一線三等角典型例題

1、。“一線三等角 ”模型在初中數(shù)學中的應用一、 “一線三等角 ”模型的提煉例 1、（ 2015 年山東 德州卷）(1) 問題：如圖 1，在四邊形 ABCD中，點 P 為 AB上一點， DPC= A=B=90.求證： ADBC=APBP.(2) 探究：如圖 2，在四邊形 ABCD中，點 P 為 AB上一點，當 DPC=A=B=時，上述結論是否依然成立？說明理由 .(3) 應用：請利用 (1) 、 (2) 獲得的經(jīng)驗解決問題：如圖3，在 ABD 中， AB=6， AD=BD=5點. P 以每秒 1個單位長度的速度，由點A 出發(fā)，沿邊AB 向點B 運動，且滿足 DPC=A. 設點P 的運動時間為t（秒

2、），當以 D 為圓心，以 DC 為半徑的圓與 AB相切，求 t的值 .變式 1 ( 2012年煙臺 ) ( 1)問題探究如圖 6，分別以 ABC 的邊 AC 與邊 BC 為邊，向 ABC 外作正方形 ACD1E1 和正方形 BCD2E2，過點 C 作直線 KH 交直線 AB 于點 H，使 AHK = ACD1 作D1M KH，D2N KH，垂足分別為點 M、 N 試探究線段 D1M 與線段 D2 N 的數(shù)量關系，并加以證明 ( 2) 拓展延伸1如圖 7，若將 “問題探究 ”中的正方形改為正三角形，過點C 作直線 K1H1，K2H2 ，分別交直線AB 于點 H1、H2，使 AHK = BHK =

3、ACD 作 DM K H，D NKH，垂足分別為點 M、N D11221111222M = D N 是否仍成立 ? 若成立，給出證明 ;若不成立，說明理由122如圖 8，若將 中的 “正三角形 ”改為 “正五邊形 ”，其他條件不變 DM=DN是否仍成立?(要12求: 在圖 8 中補全圖形，注明字母，直接寫出結論，不需證明)精選資料，歡迎下載。二、添加輔助線后運用基本圖形例 1、在 ABC中， AB =2， B = 45 ，以點 A 為直角頂點作等腰 t ADE，點 D 在 BC 上，點 E 在AC上，若 CE=5，求 CD的長。例 2、 ( 2013年海淀區(qū)一模22 題最后一問 )如圖， l1

4、 、l2 、 l3 是同一平面內(nèi)的三條平行線，l1 、l2之間的距離是21/5 ，l2 、 l3之間的距離是21/10 ，等邊 ABC 的三個頂點分別在l1 、l2 、 l3 上，求ABC 的邊長例 3、 如圖，在矩形紙片 A 中，在 邊上取點，現(xiàn)將紙片沿翻折，使點 落在 邊上的點 處，當時，求 的長。三、應用舉例1、等腰三角形底邊上的一線三等角例 1、如圖 5，在 三角形 ABC中， AB=AC,D為 BC的中點，以 D 為頂點作 MDN= B.精選資料，歡迎下載。(1) 如圖 5，當射線 DN經(jīng)過 A 時， DM交 AC邊于點 E, 不添加輔助線，寫出圖中所有與三角形ADE相似的三角形。(

5、2) 如圖 6，將 MDN繞點 D 逆時針方向旋轉， DM,DN分別交線段 AC,AB于 E,F 點，（E 和 A 點不重合），不添加輔助線，寫出圖中所有相似的三角形，并證明。(3) 在圖 6 中，若 AB=AC=10，BC=12，當三角形 DEF的面積等于三角形面積的1/4 時，求線段 EF的長。例 2、 如圖 8，在 RtABC 中， AB = AC =2 ， A = 90 ，現(xiàn)取一塊等腰直角三角板，將45角的頂點放在 BC 中點 O 處，三角板的直角邊與線段AB、 AC 分別交于點 E、F，設 BE =x，CF = y ， BOE =( 45 90 ) ( 1)試求 y 與 x 的函數(shù)關

