線性代數(shù)第一章知識點總結(jié)精選

1、. ,. , 21 個分量稱為第個數(shù)第 個數(shù)稱為該向量的分量這維向量數(shù)組稱為 所組成的個有次序的數(shù) i a i nn aaa n i n ? 分量全為實數(shù)的向量稱為 實向量 分量全為復(fù)數(shù)的向量稱為 復(fù)向量 向量的定義 定義 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a a a a n n ? 2 1 ,即稱為列向量維向量寫成列的形式 ?aaaa n n T , , 21 ? 即稱為行向量維向量寫成行的形式 向量的相等 ),2 , 1( ),(),( 2121 ni baba bbbbaaaa ii TT n T n T ? ? ? ? 則 設(shè) 零向量 分量全為0的向量稱為零向

2、量 ), 2 , 1(0ni a O ai T ? ), 2 , 1 ( , 0ni a O ai T ?中至少有一個不為 負(fù)向量 ).,( ,),( 21 21 aaaa aaaaa n T T n T ? ? ? ? ? ? ?且的負(fù)向量記作向量 向量加法向量加法 ),( : ),(),( 2211 2121 babababa ba bbbbaaaa nn TT TT n T n T ? ? ? ? 的加法為與向量 定義設(shè) ),( 2211babababann TT ? 向量減法定義為 向量的線性運算 數(shù)乘向量 ),( , , 21a k a k a k a k a k n T T ? 定

3、義為簡稱數(shù)乘向量 稱為向量的數(shù)量乘法的乘積與向量數(shù) 向量加法和數(shù)乘向量運算稱為向量的 線性運 算，滿足下列八條運算規(guī)則： ;)1(?加法交換律 );()()2(?加法結(jié)合律 ;,)3(? ? O 有對任一個向量 ;)( ,)4( O? ? ? ?有存在負(fù)向量對任一個向量 ;1)5(? ;)()()6(?kllk?數(shù)乘結(jié)合律 ;)()7(?kkk?數(shù)乘分配律 .)()8(?lklk?數(shù)乘分配律 ., 1 ,為零向量為數(shù)維向量為其中Olkn? 除了上述八條運算規(guī)則，顯然還有以下性質(zhì)：除了上述八條運算規(guī)則，顯然還有以下性質(zhì)： );,0(,0 ) 1(為任意數(shù)為數(shù)零其中kOkOO? ;, 0,) 2(

4、OkOk?或者則或者若 .) 3(?xx有唯一解向量方程 若干個同維數(shù)的列（行）向量所組成的集合若干個同維數(shù)的列（行）向量所組成的集合 叫做向量組 定義 . , , ,: 21 2211 21 21 這個線性組合的系數(shù) 稱為的一個線性組合稱為向量組 向量實數(shù) 對于任何一組給定向量組 kkk A akakak kkk aaa A m mm m m ? ? ? ? ? 線性組合 定義定義 . , , , ,: 2211 21 21 線性表示由向量組 能這時稱向量的線性組合是向量組則向量 使存在一組實數(shù) 如果和向量給定向量組 A bAb akakak b kkk b aaa A mm m m ? ?

5、 ? 線性表示 定理 .), ,(),( 2 121 的秩 的秩等于矩陣件是矩陣 線性表示的充分必要條能由向量組向量 b aa a B aaa A Ab m m ? ? 定義 . , ., , ,:,: 2 121 兩個向量組等價 則稱這能相互線性表示與向量組若向量組 線性表示能由向量組則稱向量組線性表示 向量組組中的每個向量都能由若 及設(shè)有兩個向量組 BA AB AB bb b B aaa A s m ? ? 定義 ., , 0 , ,: 2211 21 21 否則稱它線性無關(guān)是線性相關(guān)的則稱向量組 使為零的數(shù) 如果存在不全給定向量組 A akakak kkk aaa A mm m m ?

6、? ? 線性相關(guān) 定理 .)( ; ),( , 21 21 mAR m aaa A aaa m m ? ? 是 必要條件向量組線性無關(guān)的充分于向量個數(shù) 的秩小條件是它所構(gòu)成的矩陣 線性相關(guān)的充分必要向量組 ? ? 定理定理 ., ,.,: ,:)1( 121 21 也線性無關(guān)則向量組線性無關(guān)向量組 若反言之也線性相關(guān)量組 則向線性相關(guān)若向量組 AB aaaa B aaa A mm m ? ? ? 若向量量添上一個分量后得到向即向量 設(shè) . ), 2 , 1( ,)2( , 1 1 1 ba mj a a a b a a a jj jr rj j j rj j j ? ? ? ? ? ? ? ?

