高數(shù)課件第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)

1、第五章 積分學(xué) 不定積分 定積分定積分 定積分 在一切理論成就在一切理論成就 中，未必再有什么象 17世紀(jì)下半葉微積分世紀(jì)下半葉微積分 的發(fā)現(xiàn)那樣被看作人 類精神的最高勝利了。類精神的最高勝利了。 如果在某個(gè)地方我們 看到人類精神的純粹 的和唯一的功績(jī)，那 也就是正是在這里。也就是正是在這里。 恩格斯恩格斯 第一節(jié) 一、定積分問(wèn)題舉例一、定積分問(wèn)題舉例 二、 定積分的定義 三、 定積分的近似計(jì)算定積分的近似計(jì)算 定積分的概念與性質(zhì) 第五五章 四、 定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì) 一、定積分問(wèn)題舉例 1. 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線 以及兩直線 所圍成 , 求其面積 A .

2、?A )(xf y? 矩形面積 梯形面積 a b 思路與方法：思路與方法：變“曲”為“直”，首先用小矩形面積的和 近似取代曲邊梯形面積，再通過(guò)極限得到面積的精確值。 顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲 邊梯形面積 （四個(gè)小矩形） （九個(gè)小矩形） a b x y o x y o 問(wèn)題1：如何找出計(jì)算面積的方法。微積分的最大功績(jī)?cè)?于，用干凈利索的方法解決了這一問(wèn)題，并用非常有效的方法 解決了相當(dāng)復(fù)雜的圖形的面積的計(jì)算問(wèn)題。 觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面 積和與曲邊梯形面積的關(guān)系 顯然，分的越細(xì)，小矩形越多，矩形總面積越接近 曲邊梯形面積 1 x i x 1 ? i xa y o

3、解決步驟 : 1) 大化小. 在區(qū)間 a , b 中任意插入 n 1 個(gè)分點(diǎn) bxxxxxa nn ? ?1 210 ? , 1iii xx ? ? 用直線 i x x? 將曲邊梯形分成 n 個(gè)小曲邊梯形; 2) 常代變. 在第i 個(gè)窄曲邊梯形上任取 作以 , 1ii xx ? 為底 , )( i f? 為高的小矩形, 并以此小 梯形面積近似代替相應(yīng) 窄曲邊梯形面積 得 )()( 1? ? iiiiii xxxxfA? i ? 3) 近似和. ? ? ? n i i AA 1 ? ? ? n i ii xf 1 )(? 4) 取極限取極限. 令 則曲邊梯形面積 ? ? ? ? n i i AA

4、 1 0 lim ? ? ? ? ? n i ii xf 1 0 )(lim? ? a y o 1 x i x 1 ? i x i ? 2. 變速直線運(yùn)動(dòng)的路程變速直線運(yùn)動(dòng)的路程 設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng) , 且 求在運(yùn)動(dòng)時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過(guò)的路程 s. 解決步驟: 1) 大化小. 將它分成 在每個(gè)小段上物體經(jīng) 2) 常代變. 得 iii tvs?)(? ), 2, 1(ni? 已知速度 n 個(gè)小段 過(guò)的路程為 問(wèn)題2：當(dāng)速度 v 隨時(shí)間 t 而變化時(shí)：v = v (t) ， 如何求出物體在時(shí)間段 a , b 上運(yùn)動(dòng)的距離？ 3) 近似和. 4) 取極限 . 上述兩個(gè)問(wèn)題的共性: ? 解決問(wèn)題的方法步驟

5、相同 : “ 大化小 , 常代變 , 近似和 , 取極限 ” ? 所求量極限結(jié)構(gòu)式相同 : 特殊乘積和式的極限 0 1 lim() n ii i Afx ? ? ? ? ? ? 曲邊梯形的面積 abxo 二、定積分定義二、定積分定義 任一種分法 , 210 bxxxxa n ?任取 i ? 總趨于確定的極限 I , 則稱此極限 I 為函數(shù) 在區(qū)間 上的定積分, 1 x i x 1?i x ? b a xxfd)( 即 ? ? b a xxfd)( i n i i xf? ? ? ? 1 0 )(lim? ? 此時(shí)稱 f ( x ) 在 a , b 上可積 . 記作 ? ? b a xxfd)(

