北師大版-數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

1、北師大版 - 數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)第一章 特殊的平行四邊形一、平行四邊形1. 平行四邊形的定義 :兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。2. 平行四邊形的性質(zhì)（1）平行四邊形的對(duì)邊平行且相等。（對(duì)邊）（2）平行四邊形相鄰的角互補(bǔ)，對(duì)角相等（對(duì)角）（3）平行四邊形的對(duì)角線互相平分。（對(duì)角線）（4）平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)。常用點(diǎn)：（1）若一直線過平行四邊形兩對(duì)角線的交點(diǎn)，則這條直線被一組對(duì)邊截下的線段的中點(diǎn)是對(duì)角線的交點(diǎn)，并且這條直線二等分此平行四邊形的面積。（2）推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等。3. 平行四邊形的判定（1）定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是

2、平行四邊形。（對(duì)邊）（ 2）定理 1：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。（對(duì)邊）（ 3）定理 2：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。（對(duì)邊）（ 4）定理 3：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形。（對(duì)角）（ 5）定理 4：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。（對(duì)角線）4. 兩條平行線的距離兩條平行線中， 一條直線上的任意一點(diǎn)到另一條直線的距離， 叫做這兩條平行線的距離。 注意：平行線間的距離處處相等。5. 平行四邊形的面積 : S平行四邊形 =底邊長(zhǎng)高=ah二、菱形1. 菱形的定義： 有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形2. 菱形的性質(zhì)（ 1）菱形的四條邊相等，對(duì)邊平行。 （邊）（2）

3、菱形的相鄰的角互補(bǔ)，對(duì)角相等。（對(duì)角）（ 3）菱形的對(duì)角線互相垂直平分， 并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。 （對(duì)角線）（4）菱形既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形；對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)（對(duì)稱中心到菱形四條邊的距離相等）；對(duì)稱軸有兩條，是對(duì)角線所在的直線。3. 菱形的判定（1）定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。（ 2）定理 1：四邊都相等的四邊形是菱形。（邊）（ 3）定理 2：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。（對(duì)角線）（ 4）定理 3：對(duì)角線垂直且平分的四邊形是菱形。（對(duì)角線）4. 菱形的面積： S菱形=底邊長(zhǎng)高= 兩條對(duì)角線乘積的一半三、矩形1. 矩形的定義 :有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫

4、做矩形。2. 矩形的性質(zhì)（1）矩形的對(duì)邊平行且相等。（對(duì)邊）（2）矩形的四個(gè)角都是直角。（內(nèi)角）（3）矩形的對(duì)角線相等且互相平分。（對(duì)角線）（4）矩形既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形；對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)（對(duì)稱 中心到矩形四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等） ；對(duì)稱軸有兩條， 是對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的直線3. 矩形的判定（1）定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形。（ 2）定理 1：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。（角）（ 3）定理 2：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。（對(duì)角線）推論： 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。4. 矩形的面積 :S 矩形=長(zhǎng)寬=ab四、正方形1. 正方形的定義： 有一組鄰邊相等， 并且

5、有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方 形。2. 正方形的性質(zhì)（1）正方形四條邊都相等，對(duì)邊平行。（邊）（ 2）正方形的四個(gè)角都是直角 （角）（3）正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì) 角（對(duì)角線）（4）正方形既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形；對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)；對(duì) 稱軸有四條，是對(duì)角線所在的直線和對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的直線。3. 正方形的判定（1）定義：有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形（ 2）定理 1：有一組鄰邊相等的矩形是正方形。（ 3）定理 2：對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形。（ 4）定理 3：有一個(gè)角是直角的菱形是正方形。（ 5）定理 4：對(duì)

6、角線相等的菱形是正方形。（ 6）定理 5：對(duì)角線垂直且相等的平行四邊形是正方形。 判定一個(gè)四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種： （1）先證它是矩形，再證它是菱形。（2）先證它是菱形，再證它是矩形。4. 正方形的面積： 設(shè)正方形邊長(zhǎng)為 a，對(duì)角線長(zhǎng)為 b ，則五、有關(guān)中點(diǎn)四邊形問題的知識(shí)點(diǎn)：（1）順次連接任意四邊形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形；（2）順次連接矩形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形；（3）順次連接菱形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形；（4）順次連接等腰梯形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形；（5）順次連接對(duì)角線相等的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形；（6）順次連接對(duì)角線互相垂直的四邊

7、形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形；（7）順次連接多角線互相垂直且相等的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是正方形第二章 一元二次方程一、一元二次方程1. 一元二次方程定義含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2 的整式方程叫做一元二次方程。2. 一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0(a 0)，它的特征是： 等式左邊是一個(gè)關(guān)于未知數(shù) x 的二次多項(xiàng)式， 等式右邊是零，其中 ax2叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)； bx 叫做一次項(xiàng)， b 叫 做一次項(xiàng)系數(shù)； c 叫做常數(shù)項(xiàng)。二、一元二次方程的解法1. 直接開平方法直接開平方法適用于解形如 (x+a) 2=b 的一元二次方程。當(dāng) b 0 時(shí)，當(dāng) b 0

8、時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根。2. 配方法一般步驟：(1)方程 ax2+bx+c=0(a 0) 兩邊同時(shí)除以 a，將二次項(xiàng)系數(shù)化為 1。(2)將所得方程的常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊。(3) 所得方程的兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方。( 4)配方，化成 (x+a) 2=b 。5)開放，當(dāng) b 0 時(shí)，當(dāng) b 0 時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng) b2-4ac=0 時(shí)，方程 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng) b 2-4ac 0 時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根。四、補(bǔ)充：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系如果方程 ax2+bx+c=0(a 0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是 x1 ，x2 ，那么第三章 概率的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)、頻率與概率的含義 在試驗(yàn)中，每個(gè)對(duì)象出現(xiàn)

