電子測量與儀器教學(xué)課件 第二章

1、第二章 誤差 本章要點： ? 誤差的概念與表示方法 ? 隨機誤差、系統(tǒng)誤差和粗大誤差的 特性和處理方法 ? 測量數(shù)據(jù)處理的方法 本章是測量技術(shù)中的基本理論，搞測量就得 與誤差打交道。 2.12.1 誤差的概念與表示方法 誤差=測量值-真值 例如，在電壓測量中，真實電壓5V，測得的電壓為5.3V，則 誤差= 5.3V - 5V = +0.3V 真值為“表征某量在所處的條件下完善地確定的量值”。 真值是一個理想的概念。真值客觀存在，卻難以獲得。 實際值-實際測量中常把高一等級的計量標準測得的實際 值作為真值使用。 “實際值”“約定真值”。 2.1.1 測量誤差 例如：現(xiàn)在是什么時間？ 能準確地報出

2、北京時刻嗎？ 實際值： 在實際測量中，常用高一級標準儀 器的示值來代替真值，通常稱為實 際值，也叫相對真值。 標稱值： 測量器具上標定的數(shù)值。但由于制 造和測量精度不夠及環(huán)境因素的影 響，標稱值并一定等于它的真值或 實際值。因此，在標出測量器具的 標稱值時，通常還要標出它的誤差 范圍或準確度等級。 示值： 測量器具指示的被測量的量值，也 稱測量器具的測量值，它包括量值 和單位。 2.1.2 誤差的來源 1.儀器誤差 指針式儀表的零點漂移、刻度誤差以及非線性引起誤差； 數(shù)字式儀表的量化誤差（如5位半的電壓表比3位半量化誤差?。?； 比較式儀表中標準量本身的誤差（如天平的砝碼）均為儀器誤差。 2.方

3、法誤差 由于測量方法不合理造成的誤差稱為方法誤差。 例如：用普通模擬式萬用表測量高阻上的電壓。 100k 1mA v 100k 100 ? 50 V V 電壓表 內(nèi)阻 習(xí)題 被測電阻Rx，電壓表的內(nèi)阻為RV，電流表的內(nèi)阻為RI I V Rx (a) I V Rx (b) 對于圖(a)： / VxxV x xV 2 V xx xV (RR )IR RU R = IIR + R -R R= R - R = R + R ? 對于圖（a）當電壓表內(nèi)阻RV很大時可選a方案。 對于圖（b）當電流表內(nèi)阻RI很小時可用b方案。 3 理論誤差 測量方法建立在近似公式或不完整的理論基礎(chǔ)上以及用近似值計 算測量結(jié)果

4、時所引起的誤差稱為理論誤差。例如，用諧振法測量 頻率時，常用的公式為 0 1 f = 2 LC 但實際上，回路電感L中總存在損耗電阻r，其準確的公為 2 0 1r C f =1- L2 LC 4 影響誤差 由于各種環(huán)境因素與要求不一致所造成的誤差稱為影響誤差。 例如，環(huán)境溫度、預(yù)熱時間、電源電壓、內(nèi)部噪聲、電磁干擾 等條件與要求不一致，使儀表產(chǎn)生的誤差。 5 人身誤差 由于測量者的分辨能力、疲勞程度、責(zé)任心等主觀因素，使測 量數(shù)據(jù)不準確所引起的誤差。 研究誤差理論的目的是分析產(chǎn)生誤差的原因和規(guī)律，識別誤差 的性質(zhì)，正確處理測量數(shù)據(jù)，合理計算所得結(jié)果，在一定測量 條件下，盡力設(shè)法減少誤差，保證測

