高中物理論文：渡河模型透析

1、渡河模型透析摘 要：全面解析渡河問題，通過對渡河情景中的極值問題、軌跡問題與牽引渡河中的分解方法等問題的分析，充分展現(xiàn)運動合成與分解在研究復(fù)雜運動上的重要意義和分析的策略關(guān)鍵詞：渡河問題運動合成與分解一、渡河問題分析的理論依據(jù)渡河問題是運動合成與分解的典型模型對渡河問題的深入研究，有利于對運用運動合成與分解的方法分析復(fù)雜運動的理解，有利于對運用運動合成與分解分析復(fù)雜運動策略的把握對渡河問題的研究，首先應(yīng)能正確區(qū)分合運動與分運動可以借助于控制變量法，比如先假定河水不流動，而小船運動，可以判斷出小船將沿船頭指向的方向行駛；再假定小船不動，而河水流動，小船將沿水流方向以水流的速度順?biāo)饔纱丝梢耘卸?/p>

2、小船實際的運動可以分解為以下兩個分運動：沿船頭指向的運動和沿水流方向的運動在明確渡河問題合運動和分運動的基礎(chǔ)上，還必須把握合運動與分運動之間的關(guān)系如獨立性原則、等時性特征、等效性結(jié)局等1獨立性原則：一個物體同時參與幾個分運動，各分運動獨立進行，互不干擾例如，小船渡河時，如果水流速度發(fā)生變化，只影響小船沿河岸的分運動，不影響小船向?qū)Π秳澬械乃俣?，即不影響小船的渡河時間2等時性特征：合運動與分運動經(jīng)歷的時間相等，即同時開始、同時進行、同時結(jié)束例如，小船渡河時，小船即隨水流向下游運動，又相對水向?qū)Π秳澬挟?dāng)小船在下游某處到達對岸時，這兩個分運動也同時結(jié)束，兩分運動所用時間相同3等效性結(jié)局：各分運動合成

3、的效果與合運動的效果完全相同各個分運動的位移、速度和加速度的矢量和分別等于合運動的位移、速度和加速度二、渡河問題中的三個極值問題以下對渡河問題的討論中，均設(shè)船相對水的速度為v船（即船在靜水中的速度）， 水的流速為v水（即水對河岸的速度），船的合速度為v（即船對地的速度，其方向就是船的實際航向）， 并設(shè)河的寬度為d1尋求最短渡河時間當(dāng)船頭垂直河岸時，渡河時間最短，且有渡河時間與水的流速無關(guān)的特征圖1v2v1v水v船ad求證如下：設(shè)v船與水平方向的夾角為a，如圖1所示，將此速度分解為垂直于河岸的v1和沿河岸方向的v2根據(jù)運動的獨立性原則可知，沿河岸方向船的速度為v= v水v2，垂直于河岸方向的速度

4、為v= v1，所以渡河時間t= d/v1= d/v船sina，故角度a越大，所用時間越小，當(dāng)a= 90時，有最短渡河時間tmin= d/v船所以當(dāng)船頭垂直河岸時，有最短的渡河時間水的流速會影響到達對岸的位置，但對渡河的時間不造成影響v合v水v船 a d圖22尋求渡河最小位移（1）當(dāng)v船 v水時，由矢量合成可知，船的合速度可以垂直于河岸，如圖2所示顯然此時有最小的渡河位移，等于河寬，即smin= l圖3pv合v水v船 a d（2）當(dāng)v船 v水時，當(dāng)船頭指向與船的合速度方向垂直時，即v船v 時，渡河位移最小在v船 v水的條件下，v合不可能垂直指向?qū)Π秜船、v水和v合構(gòu)成的矢量三角形如圖3所示以v船

