角 BECC1 的正弦值18（ 12

6、 分）11 分制乒乓球比賽，每贏一球得1 分，當(dāng)某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2 分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨(dú)立.在某局雙方10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X 個球該局比賽結(jié)束 .（ 1）求 P（X=2 ）；（ 2）求事件 “X=4 且甲獲勝 ”的概率 .19（ 12 分）已知數(shù)列 an 和 bn 滿足 a1=1，b1=0 ， 4an 13anbn4 ， 4bn 13bnan4 .（ 1）證明： an+bn 是等比數(shù)列， anbn 是等差數(shù)列；（ 2）求 an 和 b

7、n 的通項(xiàng)公式 .20（ 12 分）已知函數(shù)x1f x ln x.x 1（ 1）討論 f(x)的單調(diào)性，并證明 f(x)有且僅有兩個零點(diǎn)；（ 2）設(shè) x0 是 f(x)的一個零點(diǎn)，證明曲線y=lnx 在點(diǎn) A(x0 ，ln x0)處的切線也是曲線yex 的切線 .21（ 12 分）已知點(diǎn) A(- 2,0)， B(2,0)，動點(diǎn) M(x,y)滿足直線 AM 與 BM 的斜率之積為 -1.記 M 的軌跡為曲線 C.2（ 1）求 C 的方程，并說明C 是什么曲線；（ 2）過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C 于 P，Q 兩點(diǎn)，點(diǎn) P 在第一象限， PE x 軸，垂足為 E，連結(jié) QE 并延長交C于點(diǎn) G.（ i）證

8、明： PQG 是直角三角形；（ ii ）求 PQG 面積的最大值 .（二）選考題：共10 分 。 請考生在第22、 23 題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22 選修4 4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（10 分）在極坐標(biāo)系中，O 為極點(diǎn)，點(diǎn)M (0 ,0 )(00) 在曲線C :4sin上，直線l 過點(diǎn)A(4,0)且與OM垂直，垂足為P.（ 1）當(dāng)0 =3時，求0 及l(fā) 的極坐標(biāo)方程；（ 2）當(dāng)M 在C 上運(yùn)動且P 在線段OM上時，求P 點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程.23 選修4 5：不等式選講（ 10 分）已知f ( x)| xa | x| x2 | ( xa).（ 1）當(dāng)a1時，求不等式f (

9、 x)0 的解集；（ 2）若x(,1) 時，f (x)0，求a 的取值范圍.2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)參考答案1 A2 C3 C4 D5 A6 C7 B8 D9 A10 B11 A12 B13 0.9814 315 6316 26； 2 117解：（1）由已知得， B1C1平面 ABB1 A1 ， BE 平面 ABB1 A1 ，故 B1C1BE 又 BE EC1 ，所以 BE 平面 EB1C1 （ 2）由（ 1）知 BEB1 90由題設(shè)知 RtABE Rt A1B1E ，所以AEB 45 ，故 AE AB， AA12AB 以 D 為坐標(biāo)原點(diǎn)，uuuruuurDxyz，DA

10、的方向?yàn)?x軸正方向， | DA |為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系uuuruuur則 C（ 0， 1， 0）， B（ 1， 1， 0）， C1 （ 0， 1， 2）， E（ 1，0，1）， CB(1,0,0) ， CE(1, 1,1)，uuuurCC1(0,0,2) 設(shè)平面 EBC的法向量為 n=（ x， y， x），則uuur0,x0,CB nuuur0,即y z 0,CE nx所以可取 n= (0,1, 1) .設(shè)平面 ECC1 的法向量為 m=（ x， y， z），則uuuur2 z0,CC1 m0,uuur即xy z0.CE m0,所以可取 m=（ 1， 1， 0）于是 cos

11、n, mn m1 | n | m |2所以，二面角 BECC1 的正弦值為3 218解：（ 1） X=2就是 10 10平后，兩人又打了2個球該局比賽結(jié)束，則這2個球均由甲得分，或者均由乙得分因此 P（ X=2）=0.5 0.4+（ 10.5）（ 10.4） =0.5 （ 2） X=4且甲獲勝，就是 10 10平后，兩人又打了 4個球該局比賽結(jié)束，且這 4個球的得分情況為：前兩球是甲、乙各得 1分，后兩球均為甲得分因此所求概率為 0.5 （ 10.4） +（ 10.5） 0.4 0.5 0.4=0.119解：（1）由題設(shè)得 4(an1bn 1 )2( anbn ) ，即 an 1bn 11 (