6、 i n i i xf? ? ? ? 1 0 )(lim? ? 積分上限 積分下限 被 積 函 數(shù) 被 積 表 達(dá) 式 積 分 變 量 積 分 和 稱為積分區(qū)間,ba (1)定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān) , 而與積分 變量用什么字母表示無(wú)關(guān) , 即 ? b a xxfd)( ? ? b a ttfd)( ? ? b a uufd)( 注意：注意： （2）在定積分的定義 ( b a f x dx ? ） 0 1 lim() n ii i fx ? ? ? ? ? 中為什么極限過(guò)程是 ? ? 0 而不是 n ? ? ? a b x y 0 1 ? i x i x i ? )(xf y? )(

7、i f? ? ? 只有? ? 0 ，才能保證每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度趨于 0 從而小矩形的面積接近窄曲邊梯形的面積。 ? 而分點(diǎn)的個(gè)數(shù) n ? ? 則不能保證（如右圖） 0 x b a y 1 x 2 x 3 x )(xf y? ? 定積分的幾何意義定積分的幾何意義 : 曲邊梯形面積 曲邊梯形面積的負(fù)值 a b y x 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 54321 d)(AAAAAxxf b a ? ? 各部分面積的代數(shù)和 (3)定義中區(qū)間的分法和 i ? ?的取法是任意的 . (4)當(dāng)函數(shù))(xf在區(qū)間,ba上的定積分存在時(shí) ， 稱)(xf在區(qū)間,ba上可積. 幾何意義： ? ? ? ? 物理

8、意義：物理意義：物體以變速 v = v (t)作直線運(yùn)動(dòng)， 在時(shí)間段 a , b 上經(jīng)過(guò)的路程： ? ? b a tdtvs)( 介于 x 軸, 直線 x = a , x = b 及曲線 y = f (x) 之間的各部分面積的代數(shù)和。 其中，在 x 軸上方的面積取正，下方的面積取負(fù)。 o 1x y n i 定理1. 定理2. 且只有有限個(gè)間斷點(diǎn) 可積的充分條件 : (證明略) 例1. 利用定義計(jì)算定積分 解: 將 0,1 n 等分, 分點(diǎn)為 取 2 x y ? iiii xxf? 2 )(?則 3 2 n i ? o 1x y n i ii n i xf? ? ? )( 1 ? ? ? ? n

9、 i i n 1 2 3 1 ) 12)(1( 6 11 3 ?nnn n ) 1 2)( 1 1 ( 6 1 nn ? i n i i xxx? ? ? ? 1 2 0 1 0 2 limd? ? ? ? n lim 3 1 ? 2 x y? 注注 思考思考 dxx ? ? 1 0 2 1計(jì)算積分 義知，該積分值等于解：由定積分的幾何意 的面積（見下圖） 所圍及軸，曲線10,1 2 ?xxxxy x 1 y 面積值為圓的面積的 4 1 4 1 1 0 2 ? ? ? dxx所以 1 21 lim)2( ? ? ? p ppp n n n? ? ? n n i p n 1 lim 1 ? ?

10、? ? n i xx p d 1 0? ?i ? i x? 例2. 用定積分表示下列極限 : ? ? ? ? n i nn i n 1 1 1 lim) 1 ( 1 21 lim)2( ? ? ? p ppp n n n? 解: ? ? ? ? n i nn i n 1 1 1 lim) 1 ( nn i n i n 1 1lim 1 ? ? ? ? i ? i x? xxd1 1 0? ? x 01 n i 1? n i 三. 定積分的近似計(jì)算 , ,)(baCxf?設(shè) ,d)(存在則? b a xxf 根據(jù)定積分定義 可得如下近似計(jì)算方法 : ), 1 ,0(nixiax i ? , n