5、量誤差在容許的范圍內(nèi)。 2.1.3 誤差的表示方法 相對誤差 絕對誤差 1.絕對誤差： 定義：被測量的測量值x與其真值A(chǔ)0之差，稱為絕對誤差。 在實際測量中： “約定真值”“實際值”= A 表示 修正值：與絕對誤差大小相等，符號相反的量值稱為修正值， 一般用C表示 C=x=Ax 大小 正負 單位 x =xA0 x=xA 在測量時，利用示值和已知的修正值相 加，即可以計算出被測量的實際值。 A= X + C 例子： 某電流表測的電流示值時0.83mA，查得 該電流表在0.8mA及其附近的修正值都是 -0.02mA，那么被測的電流的實際值是多少? A=0.81mA 2 相對誤差： 例： 用二只電壓

6、表V1和V2分別測量兩個電壓值。 V1 表測量150伏，絕對誤差x1=1.5伏， V2 表測量10伏， 絕對誤差x2=0.5伏 從絕對誤差來比較 x1 x2 誰準確？ x ? 1 1 1 1.5 =100% =10% =1% U150 x ? 2 2 2 0.5 =100% =100% =5% U10 用相對誤差便于比較 -表示相對誤差 ? 相對誤差可以有多種形式： x ? 0 =100% A x ? =100% A x x ?x =100% x x ? m m =100% = S% 真值相對誤差 實際值相對誤差:一般情況下得不到真值， 用絕對誤差與實際值之比來表示相對誤差 測量值（示值）相對

7、誤差： 在誤差較小、要求不太嚴格的場合， 也可以用儀器測得值代替實際值。 滿度（或引用）相對誤差： 儀器量程內(nèi)最大絕對誤差與測 量儀器滿度值之比來表示的相 對誤差 常 用 因通常 A0、A、X X 故常用X方便 我國電工儀表的準確度等級 S按照滿都誤差分級的： 分為七級： 0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0 例：檢定量程為例：檢定量程為100A100A的滿刻度相對誤差小于的滿刻度相對誤差小于2%電流表，電流表， 在50A刻度上標準表讀數(shù)為49A，問此電流表是否合格？ 解：解： x0=49A =49A x=50A xm=100A=100A x x x ? 0 m m -50-

8、49 =100% = 100%=1%200） i ? 3s（x） 2 肖維納檢驗法（判則不嚴） a? 3 格拉布斯檢驗法（理論與實驗證明較好） max ? Gs 在一組測量數(shù)據(jù)中，可疑數(shù)據(jù)應(yīng)極少。否則，說明系統(tǒng)工作不 正常。 P(x) E(x) x 0 k(x) k(x) -3s -a -Gs 3s a Gs 2.42.4 系統(tǒng)誤差 上面所述的隨機誤差處理方法，是以測量數(shù)據(jù)中不含有系統(tǒng) 誤差為前提。 實際上，測量過程中往往存在系統(tǒng)誤差，在某些情況下的系統(tǒng) 誤差數(shù)值還比較大。 在相同測量條件下，多次測量同一量時，誤差的絕對值和符號 保持不變，或者在條件變化的時候，按照一定規(guī)律變化的誤差 稱為系統(tǒng)

9、誤差 2.4.1 系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生原因 系統(tǒng)誤差是由固定不變的或按確定規(guī)律變化的因素所造成， 這些誤差因素是可以掌握的。 1.1.測量裝置方面的因素 儀器機構(gòu)設(shè)計原理上的缺點，如指針式儀表零點未調(diào)整正確； 儀器零件制造和安裝不正確，如標尺的刻度偏差、刻度盤和 指針的安裝偏心、儀器各導(dǎo)軌的誤差、天平的臂長不等；儀器 附件制造偏差，如標準環(huán)規(guī)直徑偏差等。 2.環(huán)境方面的因素 測量時的實際溫度對標準溫度的偏差、測量過程中溫度、濕度 等按一定規(guī)律變化的誤差。 3.測量方法的因素 采用近似的測量方法或近似的計算公式等引起的誤差。 4.測量人員方面的因素 由于測量者的個人特點，在刻度上估計讀數(shù)時，習(xí)慣偏于某