5、為半徑做圓（見圖3中虛線圓），無論船頭指向何方，v合的矢量末端必定在此圓周上，所以當(dāng)v合的方向和圓相切時有最小位移由圖可得smin= d/sin（90a）= dv船/v水（3）當(dāng)v船= v水時，隨著兩者夾角的增大，v合逐漸向垂直于河岸的方向靠攏，表明最小位移即將浮出水面當(dāng)兩者的夾角趨向180時，最小位移趨向于河岸的寬度d但此時的合速度也趨向于零，渡河的時間自然趨向無窮大從實際情況而言，顯然是沒有任何意義的也有人提出當(dāng)船頭垂直于河岸航行時，船具有最小的航行時間，即t= d/v船，且河寬d又是一定的，所以此時船的位移是兩個最小分位移的矢量和圖4vv水v船 a d 所以smin=雖然此情景中船具有最

6、小的航行時間，但河岸方向上的速度并非最小，顯然并非是正確的解答我們可以設(shè)船頭與河岸的夾角為a，如圖4所示，圖中合速度v的方向與垂直河岸的方向夾角為，可求得= a/2根據(jù)圖示求得渡河時的合速度與夾角的函數(shù)關(guān)系，v=；渡河發(fā)生的位移與夾角的函數(shù)關(guān)系，s；渡河所用時間與夾角的函數(shù)關(guān)系，t并設(shè)河寬為20m，v船= 2m/s利用excel制作渡河位移與夾角的變化圖線和時間與夾角的圖5位移 時間 變化圖線，如圖5所示鑒于夾角過小時，時間趨向無窮大；夾角過大時，時間和位移均趨向無窮大，失去了實際研究的意義所以圖線的描繪中設(shè)置船頭與河岸的夾角在的范圍內(nèi)，縱坐標(biāo)以弧度為單位通過圖線可以明確，當(dāng)v船= v水時，尋

7、求渡河最小位移失去了實際的意義，不妨根據(jù)圖線探討有效渡河的問題，本文只點到此處可見，對物理問題的研究，不能不依據(jù)實際情況而僅靠數(shù)學(xué)的推理，也不能僅為了獲得一個結(jié)果而放棄對實際情景的分析圖6avminbcv水v船 a3尋求渡河最小速度問題界定于小船以勻速渡河，且終點位于下游的某處如圖6所示，以a為起點，終點c離起點正對面的b點的距離設(shè)為s由于船沿ac連線運動，所以合速度v的方向自a向c，從矢量圖解中可以看出當(dāng)船頭垂直于航向，即v船的方向垂直于ac連線時，有最小速度vmin此時船頭與河岸的夾角tana= s/d，由幾何關(guān)系得vmin=三、渡河情景中的運動軌跡圖7（a）a船v合v船v水v船a船v合v

8、水（b）船的運動軌跡由水流的運動情況和船在靜水中的運動情況而定本文中僅限于討論水流恒定的情況如果船在靜水中的速度不變，則合運動必為勻速直線運動如果船在靜水中的速度發(fā)生變化，如啟動或制動的過程中，則船做曲線運動根據(jù)曲線運動的知識可知，船的軌跡將向加速度一側(cè)偏轉(zhuǎn)如圖7（a）、（b）所示在擺渡中對該問題的研究有著現(xiàn)實的意義圖8av四、牽引渡河的運動分解如圖8所示，一個人在有一定高度的河岸上，以恒定的速度v 沿水平方向運動，并通過繩、定滑輪牽引船向岸邊運動試證明：船靠岸的速度u總是大于繩牽引的速度v圖9v2uv1a求證如下：如圖8所示，設(shè)某一時刻繩與水平方向的夾角為a船水平向右的靠岸速度u（即合速度）有兩個效果：一是使繩上各點沿繩方向平動，二是使繩繞定滑輪逆時針方向轉(zhuǎn)動因此，船速u可分解為平行繩的分量v和垂直繩的分量v，如圖9所示根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系，得u= v/cosa，所以船靠岸的速度u總是大于繩牽引的速度v根據(jù)a角度的增大，可知船是加速靠岸，直至a=90，船靠岸的速度才等于繩牽引的速度合速度按平動、轉(zhuǎn)動兩效果分解，以確定合速度與分速度的大小關(guān)系是此類問題解答的關(guān)鍵我們也可以如下求證：設(shè)t