11、ab x ? ? ), 1 ,0()(niyxf ii ?記 ? b a xxfd)(xyxyxy n ? ?1 10 ? )( 110? ? ? n n ab yyy? 將 a , b 分成 n 等份: O a b x y i x 1?i x 1. 左矩形公式 )( 21n n ab yyy? ? ? ? b a xxfd)(xyxyxy n? ? 21 例1 2. 右矩形公式 ? b a xxfd)( xyy ii ? ? 2 1 1 ?)()( 2 1 110? ? ? ? nn yyyy n ab ? ? ? ? ? 1 1 n ia b xO y i x 1?i x a y O b

12、x 12 ? i x i x2 22 ? i x m x 2 0 x ? b a xxfd)( ? i m i i m i m yyyy m ab 2 1 1 12 1 20 24 6 ? ? ? ? ? ? ? ? 推導(dǎo) 3. 梯形公式 4. 拋物線法公式 例3. 用梯形公式和拋物線法公式 x x Id 1 4 1 0 2? ? ? 解: :計(jì)算yi(見右表) 的近似值. 13993. 3?I 14159. 3?I i xi yi 0 0.0 4.00000 1 0.1 3.96040 2 0.2 3.84615 3 0.3 3.66972 4 0.4 3.44828 5 0.5 3.200

13、00 6 0.6 2.94118 7 0.7 2.68456 8 0.8 2.43902 9 0.9 2.20994 10 1.0 2.00000 (取 n = 10, 計(jì)算時(shí)取5位小數(shù)) 用梯形公式得 用拋物線法公式得 積分準(zhǔn)確值為 ?1415926 . 3 d 1 4 1 0 2 ? ? ? ? ?x x I 計(jì)算定積分 四、定積分的性質(zhì)四、定積分的性質(zhì) 對(duì)定積分的補(bǔ)充規(guī)定: （1）當(dāng)ab?時(shí)， ( )0 b a f x dx ? ?； （2）當(dāng) ab? 時(shí)， ( )( ) ba ab f x dxf x dx? ? ?. 說(shuō)明說(shuō)明 在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在，且不考 慮積分上下限的

14、大小 即：定積分的上、下限互換時(shí)，定積分變號(hào)。 證 ( )( ) b a f xg x dx? ?0 1 lim()() n iii i fgx ? ? ? ? 0 1 lim() n ii i fx ? ? ? ? ? 0 1 lim() n ii i gx ? ? ? ? ? ( ) b a f x dx? ? ( ). b a g x dx? ? ( )( ) b a f xg x dx? ? ( ) b a f x dx? ? ( ) b a g x dx? ?. 此性質(zhì)可 以推廣到 有限多個(gè) 函數(shù)代數(shù) 和的情況 性質(zhì)1 ( )( ) bb aa kf x dxkf x dx? ? (

15、k為常數(shù)). 性質(zhì)2 證 ( ) b a kf x dx ?0 1 lim( ) n ii i kfx ? ? ? ? ? 0 1 lim( ) n ii i kfx ? ? ? ? ? 0 1 lim() n ii i kfx ? ? ? ? ? ( ). b a kf x dx? ? 證: 當(dāng) bca?時(shí), 因 在 上可積 , 所以在分割區(qū)間時(shí) , 可以永遠(yuǎn)取 c 為分點(diǎn) , 于是 ? ? , )( ba ii xf? ? , )( ca ii xf? ? ? , )( bc ii xf? ab c 0?令 ? ? b a xxfd)( ? c a xxfd)( ? ? b c xxfd)

16、( 性質(zhì)3 a b c 當(dāng) a , b , c 的相對(duì)位置任意時(shí) , 例如 , cba? 則有 ? ? c a xxfd)( ? b a xxfd)( ? ? c b xxfd)( ? ? c a xxfd)( ? ? b a xxfd)( ? ? c b xxfd)( ? ? c a xxfd)( ? ? b c xxfd)( （定積（定積 分對(duì)于分對(duì)于 積分區(qū)積分區(qū) 間具有間具有 可加性）可加性） 1 b a dx? ? b a dx? ? ba? . 性質(zhì)性質(zhì)4 4 性質(zhì)性質(zhì)5. 若在 a , b 上 0)( 1 ? ? ? ii n i xf? 則 證證: ? ? b a xxfd)(

