高考數(shù)學(xué)必備—高考數(shù)學(xué)100個熱點問題—第73煉 求參數(shù)的取值范圍

1、高考資源網(wǎng)（） 您身邊的高考專家第73煉 求參數(shù)的取值范圍一、基礎(chǔ)知識： 求參數(shù)的取值范圍宏觀上有兩種思路：一個是通過解不等式求解，一個是利用函數(shù)，通過解函數(shù)的值域求得參數(shù)范圍1、解不等式：通過題目條件建立關(guān)于參數(shù)的不等式，從而通過解不等式進行求解。常見的不等關(guān)系如下：（1）圓錐曲線上的點坐標(biāo)的取值范圍 橢圓（以為例），則， 雙曲線：（以為例），則（左支）（右支） 拋物線：（以為例，則（2）直線與圓錐曲線位置關(guān)系：若直線與圓錐曲線有兩個公共點，則聯(lián)立消元后的一元二次方程 （3）點與橢圓（以為例）位置關(guān)系：若點在橢圓內(nèi)，則 （4）題目條件中的不等關(guān)系，有時

2、是解決參數(shù)取值范圍的關(guān)鍵條件2、利用函數(shù)關(guān)系求得值域：題目中除了所求變量，還存在一個（或兩個）輔助變量，通過條件可建立起變量間的等式，進而可將等式變形為所求變量關(guān)于輔助變量的函數(shù)，確定輔助變量的范圍后，則可求解函數(shù)的值域，即為參數(shù)取值范圍（1）一元函數(shù)：建立所求變量與某個輔助變量的函數(shù)關(guān)系，進而將問題轉(zhuǎn)化為求一元函數(shù)的值域，常見的函數(shù)有： 二次函數(shù)；“對勾函數(shù)”； 反比例函數(shù)； 分式函數(shù)。若出現(xiàn)非常規(guī)函數(shù)，則可考慮通過換元“化歸”為常規(guī)函數(shù)，或者利用導(dǎo)數(shù)進行解決。（2）二元函數(shù)：若題目中涉及變量較多，通過代換消元最后得到所求參數(shù)與兩個變量的表達式，則可通過均值不等式，放縮消元或數(shù)形結(jié)合進行解決

3、。3、兩種方法的選擇與決策：通常與題目所給的條件相關(guān)，主要體現(xiàn)在以下幾點：（1）若題目中含有某個變量的范圍，則可以優(yōu)先考慮函數(shù)的方向，將該變量視為自變量，建立所求變量與自變量的函數(shù)關(guān)系，進而求得值域（2）若題目中含有某個表達式的范圍（或不等式），一方面可以考慮將表達式視為整體，看能否轉(zhuǎn)為（1）的問題進行處理，或者將該表達式中的項用所求變量進行表示，從而建立起關(guān)于該變量的不等式，解不等式即可二、典型例題：例1：已知橢圓，、是其左右焦點，離心率為，且經(jīng)過點.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）若分別是橢圓長軸的左右端點，為橢圓上動點，設(shè)直線斜率為，且，求直線斜率的取值范圍；解：（1） 橢圓方程為：代入

4、可得： 橢圓方程為： （2）由（1）可得： 設(shè)，則 在橢圓上 即例2：已知橢圓的離心率為，其左，右焦點分別是，過點的直線交橢圓于兩點，且的周長為 （1）求橢圓的方程（2）若過點的直線與橢圓相交于兩點，設(shè)為橢圓上一點，且滿足（為坐標(biāo)原點），當(dāng)時，求實數(shù)的取值范圍解：（1） 的周長 橢圓方程為： （2）設(shè)直線的方程為， 聯(lián)立直線與橢圓方程： ，解得： ，代入可得： 由條件可得： ，代入可得： 例3：在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，且在所有過焦點的弦中，弦長的最小值為（1）求橢圓方程（2）若過點的直線 與橢圓交于不同的兩點（在之間），求三角形與三角形面積比值的范圍解：（1） 由橢圓性質(zhì)可得，

