八年級數(shù)學寒假專題——因式分解的應用華東師大版知識精講

1、初二數(shù)學寒假專題因式分解的應用華東師大版【同步教育信息】一 . 本周教學內容：寒假專題因式分解的應用在解決實際問題時，常利用因式分解的公式進行變形和轉化，這樣可使計算或運算簡化，避免大量的復雜運算。因式分解就是簡化運算的解題工具?！镜湫屠}】例 1. 在一條寬闊的馬路上，整齊排列著10 個花壇，每個花壇的形狀都像操場上的跑道圈那樣兩端呈半圓形，連接兩個半圓邊緣部分是直線的一部分。已知每個花壇的寬都是 6m，每個花壇邊緣直的部分的長分別是36m、 25m、 30m、 28m、 25m、32m、 24m、 24m、 22m和 32m，試求出這些花壇的總面積。分析： 把生活中的實例轉化為數(shù)學問題來求

2、解是“數(shù)學建?！彼枷氲倪\用，花壇的形狀應歸類到數(shù)學中的幾何圖形，進而求出面積?？梢园衙總€花壇的面積都看作是一個長方形與兩個半圓的面積和，即一個長方形與一個圓的面積和。解： 設花壇總面積為 S，則：評析： 憑借想象力，設每個花壇的兩端各組成一個圓，而 10 個花壇的中間部分順次首尾相接，形成一個很長的長方形，這樣重新組合并不改變總面積。在解題時局部使用了提取公因式進行了因式分解，并運用加法的交換律與結合律簡化了整個運算過程。例 2.一圓形燈具（如圖1），在一個大圓盤中，嵌入四個小圓盤，大、小圓的半徑為整數(shù)，有陰影部分的面積是，試求大、小圓盤的半徑。圖 1解： 設大圓盤的半徑為Rdm，小圓盤的半徑

3、為rdm，則由題意，得即由于、必有1 項為5 的倍數(shù)，則評析： 在這里因式分解是解題的關鍵，因為因式分解可以得到，解題思路豁然開朗。例 3.已知長方形的周長是16cm，它的兩邊x、 y分析： 要求長方形面積，必須利用已知條件求出兩邊組后分解因式，兩個條件結合求值。解：，即是整數(shù)，且滿足x、y，一個條件是，求其面積。，另一個是條件等式。觀察等式左端特點可以考慮利用交換律、結合律分又或解得x、 y 是整數(shù)，得故長方形面積例 4. 某商場有四層，第一層有商品種，第二層有商品種，第三層有商品種，第四層有商品種，則這個商場共有商品多少種？解： 這個商場共有商品的種數(shù)為評析： 求商品的種數(shù)自然是將各種商品

4、數(shù)相加，但不應是簡單的羅列，應用因式分解的知識化答案為最簡形式。例 5. 圖 2（ a）是一邊長為長方體。用因式分解的方法說明：圖的正方體；圖2（b）是邊長分別為a、 b、 c 的三個正方體；圖2（c）是一個長為，寬為2（ a）中的正方體的體積減去圖2（ b）中“三個正方體體積之和”的差是圖2（ c）中長方體體積的3 倍。，高為的圖 2分析： 這是一道因式分解應用問題，如何把幾何模型轉化為代數(shù)運算是解題的關鍵。對照圖形，首先應掌握正方體與長方體的體積公式，然后用字母列出各體積的代數(shù)式，通過因式分解求出結果。解： 圖 2（ a）中的長方體的體積為，圖 2（ b）中的正方體的體積分別為、，圖 3

5、中的長方體的體積為圖 2（ a）中的正方體的體積減去圖2（ b）中“三個正方體體積之和”的差是圖2（ c）中長方體體積的3 倍。例 6.某農場修建一座小型水庫，需要一種空心混凝土管道，它的規(guī)格是：內徑，外徑，長，利用因式分解計算澆制一節(jié)這樣的管道需要多少立方米的混凝土？（取 3.14 ，結果保留兩個有效數(shù)字）分析： 用管道外徑面積減去內徑面積再乘以長度L 即可。解： 根據(jù)題意，管道外徑面積為，管道內徑面積為，所以一節(jié)這樣的管道的體積為：判斷幾何圖形的形狀例 7.已知一個凸四邊形A.平行四邊形ABCD的四條邊的長依次為a、 b、 c、 d，且B.矩形C. 菱形D. 梯形，那么四邊形ABCD是（）

6、（ 2002 年“希望杯”初二培訓題）解： 因為所以即因為所以即選 A，故四邊形ABCD是平行四邊形比較代數(shù)式的大小例 8. 已知，則M與N 的大小關系是（）A. MNC. M=ND. 不確定（ 2002年“希望杯”初二第2 試題）解：因為所以所以因此 MN，選 B【模擬試題】1.如圖，大圓的直徑為a，大小圓的直徑的差為b（ 1）求小圓的直徑d 及陰影部分的面積S（ 2）當 a 10， b 6，取 3.14 時，求 S 的值。2.某地區(qū)根據(jù)地理位置及氣候特點，在大棚種植上采用了如下的結構，占地呈矩形，四周的磚墻，上蓋玻璃屋面，如果矩形的長、寬分別為a、 b，且前沿墻高為c，后墻高為 d（ 1）求這座大棚磚墻的面積S（ 2）如果 a 6.6m，b 3.4m， c0.5m， d 1.5m，求磚墻的面積3.（ 2002年“希望杯”初一培訓題）4.若，則的值等于（）A. 0B.C. 1D. 3（ 2003 年“希望杯”初二第 1 試題）5.一個自然數(shù)a 恰好等于一個自然數(shù)b 的