雙曲線及其標準方程詳解

1、2. 2 雙曲線2. 2.1雙曲線及其標準方程【課標要求】1. 了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程的推導過程.2 會利用雙曲線的定義和標準方程解決簡單的應用問題.【核心掃描】1用定義法、待定系數(shù)法求雙曲線的標準方程.(重點)2 與雙曲線定義有關的應用問題.(難點)01二課前探翌學 挑醪盤落實自學導引1.雙曲線的定義把平面內與兩個定點F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于IF1F2I)的點的軌跡叫做雙曲線，這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.試一試：在雙曲線的定義中，必須要求“常數(shù)小于IF1F2I”，那么“常數(shù)等于|F1F2|” ,“常數(shù)大于IF1F2I”或“常數(shù)為

2、0”時，動點的軌跡是什么？提示 (1)若“常數(shù)等于IF1F2I”時，此時動點的軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點的兩條射線F1A，F(xiàn)2B(包括端點)，如圖所示.焦點在x軸上焦點在y軸上標準方程2 2拿-1a b2 2 f 1（a0，b0）（a0， b0）焦點坐標F1（ c,0），F(xiàn)2（c,0）F1（0， c），F(xiàn)2（0，c）a，b，c的關系c2= a2+ b2(2)若“常數(shù)大于IF1F2I”，此時動點軌跡不存在.若“常數(shù)為0”，此時動點軌跡為線段F1F2的垂直平分線.2.雙曲線的標準方程A云云_S2 2 2 2想一想：如何判斷方程a2-器=1(a0，b0)和* 詁=1(a0，b0)所表示雙曲線的焦點 的

3、位置？提示 如果x2項的系數(shù)是正的，那么焦點在x軸上，如果y2項的系數(shù)是正的，那么焦點在y軸上.對于雙曲線，a不一定大于b，因此，不能像橢圓那樣比較分母的大小來判定焦點 在哪一個坐標軸上.名師點睛1. 對雙曲線定義的理解(1) 把定常數(shù)記為 2a，當2a|F1F2|時，其軌跡不存在.(2) 距離的差要加絕對值，否則只為雙曲線的一支.若F1、F2表示雙曲線的左、右焦點，且點P滿足|PF1 |PF2|= 2a，則點P在右支上；若點P滿足|PF2|PF1|= 2a，則點P在 左支上.(3) 雙曲線定義的表達式是 |PF1| |PF2|= 2a(02ab0,而雙曲線中a、b大小則不 確定.(3) 焦點

4、Fi、F2的位置，是雙曲線定位的條件，它決定了雙曲線標準方程的類型.“焦點跟著正項走”，若 x2項的系數(shù)為正，則焦點在 x軸上；若y2項的系數(shù)為正，那么焦點在y軸上.(4) 用待定系數(shù)法求雙曲線的標準方程時，如不能確定焦點的位置，可設雙曲線的標準方程為Ax2+ By2= 1(AB0, b0)兩種情況，分別求解.另外也可以設雙曲線方程為=1(mn0, b0)和* 討2 2mx2 + n y2 = 1(m n0，b0)或 m=1(0 ?0, b0),16由于點p 3,乎和Q -y, 5在雙曲線上,所以9225a2 1,256 25解得a2= 16,b2= 92若焦點在y軸上，設雙曲線的方程為 場a

5、(舍去).2xb= 1(a0, b0),將P、Q兩點坐標代入可得舉壯116a b ,25 256孑看=1,解之得亍9,b2= 16,2 2乂/ = 19162 2法二 設雙曲線方程為+ y = 1(m *0).m n/ P、Q兩點在雙曲線上，所以雙曲線的標準方程為9+225m16n25625+ 一：9mn1,解得m= 16,n= 9.2 2所求雙曲線的標準方程為弋-話=1.依題意，可設雙曲線方程為fa2+ b2= 6,依題設有254I25 -產(chǎn)1，2 2x y 2= 1(a0,a bb0).所求雙曲線的標準方程為孑=5,b2= 1,2-y2= 1.5c=.y解得法二焦點在x軸上，2設所求雙曲線