10、一 方向；動態(tài)測量時，記錄某一信號有滯后的傾向。 2.4.2 系統(tǒng)誤差的檢查和判別 系統(tǒng)誤差（簡稱系差）的特征是： 系統(tǒng)誤差時一個恒定不變的值或者是確定的函數(shù)值； 多次重復(fù)測量，系統(tǒng)誤差不會消除或減少；系統(tǒng)誤差具有可控制性或修正性 1.恒定系統(tǒng)誤差的檢查和處理 恒定系差（恒差）常用的判斷方法有以下幾種 1)改變測量條件 測量條件指測量者、測量方法和環(huán)境條件等，在某一測量條件下有許多恒差 為一確定不變值，如改變測量條件，就會出現(xiàn)另一個確定的恒差，例如，對 儀表零點的調(diào)整。 2)理論分析計算 凡屬由于測量方法或測量原理引入的恒差，只要對測量方法和測量原理進行 定量分析，就可找出系差的大小。（分壓比

11、校準） 3)用高檔儀器比對、校準 用高檔儀器定期計量檢查，可以確定恒差是否存在，如電子秤校驗后，則知 其是偏大還是偏小。用校準后的修正值（數(shù)值、曲線、公式或表格）來檢查 和消除恒差。 4)統(tǒng)計法（排除隨機誤差，剩下即系統(tǒng)恒差） 下面分析恒定系統(tǒng)誤差對測量結(jié)果的影響。 設(shè)一系列重復(fù)測量值為x1，x2，xn，測量值中含有隨機誤差i 和恒定 系統(tǒng)誤差，設(shè)被測量的真值為x0，則有 ? ii xx 0 當n足夠多時， 0 1 ? ? ? n i i ? ? ? ? 0 1 0 )( 11 xnnx n x n x n i ii 0 1 ? ? ? n i i ? 上式表明，當測量次數(shù)n足夠大時，隨機誤差

12、對 x 的影響可忽略，而系統(tǒng) 中。利用修正值 C=可以在進行平均前的每個測量值xi 誤差會反映在 x 中扣除，也可以在得到算術(shù)平均值后扣除。對于因測量方法或原理引入的 恒定系差，可通過理論計算修正。 2.4.3 削弱系統(tǒng)誤差的典型技術(shù) 消除或減弱系統(tǒng)誤差應(yīng)從根源上著手。 1. 零示法 當檢流計G中 I=0 21 2 RR R EUU x ? ? 待測 標準 U Ux E x R1 R 2 G 圖2.15 零示法測電壓 G只要示零精度高 2.替代法（置換法） 直流電橋平衡條件 Rx G RS R3 R1 R2 E 圖2.16 替代法測電阻 標準可調(diào) 可讀電阻 當 RXR2=R1R3 G=0 將

13、RSR2=R1R3 G=0 則 RX=RS 步驟：1.調(diào)R3，使G=0，R3不動； 2.調(diào)RS，使G=0，RX=RS RS為標準電阻箱可調(diào)可讀 3. 3. 交換法（對照法） 第一次平衡：W Xl1=W1l2 第二次平衡：W Xl2=W2L1 W Xl1WXl2=W1l2 W 2l1 ? 1212 1 2 x wwwww? 4.微差法 條件：當待測量與標準量接近時 BX B.A 被測電池電壓 x=B+A=9+0.1=9.1V 測量誤差由式（2.44）可求得： B A A A B B x x ? ? ? ? ? ? =0.2%+5%(0.1/9)=0.2%+0.05%0.2% 可見，采用微差法測量

14、，測量誤差主要決定于標準量的誤差，而測試儀表誤 差的影響被大大削弱。本例說明，用誤差為5的電壓表進行測量，可得0.2% 的測量精確度。 應(yīng)當指出，在現(xiàn)代智能儀器中，可以利用微處理器的計算控制功能，消弱或 消除儀器的系統(tǒng)誤差。利用微處理器消弱系差的方法很多，如直流零位校準、 自動校準、相對測量等，可參閱有關(guān)的課程。 待測 標準（固定） A B x 9V 0.1V V 圖2.17 微差法測量 2.5 最佳測量方案的選擇最佳測量方案的選擇 對于實際測量，我們通常希望測量的準確度越高即誤差的總合越小越好。 所謂測量的最佳方案，從誤差的角度看就是要做到 min 1 yj m j j y x f ? ?

