一元二次方程的解法及韋達(dá)定理

1、一元二次方程的解法及韋達(dá)定理 編號(hào)：撰寫(xiě)人：審核： 一、一元二次方程的解法： 例題1： 用配方法、因式分解、公式法解方程：x2-5x+6=0 【總結(jié)】 以上的三種方法之中，最簡(jiǎn)單的方法是哪一種? 【一元二次方程的解法總結(jié)】 1直接法：對(duì)于形如 一x2=a的方程，我們可以用直接法。方程的解為x= 土a 推論：對(duì)于形如（x+a）2=b的方程也是用直接開(kāi)方的方法。 注意點(diǎn)：二次項(xiàng)的系數(shù)為1，且a 0 如果a為根式，注意化簡(jiǎn)。 例1:解方程：5x2=l 例2：解方程：x2= 4 2、3 例 3:解方程：4x2+12x+9=12 2、配方法： 對(duì)于形如：ax2+bx+c=0 （其中0）的方程，我們可以采

2、用配方法的方法來(lái)解。 步驟：把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1. 兩邊同時(shí)除以a,可以得到: 2 b x2+x+ a 配方： b、 （x+ 一 2a 移項(xiàng)： b、 （X+ - 2a c =0 a 2+C-自2=0 2=加 用直接法求出方程的解。 X=- b 2a 注意點(diǎn)：解除方程的解后，要檢查根號(hào)內(nèi)是否要進(jìn)一步化簡(jiǎn)。 例： 解方程：X2+x=1 3、公式法： 2a2a 對(duì)于形如：ax2+bx+c=0 （其中0）的方程，我們也可以采用公式法的方法來(lái)解。 根據(jù)配方法，我們可以得到方程的解為： b丄 b、2 X=- ()c 2a 2a 進(jìn) 步變形, 就可以知道： 形如：ax2+bx+c=0 （其中0）的方程的解為

3、 b . b )2 4ac b . b2 4ac X1= , X2= 解除方程的解后，要檢查根號(hào)內(nèi)是否要進(jìn)一步化簡(jiǎn)。 解題步驟要規(guī)范。 例： 解方程：x2+5x+2=0 除了以上幾種教材里的方法，一元二次方程還有其他的解法。 4、換元法 對(duì)于一個(gè)方程，如果在結(jié)構(gòu)上有某種特殊的相似性，可以考慮用換元法；或者，當(dāng)這個(gè)題 目有比較復(fù)雜的根式，換元法也是可以考慮的解法。 例1： 解方程：(x2+5x+2)2+(x2+5x+2)-2=0 例 解方程： ,3x 43 5 3x 1 5、有理化方法： 對(duì)于一個(gè)方程，如果含有兩個(gè)根式，并且這兩個(gè)根式內(nèi)的整式的和或者差是特定的數(shù)值，那 就可以考慮用有理化的方法。

4、 例： 解方程： x2 7x 10. x2 7x 64 6、主元法: 對(duì)于一個(gè)方程，如果有兩個(gè)未知數(shù)，那么，我們可以確定其中的一個(gè)為“主元“，將另一個(gè) 未知數(shù)設(shè)定為常數(shù)，用公式法可以解出結(jié)果。 例：解方程X y2 4x 2 y 50 除了這種方法，遇到這種題目，你還有別的解法嗎? 二、判別式的運(yùn)用： b2 4ac 2a 我們知道：方程ax2+bx+c=0 (其中0)的解為: b - b2 4acb 2a X1=, X2= 一 其中，我們把：=b2-4ac稱(chēng)之為判別式 (1) 當(dāng) 0的時(shí)候，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根。 (2) 當(dāng) =0的時(shí)候，方程有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根。 (3) 當(dāng) 0,b0,且a+2

