對解析幾何專題復(fù)習(xí)的一點思考.

1、對解析幾何專題復(fù)習(xí)的一點思考 上海市延安中學(xué) 呂志勇 高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的目的， 一方面是回顧學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)知識， 進(jìn)一步鞏固基礎(chǔ)知 識，另一方面， 隨著學(xué)生學(xué)習(xí)能力的不斷提高， 學(xué)生不會僅僅滿足于對數(shù)學(xué)知識 的簡單重復(fù)，而是有對所學(xué)知識進(jìn)一步理解的需求， 如數(shù)學(xué)知識蘊(yùn)涵的思想方法、 數(shù)學(xué)知識之間本質(zhì)聯(lián)系等等，所以高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)既要“溫故” ，更要“知新”，既 能引起學(xué)生的興趣， 啟發(fā)學(xué)生的思維， 又能促使學(xué)生不斷提出問題， 有新的發(fā)現(xiàn) 和創(chuàng)造，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生問題研究的能力 一、把握解析幾何的基本思想 解析幾何是數(shù)學(xué)中最基本的分支學(xué)科之一 回顧歷史，解析幾何的創(chuàng)立是數(shù) 學(xué)史上偉大的創(chuàng)造之一，它是 17 世

2、紀(jì)數(shù)學(xué)觀和方法論出現(xiàn)重大變革的直接結(jié) 果笛卡兒、費爾馬等數(shù)學(xué)家，將代數(shù)和幾何中的一切好的東西，取長補(bǔ)短，融 合為一門新的數(shù)學(xué)， 即把代數(shù)方法應(yīng)用于幾何， 從而創(chuàng)立了解析幾何 恩格斯說： “數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點是笛卡兒的變數(shù)，有了變數(shù)，運(yùn)動進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辯 證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，微積分也就成為必要的了 ”解析幾何是用代數(shù)方 法研究幾何圖形的一門學(xué)科， 要用代數(shù)方法研究幾何圖形， 首先需要把圖形問題 轉(zhuǎn)化成代數(shù)形式， 然后才能用代數(shù)方法進(jìn)行計算， 在獲得代數(shù)結(jié)果以后， 又需要 把代數(shù)結(jié)果轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論一個解析幾何問題的解決是通過 “幾何圖形代數(shù)化 與代數(shù)結(jié)果幾何化 ”和代數(shù)計算來實現(xiàn)的， “

3、幾何圖形代數(shù)化與代數(shù)結(jié)果幾何化 ” 是解析幾何的基本思想 2004 年的上海市秋季高考數(shù)學(xué)試卷的一道填空題就直接要求學(xué)生寫出解析 幾何的思想本質(zhì)是什么， 這道題目引起一些爭議， 但命題的意圖是好的， 指導(dǎo)思 想是正確的， 在解析幾何的復(fù)習(xí)過程中要強(qiáng)化這種思想 通過具體例子可以說明 用代數(shù)的方法解決幾何問題的優(yōu)越性，以及用幾何的方法解決代數(shù)問題的優(yōu)越 性 二、構(gòu)建解析幾何知識的體系 解析幾何復(fù)習(xí)時，需要理順解析幾何的知識體系： （1）首先要明確幾何中的點與代數(shù)中的坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而要理解曲線與方 程的概念 圖形問題代數(shù)化是解析幾何的核心， 它是通過用坐標(biāo)表示點和用方程 表示曲線的觀念來實現(xiàn)的.

4、曲線與方程概念的提出在代數(shù)與幾何之間架起了一座 橋梁，使兩種數(shù)學(xué)形式根據(jù)需要可以互化”然后可以通過對方程的研究來研究 曲線的性質(zhì)，這是解析幾何的理論基礎(chǔ).利用這個思想方法去理解概念、 公式所 反映的數(shù)學(xué)本質(zhì)，如兩點距離、點到直線的距離、直線的平行與垂直、兩條直線 的夾角、圖形的對稱性和曲線交點等都是解析幾何中要研究的基本問題，深刻體 會教材中是如何用代數(shù)形式來解決這些重要幾何概念以及位置關(guān)系的，那么遇見 這些幾何表述時就能熟練轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式來處理. (2) 通過對直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等具體曲線的研究，不僅要理解 和掌握它們的一些基本性質(zhì)和結(jié)論，更重要的是體會解析幾何研究曲線性質(zhì)的具

5、體方法和思想. (3) 了解坐標(biāo)系的平移、旋轉(zhuǎn)，曲線的參數(shù)方程，極坐標(biāo)系等等知識，體會解 析幾何解決問題的方法不是單一的，而是多種多樣的. 例題1類似于在平面上建立直角坐標(biāo)系，我們在平面上建立一個斜角坐標(biāo)系， 使得y軸與x軸的夾角為60 .設(shè)P為平面上任意一點，過P分別作y軸、x軸的 平行線，分別交x軸、y軸于p、P2點，則p、巳點分別在x軸、y軸上的坐標(biāo)x、y 稱為點P在斜角坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)，記為(x,y) 在坐標(biāo)平面內(nèi)，方向與x軸和 y軸正方向相同的兩個單位向量分別記為i和j (1)若 A(Xi , yi)及 Bg , y2)，用兒，、x? , y?表示 A B 兩 點的距離AB ；