15、? ? ? ? min 222 1 2 )()()()(yx x f y j m j j ? ? ? ? ? ? （2.56） （2.57） 當然，若能使上述各式中每一項都能達到最小，總誤差就會最小。有時通 過選擇合適的測量點能滿足這一要求，但是通常各分項誤差 )( jj x?及 是由一些客觀條件限定的，所以選擇最佳方案的方法一般只是根據(jù)現(xiàn)有條件， 了解各分項誤差可能達到的最小數(shù)值，然后比較各種可能的方案，選擇合 成誤差最小者作為現(xiàn)有條件下的“最佳”方案。 常用選擇方法有：常用選擇方法有： 1.函數(shù)形式的選擇函數(shù)形式的選擇 當有多種間接測量方案時，各方案的函數(shù)表示式不同，應(yīng)選其中總合誤差 最小

16、的函數(shù)形式。 前述電阻功率例中，當 %5 . 2%2%1? IVR ?， 問采用哪種測量方案較好？ 方案1：P=UI %5 . 4%)2%5 . 2 (? VIp ? %5%)1%22(2? RVP ? %6%)1%5 . 22(2? RIP ? 方案2 P= U2R 方案3：P=I2R 可見，在題中給定的各分項誤差條件下，應(yīng)選擇第一方案PUI. 2. 2.測量點的選擇測量點的選擇 在前面引用（滿度）相對誤差中曾指出，用指針式三用表電壓、電流檔測量 時，應(yīng)正確選擇量程，使測值靠近滿度，即測量點要選在滿量程附近，測量 結(jié)果的相對誤差小。對電阻檔測量點應(yīng)選擇何處呢？現(xiàn)介紹一般性方法。 ix RR

17、E I ? ? E Rx 圖2.20 電阻測量原理 Ri 則 ix R I E R? 由誤差合成公式（2.45），可求得絕對誤差為 2 I E I I R R x X ? ? ? ? 則相對誤差表達式為則相對誤差表達式為 I IERI E R R ix x R ? ? ? ? ? 2 ? 令令 0)(? ? ? ? x x R R I 求極小值 可求得可求得 max 2 1 2 I R E I i ? 結(jié)論：指針處于中央位置時，測量電阻的相對誤差最小。 電阻量程電阻量程 R ? 2.62.6 測量數(shù)據(jù)處理 通過實際測量得到的數(shù)據(jù)，需要進行處理，即計算、分析、整理后得出所 需要的結(jié)果數(shù)據(jù)。有時候

18、還要把測量數(shù)據(jù)繪制成表格、曲線或歸納成經(jīng)驗 公式，以便得出正確、直觀的結(jié)果。本節(jié)著重介紹測量數(shù)據(jù)處理的基本知 識和表示方法。 處理方式 表達式（有效數(shù)字、測量值、不確定度） 曲線圖形 經(jīng)驗公式 2.6.1 有效數(shù)字的處理 1 有效數(shù)字 定義：有效數(shù)字，是指在測量數(shù)值中，從最左邊一位非零數(shù)字起到含有 誤差的那位存疑數(shù)為止的所有各位數(shù)字。 例1 用10v指針式電壓表測得 U= 5. 6 4 V 三位有效數(shù)字 例2 0.0038K=3.8 兩位有效數(shù)字 6 5 例3 0.026m 兩位有效數(shù)字 0.0260m 三位有效數(shù)字 最末位有效數(shù)字常稱最末位有效數(shù)字常稱存疑數(shù)存疑數(shù)，它主要由儀表所能達到的精度