5、b+ab=30,求a、b為何值時(shí)，ab取得最大值。 三、韋達(dá)定理 對(duì)于方程ax2+bx+c=0 (其中0)的解為: b . b2 4acb . b2 4ac X1= , X2= 2a bc ,X1X2=. aa 還有幾個(gè)，我們也必須要熟悉的: 2a 那么就有：X1+X2= 除了這兩個(gè)式子之外, d ) |X1-X2|=- 注：以上的幾個(gè)公式, 11a1 1a (2) -f + 飛=匚(3) =- xxbxxc 教材沒(méi)有提及，所以，運(yùn)用的時(shí)候要加以證明，在做選擇題或者填空 題時(shí)可以直接運(yùn)用。 下面給出公式(1 )的推理： |X1-X2|= ( x1x2)2J(X1X2)2 4X1X2J( b)2

6、 4(-) Ya a b2 4ac _、 =ia 韋達(dá)定理的應(yīng)用： 1、運(yùn)用韋達(dá)定理求方程的解或者系數(shù)的范圍。 例題1: a的值。 如果關(guān)于x的方程：x2 、2x a 0的一個(gè)根是1,2,求方程的另一個(gè)根及 例題2：已知關(guān)于x的方程(a2-i)x2-(a+1)x+1=0的兩個(gè)根互為倒數(shù)，求a的值。 2、構(gòu)造方程進(jìn)行計(jì)算： 例題 1:已知 3a2+2a-仁0,3b 2+2b-1=0。求 |a-b| 的值 例題2：已知a,b,c都是整數(shù)，且有a+b+c=0,abc=16,求a、b、c三個(gè)數(shù)中的最大數(shù)的最小值。 例題3:已知在四邊形 ABCD中，對(duì)角線 AC、BD相交于點(diǎn) 0,且Saob=4,Sco

7、d =9,求四 邊形ABCD面積的最小值。 一元二次方程習(xí)題 1、等腰 ABC兩邊的長(zhǎng)分別是一元二次方程x2-9x+18=0 的兩個(gè)解，求這個(gè)三角 形的周長(zhǎng)。 【舉一反三】 例題1 : Rt ABC兩邊的長(zhǎng)分別是一元二次方程x2-5x+6=0 的兩個(gè)解，求這個(gè)三 角形的面積。 例題2 :矩形的兩邊的差為2，對(duì)角線的長(zhǎng)為4 ,求矩形的面積。 2、解方程： (1) x2-2=-2x; (2) x( x-3)+x-3=0 ； 2 (3) 4x +12x+9=81 . 3、先化簡(jiǎn)，再求值：（a-1 ） -1 ），其中a為方程x2+3x+2=0 的一個(gè)根. 【舉一反三】 例題1 :設(shè)a,b分別是方程x2

8、+3x+1=0的兩個(gè)根，求： （1）a 2+b2+ab 的值；（2）求 a3+b3 的值 例題 2:已知：5a2+12a-1=0,b2-12b-5=0, 且：ab 豐 1 ,求： ab 5ab2 5b /古 2的值。 b2 4、關(guān)于x的方程（a-5） x2-4x-1=0有實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍。 【舉一反三】 例題1 :已知關(guān)于x的方程x2-2 （ k-3 ） x+k 2-4k-1=0 （1）若這個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍； （2）若這個(gè)方程有一個(gè)根為1，求k的值； （3）若以方程x2-2 （ k-3）x+k2-4k-1=0 的兩個(gè)根為橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的點(diǎn)恰在反 比例函數(shù)y= m x 的圖象

9、上，求滿(mǎn)足條件的m的最小值. 2j. 工的方程（1）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且關(guān) 于丄的方程（2）一二 沒(méi)有實(shí)數(shù)根，問(wèn)-0,b0 ，且:a+2b+ab=30,求ab的最大值。 5、若n （ n豐0）是關(guān)于x的方程x2+mx+2 n=0的根，求m+n的值。 6、關(guān)于 x 的方程 a ( x+m) 2+b=0 的解是 xi=-2 , X2=1 , ( a, m, b 均為常數(shù)，a* 0), 解方程方程a ( x+m+2) 2+b=0 。 7、設(shè)方程(x-a ) ( x-b ) -x=0 的兩根是 c、d,解方程(x-c ) ( x-d ) +x=0。 8、有一人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有121人歡樂(lè)流感，每輪傳染中平均一 個(gè)人傳染了幾個(gè)人？ 解