5、焦點弦的最小值為 橢圓方程為 （2）設(shè)， 聯(lián)立直線與橢圓方程： 同號 設(shè)，所解不等式為： ，即例4：已知橢圓的離心率為，直線與以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓相切（1）求橢圓的方程（2）設(shè)橢圓的左焦點為，右焦點為，直線過點且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于直線，垂足為點，線段的垂直平分線交于點，求點的軌跡的方程（3）設(shè)與軸交于點，不同的兩點在上，且滿足，求的取值范圍解：（1） 與圓相切 即，解得（2）由（1）可得 線段的垂直平分線交于點即的軌跡為以為焦點，為準(zhǔn)線的拋物線，設(shè)為 （3）思路：由已知可得，設(shè)，則所求為關(guān)于的函數(shù)，只需確定的范圍即可，因為，所以有可能對的取值有影響，可利用此條件得

6、到關(guān)于的函數(shù)，從而求得范圍。解：與橢圓的交點為，設(shè)，因為，化簡可得： 考慮由可得時，可得例5：已知橢圓的離心率，左焦點為，橢圓上的點到距離的最大值為（1）求橢圓的方程（2）在（1）的條件下，過點的直線與圓交于兩點，與點的軌跡交于兩點，且，求橢圓的弦長的取值范圍解：（1）由離心率可得： 依題意可得： 可得：橢圓方程為：（2）由（1）可得橢圓方程為 不妨設(shè) 當(dāng)直線斜率不存在時，符合題意，可得： 當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線 在圓中 可得：解得：設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓方程：消去可得： 由可得：綜上所述：的取值范圍是例6：已知橢圓的兩個焦點，動點在橢圓上，且使得的點恰有兩個，動點到焦點的距離的最大值為（1）求

7、橢圓的方程（2）如圖，以橢圓的長軸為直徑作圓，過直線上的動點，作圓的兩條切線，設(shè)切點分別為，若直線與橢圓交于不同的兩點，求的取值范圍解：（1）使得的點恰有兩個的最大值為為短軸頂點時，到焦點的距離的最大值為橢圓的方程：（2）由橢圓方程可得圓設(shè)，由圓的性質(zhì)可得：代入可得：滿足方程則到的距離下面計算：聯(lián)立方程設(shè)不妨設(shè)設(shè)，所以設(shè)在單調(diào)遞增所以，即例7：已知橢圓過點，且離心率（1）求橢圓方程（2）若直線與橢圓交于不同的兩點，且線段的垂直平分線過定點，求的取值范圍解：（1）可得：橢圓方程為，代入可得：橢圓方程為：設(shè)，聯(lián)立方程可得： 設(shè)中點，則則的中垂線為：，代入可得：，代入可得：或即的取值范圍是例8：在平

8、面直角坐標(biāo)系中，原點為,拋物線的方程為,線段是拋物線的一條動弦（1）求拋物線的準(zhǔn)線方程和焦點坐標(biāo);（2）當(dāng)時，設(shè)圓,若存在且僅存在兩條動弦,滿足直線與圓相切，求半徑的取值范圍？解：（1）由拋物線可得：，準(zhǔn)線方程： （2）設(shè)直線， ，聯(lián)立方程： 與圓相切 ，不妨令 則，令 在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增 則若關(guān)于的方程有兩解，只需關(guān)于的方程有一解時，與有一個交點 例9：已知橢圓的離心率為，是橢圓的兩個焦點，是橢圓上任意一點，且的周長是 （1）求橢圓的方程（2）設(shè)圓，過橢圓的上頂點作圓的兩條切線交橢圓于兩點，當(dāng)圓心在軸上移動且時，求的斜率和取值范圍解：（1） 的周長 橢圓方程為： （2）由橢圓方程可得：

9、，設(shè)過且與圓相切的直線方程為 ，整理可得： 兩條切線斜率是方程的兩根聯(lián)立直線與橢圓方程可得：消去可得： ，同理可得： 由可得： 設(shè)，可知為增函數(shù)， 例10：已知橢圓，其中為左右焦點，且離心率為，直線與橢圓交于兩不同點，當(dāng)直線過橢圓右焦點且傾斜角為時，原點到直線的距離為（1）求橢圓的方程（2）若，當(dāng)?shù)拿娣e為時，求的最大值解：（1）設(shè)直線 橢圓方程為（2）若直線斜率存在，設(shè)， 聯(lián)立方程：消去可得：，整理可得：考慮即等號成立條件：時的最大值是當(dāng)斜率不存在時，關(guān)于軸對稱，設(shè)，再由可得：可計算出所以綜上所述的最大值是三、歷年好題精選1、已知點是雙曲線上的動點，分別是雙曲線的左右焦點，為坐標(biāo)原點，則的取值