19、決定。例如用，它主要由儀表所能達到的精度決定。例如用 10V量程指針式電壓表測得電壓量程指針式電壓表測得電壓5.64V，這是三位有效數(shù)字組成的數(shù)據(jù)，這是三位有效數(shù)字組成的數(shù)據(jù)， 這三位數(shù)中前二位是可從刻度上準確讀出的，而最后一位是估讀的，是含這三位數(shù)中前二位是可從刻度上準確讀出的，而最后一位是估讀的，是含 有誤差的近似數(shù)，常稱為存疑數(shù)。有誤差的近似數(shù)，常稱為存疑數(shù)。 存疑數(shù)還有一種含義，它可能發(fā)生末位的半個單位存疑數(shù)還有一種含義，它可能發(fā)生末位的半個單位(0.5個單位)變化。 例如，例如， 5.640.005 5.645 5.635 有效數(shù)字與準確度的關(guān)系 數(shù)據(jù) 誤差 準確到 18.4 k 0

20、.1 k 100 18.40 k 0.01 k 10 18.400 k 0.001 k 1 有效數(shù)字的位數(shù)應(yīng)取得與不確定度相一致 當電壓表不確定度為：0.01v 數(shù)據(jù)應(yīng)寫為 a 2.186v b 2.18v c 2.1v 哪個對？ 有誤差的單位量級應(yīng)與測量數(shù)據(jù)相配合 a 7900 kHz 當頻率誤差為：1kHz 數(shù)據(jù)應(yīng)寫為 b 7.900 MHz 哪個對？ c 7900 000 Hz d 7.9 MHz 2 數(shù)字的舍入（修約）規(guī)則 對五入可能帶來誤差 未使尾數(shù)為偶數(shù)，不便于除盡 經(jīng)典的“四舍五入”的缺點： 規(guī)則 小于5舍 大于5入 等于5取偶 5后有數(shù)，舍5入1 5后無數(shù)或為零時 5前是奇數(shù)，

21、舍5入1 5前是偶數(shù)，舍5不進 17.99518.00 14.985014.98 3.624563.625 測量中用：四舍六入五湊偶法則 三例都取4位有效數(shù)字 3. 近似運算規(guī)則近似運算規(guī)則 在近似數(shù)運算中，為了保證最后結(jié)果有盡可能高的精度，所有參與運算 的數(shù)據(jù)，在有效數(shù)字后可多保留一位數(shù)字作為參考數(shù)字，或稱為安全數(shù)字。 1)在近似數(shù)加減運算時，各運算數(shù)據(jù)以小數(shù)位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位數(shù)為準， 其余各數(shù)據(jù)可多取一位小數(shù)，但最后結(jié)果應(yīng)與小數(shù)位數(shù)最少的數(shù)據(jù) 小數(shù)位相同。 例2.24 求2643.0 987.7十4.187 0.2354= ？ 2643.0 987.7 4.19 0.24 3635.1336

22、35.1 2)在近似數(shù)乘除運算時，各運算數(shù)據(jù)以有效位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位數(shù)為準， 其余各數(shù)據(jù)要比有效位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位數(shù)多取一位數(shù)字，而最后結(jié)果 應(yīng)與有效位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位數(shù)相同。 2.6.2 測量數(shù)據(jù)的表示方法 本節(jié)簡要地介紹圖示曲線和經(jīng)驗公式的表示方法。 1. 測量結(jié)果的曲線表示 把測量結(jié)果繪成曲線，可以直觀形象地表示數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，例如， 三極管的輸出特性曲線，放大器的幅頻特性曲線等。 但由于測量結(jié)果中存在誤差，數(shù)據(jù)有一定的離散性，難以作出一條光滑 連續(xù)的曲線。需要采用一些專門的方法。這里介紹分組平均作圖法。 1)作圖要點 首先要選好坐標。一般宜選用直角坐標。有時要用極坐標。如果自變量的 范圍很寬