6、系式，并寫出 x 的取值范圍 ;( 2)試判斷 BEO 與OEF 的大小關系 ?并說明理由 ;( 3)在三角板繞 O 點旋轉的過程中， OEF 能否成為等腰三角形 ? 若能，求出對應x 的值 ;若不能，請說明理由【例 3】（ 2012 四川 成都卷）如圖， ABC 和 DEF 兩個全等的等腰直角三角形， BAC= EDF=90，DEF的頂點 E 與ABC 的斜邊 BC 的中點重合將 DEF 繞點 E 旋轉，旋轉過程中，線段 DE 與線段 AB 相交于點 P，線段 EF 與射線 CA 相交于點 Q（1） 如圖 ，當點 Q 在線段 AC 上，且 AP=AQ時，求證： BPE CQE；（2） （ 2

7、）如圖 ，當點 Q 在線段 CA 的延長線上時，求證： BPE CEQ；并求當 BP=a， CQ=9a/2 時， P、 Q 兩點間的距離（用含 a 的代數(shù)式表示）6、（東城一模24. ） 等邊 ABC邊長為 6，P 為 BC邊上一點， MPN=60，且 PM、 PN分別于邊 AB、 AC交于點 E、F.（ 1）如圖1，當點 P 為 BC的三等分點，且 PE AB時，判斷 EPF的形狀；（ 2）如圖2，若點P在邊上運動，且保持，設= ，四邊形面積的y，求y與x的函數(shù)關系式，BCPEABBP xAEPF精選資料，歡迎下載。并寫出自變量x 的取值范圍；（ 3）如圖 3，若點 P 在 BC邊上運動，且

8、MPN繞點 P 旋轉，當 CF=AE=2 時，求 PE的長 .2、四邊形中的一線三等角例 1、如圖，正方形ABCD的邊長為 1cm， M、N 分別是 BC、 CD 上兩個動點，且始終保持 AM MN，設 BM 的長為 x cm，CN的長為 y cm. 求點 M 在 BC 上的運動過程中 y 的最大值例2。例 3、如圖，在等腰梯形 ABCD中， ADBC， BC = 4AD = 4 2 ， B = 45 ，點 E 、F 分別在邊 BC、CD上移動，且 AEF = 45 ，則點 E 移動過程中，線段 AF 長的最小值是（）例 4如圖 , 在梯形 ABCD 中， AD BC ， ABDC AD 6，

9、ABC60 ，點 E，F(xiàn) 分別在線段AD， DC 上（點 E 與點 A，D 不重合），且 BEF120 ，設 AEx ， DFy 求 y 與 x 的函數(shù)表達式；當 x 為何值時， y 有最大值，最大值是多少？tan4例 4、如圖，在直角梯形CADABCD中， ADBC， B=90， AB=8，3 ， CA=CD， E、 F 分別是線段 AD、 AC上的動點（點E與點、不重合），且 =，設，.A DFECACBDE=x CF=y（ 1）求 AC和 AD的長；（ 2）求 y 與 x 的函數(shù)關系式；（ 3）當 EFC為等腰三角形時，求x 的值 .精選資料，歡迎下載。BCFAED3、函數(shù)問題中的一線三等角例 1、在直角坐標系中，點 A 是拋物線 y= x 2 在第二象限上的點，連結 OA，過點 O 作 OB OA，交拋物線于點 B，以 OA、OB 為邊構造矩形 AOBC 如圖，當點 A 的橫坐標為 1/2 時，求點 B 的坐標精選資料，歡迎下載。例 2、如圖，已知直線 y = kx 與拋物線 y = 4/27 x 2 + 22/3 交于點 A( 3 ，6) 若點 B 為拋物線上對稱軸右側的點，點 E