10、范圍是（ ）A. B. C. D. 2、（2015，新課標(biāo)I）已知是雙曲線上的一點，是上的兩個焦點，若，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 3、（2014，四川）設(shè)，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的最大值是_4、（2016，廣東省四校第二次聯(lián)考）拋物線的焦點為，已知點為拋物線上的兩個動點，且滿足，過弦的中點作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的最大值為（ ）A. B. C. D. 5、（2016，貴州模擬）設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為，過點與垂直的直線交軸負半軸于點，且是線段的中點，若果三點的圓恰好與直線相切.（1）求橢圓的方程；（2）過定點的直線與橢圓交于兩點，且.若實數(shù)滿

11、足，求的取值范圍.6、（2015，山東理）平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別是,以為圓心，以3為半徑的圓與以為圓心，以1為半徑的圓相交，交點在橢圓上.（1）求橢圓 的方程；（2）設(shè)橢圓，為橢圓上的任意一點，過點的直線交橢圓于兩點，射線交橢圓于點求的值；求面積最大值.7、（2014，四川）已知橢圓的焦距為，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構(gòu)成正三角形（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）設(shè)為橢圓的左焦點，為直線上任意一點，過作的垂線交橢圓于點 證明：平分線段（其中為坐標(biāo)原點） 當(dāng)最小時，求點的坐標(biāo)8、（2014，湖南）如圖，為坐標(biāo)原點，橢圓的左右焦點分別為，離心率為；雙曲線的左右焦點分別

12、為，離心率為，已知，且 （1）求的方程（2）過作的不垂直于軸的弦為的中點，當(dāng)直線與交于兩點時，求四邊形面積的最小值9、（2014，山東）已知拋物線的焦點為，為上異于原點的任意一點，過點的直線交于另一點，交軸的正半軸于點，且有，當(dāng)?shù)臋M坐標(biāo)為3時，為正三角形（1）求的方程（2）若直線，且和有且只有一個公共點 證明直線過定點，并求出定點坐標(biāo) 的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由 10、（淮安、宿遷、連云港、徐州蘇北四市2016屆高三上期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的離心率，左頂點為，過點作斜率為的直線交橢圓于點，交軸于點.（1）求橢圓的方程;（2）已知為的中點

13、，是否存在定點，對于任意的都有，若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在說明理由;（3）若過點作直線的平行線交橢圓于點，求的最小值.11、（南通市海安縣2016屆高三上期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓C：的焦距為2（1）若橢圓經(jīng)過點，求橢圓C的方程；（2）設(shè)，為橢圓的左焦點，若橢圓存在點，滿足，求橢圓的離心率的取值范圍；12、已知定點，曲線C是使為定值的點的軌跡，曲線過點.（1）求曲線的方程；（2）直線過點，且與曲線交于，當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時，求直線的方程；（3）設(shè)點是曲線上除長軸端點外的任一點，連接、，設(shè)的角平分線交曲線的長軸于點，求的取值范圍. 13、已知圓,若橢圓的右頂點為圓的圓心，離心率為（1

14、）求橢圓C的方程；（2）若存在直線，使得直線與橢圓分別交于兩點，與圓分別交于兩點，點在線段上，且，求圓的半徑的取值范圍14、已知、是橢圓的左、右焦點，且離心率，點為橢圓上的一個動點，的內(nèi)切圓面積的最大值為.(1) 求橢圓的方程；(2) 若是橢圓上不重合的四個點，滿足向量與共線，與共線，且，求的取值范圍. 習(xí)題答案：1、答案：B解析：設(shè)，其中，由焦半徑公式可得： 代入可得：因為 所以解得由對稱性可知：當(dāng)時，2、答案：A解析：由可得，所以，則，由得：代入到不等式：，解得 3、答案：5解析：由兩條動直線 可得兩條信息：兩個定點坐標(biāo)，且兩條直線垂直，垂足即為，所以為直角三角形，可知，由均值不等式可得，