6、(2)設(shè)M( 1,2)，0為坐標(biāo)原點，求過點M且與0M垂 -L 0/ P1x 直的直線I的方程，由此猜測直線I的一個方向向量并證 明你的結(jié)論； (3 )設(shè)拋物線 C是以原點0為焦點，且以直線 y 1為準(zhǔn)線，試確定直線 x y 1 0與拋物線C的交點個數(shù). 、掌握研究解析幾何問題的基本方法 近幾年解析幾何的考題在難度、計算的復(fù)雜程度等方面都有所下降， 突出對解析幾何基本思想和基本方法的考查，重點要掌握解析幾何的一些基本方法來解 決問題，解析幾何中解題的基本方法有解析法、待定系數(shù)法、變換法、參數(shù)法等 方法.課堂教學(xué)中選擇例題要突出題目的普遍性， 解題方法要具有代表性，即通 性通法. (1) 加強(qiáng)解

7、析幾何基本知識、基本方法的訓(xùn)練，如熟悉圓錐曲線有關(guān)概念的直 2 y 20 接應(yīng)用，求軌跡方程的各種基本方法，討論直線與曲線的交點或位置關(guān)系， 與圓 錐曲線有關(guān)的取值范圍等問題，能通過建立函數(shù)關(guān)系，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域、最 2 例題2如圖，點A、B分別是橢圓 36 軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點點P在橢 圓上，且位于x軸上方，PA PF . (1) 求點P的坐標(biāo)； (2) 設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP 的距離等于| MB |，求橢圓上的點到點M的距離d的最小值. 這個考題具有一定的代表性，熟悉橢圓的焦點等概念，兩條直線的垂直關(guān)系， 點到直線的距離，定點到曲線上的動點的距離的最值等基

8、本要求. (2) 解析幾何中有許多解題技巧和各種各樣的結(jié)論，如果死記硬背一些解題技 巧或結(jié)論，這對分析問題、解決問題能力的培養(yǎng)是很不利的， 處理不當(dāng)只會增加 學(xué)生的心理負(fù)擔(dān)，使其畏懼?jǐn)?shù)學(xué)，從而厭倦數(shù)學(xué)，不能達(dá)到教學(xué)效果，學(xué)生也沒 有收獲.一方面對這些技巧和結(jié)論可以少講， 選擇例題的時候目標(biāo)很明確，使利 用基本方法來解比利用技巧來解更有效；另一方面可以對這些技巧或方法進(jìn)行分 析研究，指出它們的利弊. 例題3已知曲線x2 4y2 16上有兩點P和Q，O為坐標(biāo)原點，又OP、OQ的 斜率之積為1，問OP2 OQ2是否為定值？ 4 例題4問題：已知曲線C1 : xy 2x 2 0與曲線C?: x xy

9、y a 0有兩 個公共點，求經(jīng)過這兩個公共點的直線方程.”的解法如下： 解：曲線C1方程與曲線C2方程相加得3x y 2 a 0，這就是所求的直線方程. 理由：（1）兩個方程相加后得到的方程表示直線；（2）公共點的坐標(biāo)滿足曲線Ci 方程與曲線C2方程，則它就滿足相加后得到的方程；（3）兩點確定一條直線. 利用上述方法解下列問題： 若曲線x2 2y21與曲線3y2 ax b有且只有3個公共點，且它們不共線，則 經(jīng)過這3個公共點的圓的方程是 . 四、關(guān)注研究性學(xué)習(xí)，培養(yǎng)探索精神和創(chuàng)新實踐能力 由于解析幾何知識內(nèi)容豐富，與其它數(shù)學(xué)知識關(guān)系密切，所以值得研究的數(shù) 學(xué)素材很多，復(fù)習(xí)時可以注意復(fù)習(xí)方式的改

10、善. （1）可以采用專題研究學(xué)習(xí)的形式，教師設(shè)計一些專題，讓學(xué)生去做研究和整 理.如讓學(xué)生去整理總結(jié)過拋物線焦點的直線與拋物線相交于兩點時，會有哪些 有意義的結(jié)論；如舉例說明求動點的軌跡方程的方法； 如探究求直線被曲線截得 的線段的中點的軌跡的各種方法，又如可以研究與圓錐曲線有關(guān)的定值、 定點問 題等等，這種學(xué)習(xí)方法使學(xué)生不知不覺就翻閱了許多資料，理解問題的能力得到 鍛煉. （2）研究性課程已經(jīng)作為新課程，另外近年來高考中增加了探索性、研究性等 能力型試題，其本質(zhì)是突出對探究精神，創(chuàng)造能力與綜合素質(zhì)的考查，教師精心 設(shè)計問題進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生興趣，啟發(fā)學(xué)生思維，引導(dǎo)學(xué)生主動參與到 數(shù)學(xué)研