7、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . ,., ,:,: 2121 也線性相關(guān)則向量組 線性相關(guān)若向量組反言之也線性無關(guān) 則向量組線性無關(guān)組 A B b bb B aaa A m m ? ? . ,)3( 時一定線性相關(guān)向量個數(shù) 小于當(dāng)維數(shù)維向量組成的向量組個 m nnm 定義定義 滿足 個向量中能選出如果在設(shè)有向量組 , , 2 1 aa a rAA r ? ;,:)1( 210 線性無關(guān)向量組 aaaA r ? ,) 1(1)2( 都線性相關(guān)個向量的話 中有如果個向量中任意向量組?rArA . );( 0 的秩稱為向量組量個數(shù) 最大無關(guān)

8、組所含向簡稱最大無關(guān)組無關(guān)向量組 的一個最大線性是向量組那么稱向量組 Ar A A 向量組的秩 等價的向量組的秩相等 定理 矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于 它的行向量組的秩 定理 設(shè)向量組B能由向量組A線性表示，則向量 組B的秩不大于向量組 A的秩 推論 推論 ).()(),()( , BRCRARCR BACnssmnm ? ? ? 則設(shè) 推論（最大無關(guān)組的等價定義） 設(shè)向量組 是向量組 的部分組，若向量組 線性無關(guān)，且向量組 能由向量組 線性表示， 則向量組 是向量組 的一個最大無關(guān)組 BA BA B B A ., ;,: , VaRV aVbaVbVa V ? ? ?則 若則若數(shù)乘

9、兩種運算 中可以進(jìn)行加法及是指在集合所謂封閉 向量空間 定義定義 設(shè) 為 維向量的集合，如果集合 非空，且 集合 對于加法及數(shù)乘兩種運算封閉，那么就稱集 合 為向量空間 V V V V n 定義定義 . , 2 12121 的子空間是 就稱若及設(shè)有向量空間 V VVVVV? ? 子空間 定義定義 ., , ,)2( ;,)1( , , 1 21 21 21 維向量空間為并稱的維數(shù)稱為向量空間 的一個基就稱為向量空間向量組那么 線性表示中任一向量都可由 線性無關(guān) 且滿足 個向量如果為向量空間設(shè) rVVr V aa aaa V aaa V a aa rV r r r r ? ? ? ? ? 基與維

10、數(shù) . 0 . 0, O V 量空間只含一個零向量量空間只含一個零向量 維向的維數(shù)為的維數(shù)為那么若向量空間沒有基若向量空間沒有基 . , , 的秩 的維數(shù)就是向量組組向量組的最大線性無關(guān) 的基就是則看作向量組若把向量空間 V VV 的系數(shù)矩陣和未知量為 記齊次線性方程組 )1( , 0 , 0 , 0 2211 2222121 1212111 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? xaxaxa xaxaxa xaxaxa nmnmm nn nn ? ? ? ? 向量方程 齊次線性方程組 解向量解向量 . )2(,)1( ,)1(, 1 21 11 1 121 2 11 1 的解 它也就是向量

11、方程的解向量稱為方程組 則的解為若 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n n n x xxx ? ? 解向量的性質(zhì) 性質(zhì) 性質(zhì) .)2( ,)2(, 2121 的解是 也則的解為若?xxx .)2( ,)2( 11 的解 也是則為實數(shù)的解為若?kxkx? 定義 . )1(, , )1( 間 的解空稱為齊次線性方程組是一個向量空間 所以集合對向量的線性運算封閉則集合合 集的全體解向量所組成的為方程組設(shè) SS S 定理 .,)( , rnSr A R S Ox A n nm nm ? ? ? ? 的維數(shù)為解空間時 當(dāng)系數(shù)矩陣的秩是一個向量空間構(gòu)成的

12、集合 的全體解所元齊次線性方程組 定義 .)1( 的基礎(chǔ)解系的基稱為方程組解空間S )4( )3( , , , 2211 22222121 11212111 bAx bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa mnmnmm nn nn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 可寫為向量方程 非齊次線性方程組 ? ? ? ? 向量方程向量方程 非齊次線性方程組 解向量的性質(zhì) 性質(zhì) 性質(zhì) . )5( ,)4(, 2121 的解 組為對應(yīng)的齊次線性方程 則的解為若 OAx xxx ? ? .)4(, )5(,)4( 的解也是方程則解 的是方程的解是方程若 ? ? ? ? x xx 解向量 向

13、量方程 的解就是方程組 的解向量 )4()3( （）求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系（）求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系 :, , , ,)( 21 可按下面步驟進(jìn)行 不妨設(shè)為個解向量解系含線性無關(guān)的 那么方程組的一個基礎(chǔ)程組中未知數(shù)的個數(shù)為 而方的秩若齊次線性方程組 ? ? rn rn n rAROAx ? ? ? ? 線性方程組的解法 第一步：對系數(shù)矩陣 進(jìn)行初等行變換，使其 變成行最簡形矩陣 ; 00000 00000 100 010 001 ,1, ,21,2 , 11, 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

14、 ? cc cc cc nrrr nr nr A 即個分量的第于是得號 個分量反列前將第第二步 , 2 , 1, , 2, 1: 21 r rnrr rn ? ? ? ? ? ;, , ,2 ,1 1, 2,2 2, 1 21, 1,2 1, 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

15、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? c c c c c c c c c nr n n rnrr r r rr r r ? 第三步：將其余 個分量依次組成 階 單位矩陣，于是得齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系 . 1 0 0 , 0 1 0 , 0 0 1 , ,2 ,1 2, 2,2 2, 1 2 1, 1,2 1, 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? c c c c c c c c c nr n n rn rr r r rr r r ? r n ? r n ? （）求非齊次線性方程組的特解（）求非齊次線性方程組的特解 . , ,)( )( 矩陣 使其成為行最簡形進(jìn)行初等行變換增廣矩陣 那么對數(shù)為而方程組中未知數(shù)的個 的秩若非齊次線性方程組 B nrBR ARbAx ? ? , 000000 000000 100 010 001 ,1, 2,21,2