23、，可以選用對數(shù)坐標。坐標的比例可以根據(jù)需要確定，二者分度 可以不同，作曲線圖應(yīng)使用坐標紙。注意坐標的幅面以及數(shù)據(jù)點的標注方式。 曲線急劇變化的地方測量數(shù)據(jù)應(yīng)多取一些。 注意曲線的修均。 2)用分組平均法修均曲線用分組平均法修均曲線 將各數(shù)據(jù)點連成光滑曲線的過程叫曲線的修均。由于測量誤差的存在， 不同的人員所作的曲線可能差異較大。 為了提高作圖的精度，可用分組平均法進行曲線修均。這種方法是將相鄰 的24個數(shù)據(jù)分為一組，然后估計出各組的幾何重心，再用光滑的曲線將 重心點連接起來，用分組平均法進行曲線修均的方法如圖2.21所示。由于 這種方法減少了隨機誤差影響。從而使曲線較為符合實際。 圖2.21

24、用分組平均法修均曲線 先看一個實例： 計算機三級考試中的測控題 一臺反映釜的溫度測量儀表的量程為200oC1000oC,且為線性刻度 ,在 某個采樣周期微機獲得一組經(jīng)八位ADC轉(zhuǎn)換后的采樣數(shù)據(jù)為: D0H,C0H,CAH,CCH,DEH 則經(jīng)中值濾波程序處理后,該儀表的顯示值為_oC. （橫坐標數(shù)據(jù)對應(yīng)一定的電壓值） 1000 840 200 00 CC FF 0 204 255 800 解 D0H = 208 中值濾波: C0H = 192 192,202,204,208,222 CAH = 202 800 AH = 202 800 x CCH = 204 255 204 = = 640 X

25、 = 640 + 200 = 840 問題：這條線性曲線y=bx+a是怎樣得出來的？ 2.經(jīng)驗公式的確定經(jīng)驗公式的確定 在實際應(yīng)用中，經(jīng)驗公式，也稱回歸方程，是實驗測量的基礎(chǔ)上歸納出來的， 可在一定的條件下使用。這種經(jīng)驗公式以數(shù)學(xué)表達式客觀地反映事物的內(nèi)在 規(guī)律性，形式緊湊，且便于從理論上作一步分析研究，對認識自然界量與量 之間關(guān)系有著重要意義 1)最小二乘法 最小二乘法的原理指出：在具有同一精度的測量值中，最佳值就是能使各 () i xx? 的平方和為最小的那個值，即 ? ? n i i 1 2 ? 測量殘差 測量結(jié)果的最可信賴值應(yīng)在殘差平方和為最小的條件下求出。 最小。或者說， 2）回歸分

26、析法）回歸分析法 回歸分析法是處理多個變量之間相互關(guān)系的一種常用的數(shù)理統(tǒng)計方法。 回歸分析法包括兩個方面的任務(wù)：一是根據(jù)測量數(shù)據(jù)確定函數(shù)形式，即回 歸方程的類型；二是確定方程中的參數(shù)。確定回歸方程的類型，通常需要 結(jié)合專業(yè)知識和實際情況來選擇。 電子測量中，經(jīng)常用到單變量的線性回歸（例如y=bx+a），這里僅舉 一元線性回歸的例子，即處理兩個變量x和y之間的線性關(guān)系。這是工程 上和科研中常遇到的直線擬合問題。例如，溫度、濕度、壓力等傳感器 的輸出電壓與溫、濕度、壓力之間就是這種直線方程(y=bx+a)關(guān)系。 例 在壓力傳感器校驗測量中測得一組數(shù)據(jù)如表2.13所示，這里x 可以看作是壓力（kg），y是傳感器輸出的電壓值（V）。試用最小二 乘法擬合，求表中實驗數(shù)據(jù)的最佳曲線和經(jīng)驗公式。 表2.13 壓力傳感器測量原始數(shù)據(jù) xi 6 17 24 34 36 45 51 55 74 75 yi 10.3 11.0 10.01 10.9 10.2 10.8 11.4 11.1 13.8 12.2 解：設(shè)要求的