12、an bn ) 2又因?yàn)?a1+b1=l ，所以anbn是首項(xiàng)為 1，公比為1 的等比數(shù)列2由題設(shè)得 4( an 1 bn 1 )4(anbn )8，即 an 1bn 1an bn2 又因?yàn)閍1b1=l ，所以ab是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列nn21anbn1bn2n1（ ）由（ ）知，n 1 ， an2所以 an1 ( anbn ) (an bn )1n1 ，22n21( an bn ) (anbn )1n1bn2n2220解：（ 1） f（ x）的定義域?yàn)椋?， 1） U （ 1， +）120 ，所以 f (x) 在（ 0，1），（ 1， +）單調(diào)遞增因?yàn)?f ( x)( x1)2x因?yàn)?/p>

13、 f（ e）= 1e10 ， f (e2 )2e21e230 ，所以 f（ x）在（ 1， +）有唯一零點(diǎn)x1，e1e21e21即 （f x1011， f ( 1 )ln xx11f ( x ) 0 ，故 f（ x）在（ 0，1）有唯一零點(diǎn)1）=0又x1x11x111x1綜上， f（ x）有且僅有兩個零點(diǎn)1eln x01）在曲線 y=ex 上（ 2）因?yàn)?x0，故點(diǎn)B（ lnx0， x011x01x01ln x0x0x011由題設(shè)知 f ( x0 )，故直線 ABx00 ，即 ln x01的斜率 kx01x0ln x0 x0x0x01x0曲線 y=ex在點(diǎn) B(ln x0 , 1 ) 處切線的

14、斜率是1，曲線 yln x 在點(diǎn) A( x0,ln x0 ) 處切線的斜率也是1，x0x0x0所以曲線 yln x 在點(diǎn) A(x0 ,ln x0 )處的切線也是曲線y=ex 的切線21解：（ 1）由題設(shè)得yy1 ，化簡得 x2y21(| x | 2) ，所以 C 為中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦x 2 x2242點(diǎn)在 x 軸上的橢圓，不含左右頂點(diǎn)（ 2）（ i）設(shè)直線 PQ 的斜率為 k，則其方程為ykx(k0) ykx2由 x2y2得 x112k 242記 u2，則 P(u, uk ), Q(u,uk ), E(u,0) 12k 2于是直線 QG 的斜率為 k ，方程為 yk ( xu) 22yk (

15、x由2y 2x242u),得1(2k 2 ) x22uk 2 xk 2u 28 0設(shè) G (xG , yG ) ，則u 和 xG 是方程的解，故xGu(3k 22) ，由此得 yGuk 32 k 22 k 2uk3uk1從而直線 PG 的斜率為2k 2u(3k 22)uk2k 2所以 PQPG ，即 PQG是直角三角形（ ii）由（ i）得|PQ|2u 1k2，|PG|2ukk 21 ，所以 PQG 的面積2k 211PG |8k (1k2 )8( kk)S|PQ(12k 2 )(2k 2 )1212(k )2k設(shè) t=k+1 ，則由 k0 得 t2，當(dāng)且僅當(dāng) k=1 時取等號k因?yàn)?S18t在 2， +）單調(diào)遞減，所以當(dāng)t=2，即 k=1 時， S 取得最大值，最大值為16 2t 29因此， PQG 面積的最大值為 16 922解：（ 1）因?yàn)?M0, 0 在C上，當(dāng)03時，04sin2 3 3由已知得 |OP | | OA | cos2 3設(shè) Q (, ) 為 l上除 P的任意一點(diǎn)在Rt OPQ 中，cos|OP |2 ，3經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)P(2,) 在曲線cos2 上33所以， l 的極坐標(biāo)方程為cos32 （ 2）設(shè) P( , ) ，在 RtOAP 中， | OP | |OA | cos4cos,