9、的頻繁程度不同，我們稱每個(gè)對(duì)象出現(xiàn)的次數(shù)為頻數(shù)，而每個(gè)對(duì)象出現(xiàn)的次數(shù)與總次數(shù)的比值為頻率，即把刻畫事件 A 發(fā)生的可能性大小的數(shù)值，稱為事件 A 發(fā)生的概率二、通過實(shí)驗(yàn)運(yùn)用穩(wěn)定的頻率來(lái)估計(jì)某一時(shí)間的概率1. 在進(jìn)行試驗(yàn)的時(shí)候，當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)很大時(shí)，某個(gè)事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定在相應(yīng)的 概率附近。2. 我們可以通過多次試驗(yàn)，用一個(gè)事件發(fā)生的頻率來(lái)估計(jì)這一事件發(fā)生的頻率。 第四章 圖形的相似一、成比例線段1. 定義：（1）線段比：如果選用一個(gè)長(zhǎng)度單位量得兩條線段 AB、CD 的長(zhǎng)度分別是 m,n ， 那么這兩條線段的比就是它們長(zhǎng)度的比，即 AB： CD=m:n, 或者寫成 AB/CD=m/n.（ 2）成比

10、例線段：四條線段 a、b 、c、d 中，如果 a 與 b 的比等于 c 與 d 的比， 即 a/b=c/d ，那么這四條線段 a、b 、c、d 叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段。2. 定理：如果 a/b=c/d=m/n（b+d+n0）,那么（ a+c+m ）/（b+d+n）=a/b二、平行線分線段成比例1. 兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。2. 平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交。截得的線段成比例。三、相似多邊形定義：各角分別相等， 各邊成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形。 相似多邊形對(duì) 應(yīng)邊的比叫做相似比。四、探索三角形相似的條件1.兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似。2.兩邊成比例且

11、夾角相等的兩個(gè)三角形相似。3. 三邊成比例的兩個(gè)三角形相似。4. 概念：一般地，點(diǎn) C把線段 AB 分成兩條線段 AC 和BC，如果 AC/AB=BC/AC ， 那么稱線段 AB 被點(diǎn) C黃金分割，點(diǎn) C叫做線段 AB 的黃金分割點(diǎn)， AC 與AB 的比叫做黃金比。五、相似三角形判定定理的證明判定定理 1 ：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等， 那么 這兩 個(gè)三角形相似。 簡(jiǎn)述為： 兩角對(duì)應(yīng)相等， 兩三角形相似。 （此定理用的最多 ）判定定理 2 ：如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例， 并 且夾 角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。簡(jiǎn)述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相

12、等， 兩三角形相似。判定定理 3 ：如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，么這 兩個(gè)三角形相似。簡(jiǎn)述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似。六、利用相似三角形測(cè)高1.利用陽(yáng)光下的影子 2.利用標(biāo)桿3. 利用鏡子的反射七、相似三角形的性質(zhì)1.相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比、對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比。2.相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方。八、圖形的位似定義：一般地，如果兩個(gè)相似多邊形任意一組對(duì)應(yīng)頂點(diǎn) P、P1 所在的直線都 經(jīng) 過同一個(gè)點(diǎn) O ，且有 OP1=k*OP(k 0),那么這樣的兩個(gè)多邊形叫做位似多邊形， 點(diǎn) O 叫做位似中心。實(shí)際上， k 就是這兩

13、個(gè)相似多邊形的相似比。第五章 投影與視圖一、三視圖1.主視圖從正面看到的圖 左視圖從左面看到的圖 俯視圖從上面 看到的圖。2.畫物體的三視圖時(shí) ,要符合如下原則 :大小：長(zhǎng)對(duì)正 ,高平齊 ,寬相等。3. 虛實(shí):在畫圖時(shí) ,看的見部分的輪廓通常畫成實(shí)線 ,看不見部分的輪廓線通常畫成 虛線。、投影1.物體在光線的照射下 ,會(huì)在地面或墻壁上留下它的影子 ,這就是投影現(xiàn)象。2.太陽(yáng)光線可以看成平行光線 ,像這樣的光線所形成的投影稱為平行投影。3. 在同一時(shí)刻 ,物體高度與影子長(zhǎng)度成比例。4. 物體的三視圖實(shí)際上就是該物體在某一平行光線 （垂直于投影面的平行光線 ）下 的平行投影。5. 探照燈,手電筒

14、,路燈,和臺(tái)燈的光線可以看成是從一點(diǎn)出發(fā)的光線 ,像這樣的光 線所形成的投影稱為中心投影。6. 皮影和手影都是在燈光照射下形成的影子 .它們是中心投影。三、視點(diǎn)、視線、盲區(qū)的定義以及在生活中的應(yīng)用。1.眼睛所在的位置稱為視點(diǎn)，2.由視點(diǎn)發(fā)出的光線稱為視線，3. 眼睛看不到的地方稱為盲區(qū)。第六章 反比例函數(shù)一、反比例函數(shù)的概念一般地如果兩個(gè)變量 x，y 之間的關(guān)系可以表示的形式， 那么稱 y 是 x 的反比例函數(shù)。 （反比例函數(shù)的解析式也可以寫成的形式。 自變量 x 的取值范圍是 x0 的一切實(shí)數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實(shí)數(shù)。）二、反 比例函數(shù)的圖象反比例函數(shù)的圖象是雙曲線， 它有兩個(gè)分支， 這兩個(gè)分支分別位 于第一、三象限，或第二、四象限，它們關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。由于反比例函數(shù)中自變 量 x0，函數(shù) y0，所以，它的圖象與 x 軸、y 軸都沒有交點(diǎn)，即雙曲