17、0)(lim 1 0 ? ? ? ? ii n i xf? ? 推論推論1. 若在 a , b 上 則 說(shuō)明：如果 f (x) 和 g (x) 在 a , b 上都連續(xù)， f (x) ? g (x) , ( )( )() bb aa f x d xg x d xab? ? 則進(jìn)一步有有 ( )( )f xg x?且 例1：比較積分 2 1 lnxd x ? 22 2 11 (ln )lnx d xxdx? ? 因此 解： 因?yàn)樵趨^(qū)間 1 ，2 上， 0ln1x? 2 1 ,(ln )ln,xxx?且除外 恒有 2 2 1 (ln ) xdx ? 和 的大小。 練習(xí)：1.比較積分 1 0 ln

18、1+x d x ? （） 1 0 xdx ? 和 的大小。 2。設(shè) 444 000 lnsin,lncot,lncos ? ? ? Ixdx Jxdx Kxdx 則I,J,K的大小關(guān)系為 2011數(shù)學(xué)一 推論2. 證: )( xf?)(xf)(xf? )(b a ? xxfxxfxxf b a b a b a d)(d)(d)( ? ? 即 xxfxxf b a b a d)(d)( ? ? 說(shuō)明： 可積性是顯然的 . |)(xf|在區(qū)間,ba上的 性質(zhì)性質(zhì)6 (估值定理估值定理) , )(min, )(max , xfmxfM baba ?則 )(b a ? 設(shè) 證證 ( ),mf xM?

19、( ), bbb aaa mdxf x dxMdx? ? ()( )(). b a m baf x dxM ba? ? （此性質(zhì)可用于估計(jì)積分值的大致范圍）（此性質(zhì)可用于估計(jì)積分值的大致范圍） 該性質(zhì)有明顯的幾何意義該性質(zhì)有明顯的幾何意義 例例 2 2 估計(jì)積分 3 0 1 3sin dx x ? ? ?的值. 解 3 1 ( ), 3sin f x x ? ? 0,x? 3 0sin1,x? 3 111 , 43sin3x ? ? 3 000 111 , 43sin3 dxdxdx x ? ? ? ? 3 0 1 . 43 sin3 dx x ? ? ? ? ? 例3. 試證: 證: 設(shè) ?

20、)(xf, sin x x 則在 ),0( 2 ? 上 , 有 ? )(xf 2 sincos x xxx? )tan(x x? ? 2 cos x x 0? )0()()( ? ?fxff 2 ? 即 ? 2 , 1)(?xf), 0(?x 2 ? 故 xxxfxd1d)(d 222 000 2 ? ? ? ? 即 2 d sin 1 2 0 ? ? ? ? x x x 性質(zhì)7. 積分中值定理 則至少存在一點(diǎn) 使 )(d)(abfxxf b a ? ? ? 證: ,)(Mmbaxf別為上的最小值與最大值分在設(shè) 則由性質(zhì)6 可得 根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù) 介值定理, 上至少存在一在,ba 使 因此

21、定理成立. ox ba y )(xf y ? 說(shuō)明說(shuō)明: ? 可把 )( d)( ?f ab xxf b a ? ? ? 故它是有限個(gè)數(shù)的平均值概念的推廣 . ? ? 積分中值定理對(duì) 因 例4. 計(jì)算從 0 秒到 T 秒這段時(shí)間內(nèi)自由落體的平均 速度. 解: 已知自由落體速度為 t g v? 故所求平均速度 2 2 11 Tg T ? 2 Tg ? 例 5 設(shè))(xf可導(dǎo)，且 lim( )1 x f x ? ? ， 求 2 3 limsin( ) x xx tf t dt t ? ?. 解： 由積分中值定理知有 ,2,x x? 使 2 3 sin( ) x x tf t dt t ? ? 3 sin( )(2),fxx? ? ? 2 3 limsin( ) x xx tf t dt t ? ? ? 3 2 limsin( )f ? ? ? 2 lim 3 ( )f ? ?. 6? 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 1. 定積分的實(shí)質(zhì) 乘積和式的極限 矩形公式 梯形公