15、等號成立當(dāng)且僅當(dāng) 4、答案：A解析：過分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足設(shè)為設(shè)，由拋物線定義可得：在梯形中，可得為中位線由余弦定理可知在中， 5、解析：設(shè)橢圓的半焦距為由為線段中點，所以三點圓的圓心為，半徑為又因為該圓與直線相切，所以所以，故所求橢圓方程為；（2） 若與軸不垂直，可設(shè)其方程為，代入橢圓方程可得，由，得設(shè)，根據(jù)已知，有于是消去，可得因為，所以即有，有6、解析：（1） 橢圓離心率為， 左、右焦點分別是,圓：圓：由兩圓相交可得，即，交點，整理得，解得（舍去）故橢圓C的方程為.（2） 橢圓E的方程為，設(shè)點，滿足，射線，代入可得點，于是. 點到直線距離等于原點O到直線距離的3倍：，得，整理得 ，當(dāng)且

16、僅當(dāng)?shù)忍柍闪?而直線與橢圓C：有交點P，則有解，即有解，其判別式，即，則上述不成立，等號不成立，設(shè)，則在為增函數(shù)，于是當(dāng)時，故面積最大值為12.7、解析：（1）由已知可得：解得： 橢圓方程為： （2） 由（1）可得：，設(shè) 所以設(shè)，聯(lián)立橢圓方程可得： 設(shè)為的中點，則點的坐標(biāo)為 的斜率 在上，即平分 由可得： 由弦長公式可得： 等號成立當(dāng)且僅當(dāng)最小時，點的坐標(biāo)為 8、解析：（1）由可得： （2）由（1）可得：，設(shè)直線，聯(lián)立方程可得： 設(shè) 中點 即 與雙曲線聯(lián)立方程可得： 設(shè)點到直線的距離為，則點到直線的距離也為，因為點在直線的異側(cè) 由 時， 綜上所述：四邊形面積的最小值為29、解析：（1）依題意可

17、知，設(shè)，則的中點為 由拋物線定義可知：，解得：或（舍） 拋物線方程為： （2） 由（1）可得，設(shè) 的斜率為 直線設(shè)直線，代入拋物線方程： 和有且只有一個公共點 設(shè)，則可得： 當(dāng)時， ，整理可得： 恒過點 當(dāng)時，可得：，過點過點 由可得：過點 設(shè) 在直線上， 設(shè) 直線的方程為 代入拋物線方程可得： ，等號成立當(dāng)且僅當(dāng) 10、解析：（1）由左頂點為可得，又，所以又因為，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）直線的方程為，由消元得，.化簡得，所以，.當(dāng)時，所以.因為點為的中點，所以的坐標(biāo)為，則直線的方程為，令，得點坐標(biāo)為，假設(shè)存在定點，使得，則，即恒成立，所以恒成立，所以即因此定點的坐標(biāo)為. （3）因為，所

18、以的方程可設(shè)為，由得點的橫坐標(biāo)為由，得，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，所以當(dāng)時，的最小值為11、解析：（1）依題意可得：將代入橢圓方程可得：解得：橢圓方程為（2）可知，設(shè)，可知：由可得：，整理可得：聯(lián)立方程：，可解得： ，即12、解析：（1） 2分曲線C為以原點為中心，為焦點的橢圓設(shè)其長半軸為,短半軸為,半焦距為，則，曲線C的方程為 4分（2）設(shè)直線的為代入橢圓方程，得，計算并判斷得，設(shè),得到直線的距離，設(shè)，則當(dāng)時，面積最大的面積取得最大值時，直線l的方程為：和 9分（3）由題意可知：=,= 設(shè)其中，將向量坐標(biāo)代入并化簡得：m（， 因為，所以， 而，所以 13、解析：(1)設(shè)橢圓的焦距為2C，因為a=,所以橢圓C的方程為.(2)設(shè),聯(lián)