5A版學(xué)生建模報(bào)告-降落傘的選擇

1、7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 數(shù)學(xué)建模報(bào)告 降落傘的選擇 指導(dǎo)老師：竇老師彭老師 報(bào)告人：劉原 20GG1090118 朱業(yè)帥 20GG1090122 馬占奎 20GG1090123 、問題重述 ，已 降落傘的選擇為向?yàn)?zāi)區(qū)空投救災(zāi)物資共 20GGkg ，需選購一些降落傘 度為 500 米，要求降落傘落地時(shí)的速度不能超過 20 米/ 秒，降落傘面 面處，如圖： 為半徑 r 的半球 方球 長(zhǎng) 1共 16 根繩索連接的載重 m 僅位于球心正下 每個(gè)降落傘的價(jià)格由三部分組成，傘面費(fèi)用 c1 由傘的半徑 r 決定，見表 1； 繩索費(fèi)用 c2 由繩索總長(zhǎng)度及單價(jià) 4 元/ 米決定；固定費(fèi)用 c3 為 200 元

2、降落傘在降落過程中受到的空氣阻力可以認(rèn)為與降落速度和傘面積的乘積成正 作試 驗(yàn)，測(cè) 得各 時(shí)刻 t的 高度 G，見 表2 。 。 試確定降落傘降落的選購方案，即共需多少個(gè)，每個(gè)傘的半徑多大（在表 1 中 選擇）在滿足空投的要求下，使總的費(fèi)用最低。 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 二、模型的假設(shè) 1 、 設(shè)每個(gè)降落傘的繩長(zhǎng)、傘面積均相等； 2 、 降落傘投放立即打開，承受能力符合要求； 3 、 降落傘的降落排除質(zhì)量等不利因素的影響； 4 、 降落傘和降落合乎所需的要求，且落地的速度不超過 20m/s 。 三、符號(hào)說明 c1: 傘面費(fèi)用 ; c2: 繩索費(fèi)用 ; c3:固定費(fèi)用 （20

3、0 元）； C:總費(fèi)用； t ：時(shí)刻（用 S表示）； S:傘面面積； r:傘的半徑； K:阻力系數(shù)。 四、問題和分析 問題要求使總費(fèi)用 C 最小，由于受 c1、c2、c3 的影響， c3 固定， c2,c1 均受傘的半徑 r 的影響，同時(shí)降落傘要受下降阻力的影響， 我們考慮以下 3 個(gè)問 題： （一）確定 c1、c2 通過數(shù)據(jù)擬合確定 c1 （二）確定阻力系數(shù) K通過 t 及 h,運(yùn)用數(shù)據(jù)擬合確定 K （三）確定 n 和總費(fèi)用 C 運(yùn)用動(dòng)能守恒定律、建立非線性規(guī)劃方程 解決此 3 個(gè)問題即解決了此題目。 五、模型的建立與求解 我們?cè)诳紤]（一）問題時(shí)，只要通過圖表一的數(shù)據(jù)來擬合 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用

4、文檔 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 c1 的方程： c1=4.3055r3.9776 ； c2 的方程： c2=4G16G20.5Gr ； 對(duì)于(二)確定一組關(guān)于速度和加速度的數(shù)據(jù)進(jìn)行求解 k值。 具體： mg-f( 阻力 )=ma f=kvr2; 則 k=m(g-a)/(vr2) 即可由數(shù)據(jù)擬合出一個(gè) k值。 而在下降的過程中速度達(dá)最大時(shí)，阻力 f 與重力 mg 可以看作相等； 從而后面的一段路程幾乎是勻速運(yùn)動(dòng)。 (三)、建立模型 min=nG(c1+c2+c3); s.t c1=4.3Gr4;(r=3) c2=4G16G20.5Gr; c3=200; (18Gr2Gn)500-20GGG9.8Gt

5、+4000G9.8G(1-eGp(-20GGGt/(18Gr2 Gn)/18=0 。 由動(dòng)能定理(合力做的功等于動(dòng)能的變化)得 (M/n)g-fGh=1/2(M/n)vG2 由 a (加速度) =(dv/dt)=g-(fn)/M(1) v=gt-eGp(-(nGr2Gkt)/M)(2) f=kGr2Gv(3) (2),(3) 分別代入上式； 可得式: 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 (18Gr2Gn)500-20GGG9.8Gt+4000G9.8G(1-eGp(-20GGGt/(18Gr2G n)/18=0 。 得：總費(fèi)用 C=4958.687 n=7 。 六結(jié)果分析 通過對(duì)問題的

6、分析， 找出各關(guān)系量之間的關(guān)系， 運(yùn)用物理學(xué)和非線性規(guī)則的 方法來建立數(shù)學(xué)模型，用數(shù)據(jù)擬合的方法運(yùn)用 MATLAB 軟件，求出阻力系數(shù)和 一階函數(shù)的系數(shù)。 問題的求解有點(diǎn)粗略，但對(duì)實(shí)際問題的卻有指導(dǎo)意義。 對(duì)于降落傘的最佳選購是使傘的總費(fèi)用最低。 我們通過 C1、c2 、c3 來確定 總費(fèi)用。其中 c1 由半徑 r 決定， c2 由繩索長(zhǎng)度及其價(jià)格決定，即可通過數(shù)據(jù)擬 合出 c1=4.3055r3.9776; 確定阻力系數(shù) k=18, 利用非線性規(guī)劃求得總費(fèi)用 C=4958.687 ，且需 7 個(gè)降落傘。 缺點(diǎn)：求解粗略，在實(shí)際中影響因素復(fù)雜，而只能作個(gè)參考。 實(shí)際意義： 降落傘的選擇空投共 M 千克，需選購一些降落傘， 已知空投高度 為