11、究過程中，鼓勵學(xué)生自主學(xué)習(xí)，提出問題，合作探究，培養(yǎng)創(chuàng)新意識和實 踐能力，在此過程中獲取對知識和情感的親身體驗. 例題5 （2003春季第21題）已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點 對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當(dāng)直線 PM、PN的斜率都存在，并記 為kpM、kpN時，那么kpM與kpN之積是與點P位置無關(guān)的定值.試對雙曲線 2 2 務(wù) 占1寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明. a b 學(xué)生解決這個問題不難，用的方法也是很基本的，關(guān)鍵是通過這個問題，怎 樣讓學(xué)生提出新的問題進(jìn)行研究， 進(jìn)而不斷有新的發(fā)現(xiàn)和新的創(chuàng)造，從而使學(xué)生 對數(shù)學(xué)入迷.解決這個問題的過程中，學(xué)生先后提出了下面

12、幾個問題： 問題1:怎么會想到有這樣的結(jié)論？問題2:拋物線有類似的結(jié)論嗎？ 問題3:怎么會有這樣的結(jié)論？問題4:關(guān)于二次曲線定義的討論？ 問題1的解決不困難，圓有直徑所對的圓周角等于 90，但橢圓中顯然沒有這個 結(jié)論，可是把圓周角等于90改為兩直角邊所在直線的斜率乘積等于1時，就有 題目的大膽猜想了. 問題2,由于圓、橢圓、雙曲線都是有對稱中心的曲線，而拋物線沒有，所以拋 物線似乎沒有這方面的結(jié)論. 問題3本身就是一個挺怪的問題，這個問題是學(xué)生在課堂上提出的，其他學(xué)生對 此問題的反映是：還有這樣的問題，這就更加引起我的注意，后來我是通過設(shè)計 下面的問題來解決的. x x, 例題6 若對一個 直

13、角坐標(biāo)平面 上的點(x,y)作變換 !，可以將圓 y 2y C:x2 y2 r2變?yōu)闄E圓E : x2 4y 2 r2 .設(shè)圓C的兩條互相垂直的直徑AB和CD， 且AB的斜率為k k 0，則在上述變換下，AB和CD變換為過橢圓中心的弦AB 和CD .求弦AB和CD所在的直線方程. 這道題目本身值得研究的東西很多，如研究這種變換的各種性質(zhì)，這里發(fā)現(xiàn) 通過變換之后，圓變成橢圓，圓中的弦AB的斜率由k k 0變成-，所以，在圓 2 中的兩條互相垂直的弦的斜率乘積等于1時，變換到橢圓的兩條弦時，它們的 斜率的乘積還是定值，只是這個定值與變換有關(guān)，提出問題的學(xué)生對這樣的解釋 是能夠接受的.順便的，我在此基

14、礎(chǔ)上提出下面新的問題，讓學(xué)生去探究這種變 換的新的價值，如這種變換可以很好的解釋橢圓中的平行弦的中點是過橢圓中心 的一條弦，又如設(shè)計下面的問題來研究橢圓面積的計算： 例題7 已知點A 1, 0，點B 4,0，動點P到點B的距離等于到點A的距離的 兩倍. (1) 求動點P的軌跡C的方程； (2) 過動點P作x軸的垂線，垂足為Q，點M是線段PQ的中點，求動點M的 軌跡方程； (3) 關(guān)于平面圖形的面積有下面的定理(平面中的祖暅原理)： 夾在兩條平行直線之間的兩個平面圖形，用平行于這兩條直線的任意直線截這兩 個圖形，如果這條直線被這兩個圖形截得的線段長相等， 那么這兩個圖形的面積 相等. 2 2 利

15、用這個定理求橢圓乙 312 1的面積，并說明你的推理過程. D、E，試求 ACD和BCE面積之和與 ABC面積的關(guān)系； 學(xué)生對能用這樣的方法來求橢圓的面積感到很驚訝！又會紛紛提出類似于 如何求二次曲線與直線圍成的區(qū)域的面積的計算方法”等等問題，如果需要的 話，下面這又是一個好問題： 例題8已知拋物線y2 2px的一條弦AB的兩端點坐標(biāo)分別 為A(xi, yj, B(X2,y2)，過AB的中點作x軸的平行線交拋物線 于C . (1) 求證：Sabc (2) 分別過AC、 (3) 再對AD、CD、CE、BE接上法作圖，并類似地一直 繼續(xù)下去，若將拋物線被AB截得的封閉圖像的面積定義為所做出的三角形面積 之和的極限，求這個面積. 關(guān)于問題4,是一個學(xué)生在課后對我提出的問題， 他說，解析幾何教材中圓、 橢圓、雙曲線(它們的定義算相同