矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型及簡(jiǎn)單應(yīng)用

1、矩陣的及若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型及簡(jiǎn)單應(yīng)用摘要： 矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形是線性代數(shù)的一個(gè)重要的的組成部分，他通過(guò)數(shù)字矩陣的相似變換得到。矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型理論在數(shù)學(xué)、理論力學(xué)、計(jì)算方法、物理、化學(xué)及數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域都有極其廣泛應(yīng)用。 每個(gè)n級(jí)得復(fù)數(shù)矩陣A都與一個(gè)若爾當(dāng)形矩陣相似，這個(gè)若爾當(dāng)形矩陣除去其中若爾當(dāng)塊的排列順序外是被矩陣A唯一決定的，它稱為A的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形。對(duì)于n階矩陣來(lái)說(shuō) ，如果他的特征根方程有重根且重根的個(gè)數(shù)等于其相應(yīng)的特征向量個(gè)數(shù)時(shí)，此n階矩陣就可通過(guò)相似變換化為對(duì)角形。 本文主要通過(guò)研究矩陣的極小多項(xiàng)式、可逆矩陣P的求法，以及若而當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的幾種求解方法，對(duì)若而當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型矩陣進(jìn)行探討。關(guān)鍵詞：若爾

2、當(dāng) 線性變換 矩陣 標(biāo)準(zhǔn)定義1： 設(shè)是一個(gè)復(fù)數(shù)，矩陣 ，其中主對(duì)角上的元素都是，緊鄰主對(duì)角線下方的元素都是1，其余位置都是零，叫做屬于的一個(gè)若爾當(dāng)（或若爾當(dāng)塊）. 當(dāng)=0時(shí)，就是所謂的冪零若爾當(dāng)矩陣.定理1 ： 設(shè)是維向量空間的一個(gè)線性變換，都是的一切互不相同特征值，那么存在的一個(gè)基，關(guān)于這個(gè)基的矩陣有形式 這里=，而都是屬于的若爾當(dāng)塊，證： 設(shè)的最小多項(xiàng)式是，而在復(fù)數(shù)域上是不可約的因式分解，這里是互不相同的特征值，是正整數(shù)。 又=ker ，所以空間有直和分解= 對(duì)于每一，令是在上的限制，那么是子空間的一個(gè)冪零線性變換，而子空間可以分解為一循環(huán)子空間的直和：. 在每一循環(huán)子空間里，取一個(gè)循環(huán)基

3、，湊成的一個(gè)基，那么關(guān)于這個(gè)基的矩陣有形狀 這里是冪零若爾當(dāng)塊。 令，那么=+，于是對(duì)于加上基來(lái)說(shuō)，的矩陣是這里都是屬于的若爾當(dāng)塊。 對(duì)于每一子空間，按以上方式選取一個(gè)基，湊起來(lái)成為的基，那么關(guān)于這個(gè)基的矩陣就是有定理所求的形式（2）.注意 ： 在矩陣（2）里，主對(duì)角上的第塊，是的矩陣.而子空間，顯然由唯一確定，而出現(xiàn)在每一里的若爾當(dāng)塊里由唯一確定的，因而是由唯一確定。定義2 ： 形式如的階矩陣，其中每一都是一個(gè)若爾當(dāng)塊，叫做一個(gè)若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形式.例如：都是若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形式.定理2： 復(fù)數(shù)域上每一階矩陣都與一個(gè)當(dāng)爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形式相似，除了各若爾當(dāng)塊排列的次序外，與相似的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形式是由唯一確定的。證

4、： 在一個(gè)對(duì)角線分塊矩陣?yán)铮匦屡帕懈鱾€(gè)小塊矩陣的次序顯然得到矩陣，在由若爾當(dāng)塊唯一性得到證明。定理3 ：（1）設(shè)為上的維線性空間，線性變換：的特征多項(xiàng)式分解為上的一次式的積.， 這里，是弱特征空間的直和=，又，dim=,在上的限制|的特征多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式為。（2） 設(shè)矩陣（，）的特征多項(xiàng)式分解為上一次式積.det,。這時(shí)，存在正則矩陣， 方陣的結(jié)束等于，構(gòu)成的若爾當(dāng)?shù)膫€(gè)數(shù)等于屬于的特征空間多項(xiàng)式的維數(shù)若爾當(dāng)塊矩陣稱為矩陣的若爾當(dāng)。注意 ： 中的，其階若爾當(dāng)塊的個(gè)數(shù)又唯一確定。例1 ： 證明對(duì)，（，），存在正則矩陣，使=和具有相等的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。證 ： 設(shè)和具有相等的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型，則存在正則矩陣，使=，=，令=，則正則接=反之， 設(shè)已存在正則矩陣，使=，設(shè)是若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型，則，故的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型也是。例2 ： 求矩陣=，的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型，求實(shí)矩陣使成為若爾當(dāng)矩陣.解 ： （1），rank,故特征空間（5）的維數(shù)是3 rank (-5)=2，于是機(jī)若爾當(dāng)塊的個(gè)數(shù)為2，的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型為. (2) 方程（+2）=0的通解為=.例如： 令=1，得=，dim=（-2）=1，（-3）=0，的通解是=，所以屬于特征值3的特征空間（3）的維數(shù)是1.故屬于特征值3的若爾當(dāng)塊是1個(gè). 例如： 令=1，得=，方程（-3）=的通解是例如： 令，得=，= - 2，= 3，=+3.故若令（ ），則=（ ）=（