6、方程為 X入6入1(其中0圧6).雙曲線經(jīng)過點(一5,2),弩-丄=1 , 匸5或 入6入=30(舍去).所求雙曲線的標準方程是規(guī)律方法求雙曲線的標準方程與求橢圓的標準方程的方法相似，可以先根據(jù)其焦點位 置設出標準方程的形式，然后用待定系數(shù)法求出a, b的值若焦點位置不確定，可按焦點在x軸和y軸上兩種情況討論求解，此方法思路清晰，但過程復雜，注意到雙曲線過兩定 點，可設其方程為 mx2+ ny2= 1(mn n0)和雙曲線x y = 1(a0, b0)有相同的焦點，P是兩曲線 m na b的一個交點，貝V |PF1|PF2|的值為()A . m aB . m bC. m2 a2D . . m

7、, bA 解析：設點P為雙曲線右支上的點，由橢圓定義得|PF1|+ |PF2|= 2 ；m.由雙曲線定義得 |PF1| |PF2|= Z.a.A |PF1|= .m+ .a, |PF2|= . m a. |PF1| |PF2|= m a.題型二雙曲線定義的應用【例2】2 2如圖，若F1, F2是雙曲線管煮=1的兩個焦點.(1)若雙曲線上一點 M到它的一個焦點的距離等于16,求點M到另一個焦點的距離;若P是雙曲線左支上的點，且 |PF1| |PF2|= 32,試求 F1PF2的面積.思路探索（1 ）由雙曲線的定義，得|MFi|-|MF2|= 2a,則點M到另一焦點的距離易得;（2）結合已知條件及

8、余弦定理即可求得面積.2 2解雙曲線的標準方程為x 卷=1,故 a= 3, b= 4, c= a2+ b2= 5.由雙曲線的定義，得|MFi| |MF2|= 2a = 6,又雙曲線上一點M至怕的一個焦點的距離等于16,假設點M到另一個焦點的距離等于x,則|16 x| = 6,解得x= 10或x= 22.故點M到另一個焦點的距離為6或22.將|PF2|PF1|= 2a= 6,兩邊平方，得 |PF+ |PF2|2 2|PF1| |PF2|= 36 , |PF+ |PF2|2= 36 + 2|PF1|PF2|=36 + 2X 32= 100.在厶F1PF2中，由余弦定理，得cos/ F1PF2 =2

9、 2 2|PF1| + |PF2| |FjF2| |PF1| |PF2|1001002|PF1| |PF2| / F1PF2= 901 1 SA FjPF2= 2|PF1| |PF2|=32= 16.規(guī)律方法（1）求雙曲線上一點到某一焦點的距離時，若已知該點的橫、縱坐標，則根據(jù)兩點間距離公式可求結果；若已知該點到另一焦點的距離，則根據(jù)|PF1| |PF2|= 2a求解，注意對所求結果進行必要的驗證（負數(shù)應該舍去，且所求距離應該不小于c a）.在解決雙曲線中與焦點三角形有關的問題時，首先要注意定義中的條件|PF1| |PF2|=2a的應用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面積公式等知識進行

10、運算，在運 算中要注意整體思想和一些變形技巧的應用.2 2【變式2】1 已知雙曲線的方程是 話一y8 = 1，點P在雙曲線上，且到其中一個焦點F1的距離為10,點N是PF1的中點，求|0N|的大?。∣為坐標原點）.1 .解：連接ON , ON是厶PF1F2的中位線,1所以 |ON| = ?|PF2|.因為 |PF1| |PF2|= 8, |PF1|= 10,1所以 |PF2|= 2 或 18, |ON| = ?|PF2|= 1 或 9.2 2F1PF2= 602 .設P為雙曲線x6 9 = 1上一點，F(xiàn)1, F2是該雙曲線的兩個焦點，若/ 求厶pf1f2的面積.2 2 解：由方程 話一 y9

11、= 1，得 a= 4, b = 3,故 c= . 16 + 9= 5,所以 |F1F2|= 2c= 10.又由雙曲線的定義，得|PFi|PF2|= 8，兩邊平方，得|PFi|2 + PF2- 2|PFi|PF2| =64.在厶PF1F2中，由余弦定理，得FiF22= PFi2+ PF22 2PFi|PF2cos60 , 即PFi2+ PF22 PFiPF2= 100.，得 PFiPF2= 36,所以 S母證=2PFiPF2sin60 =x 369護.2 23已知雙曲線X9 6= 1的左、右焦點分別是Fi、F2，若雙曲線上一點 P使得/ F1PF2 =60 , 求 F1PF2 的面積.2 2解由

12、X 磊=1，得 a = 3, b= 4, c= 5.由定義和余弦定理，得PF1 PF2= 土,F1F22= PF12+ PF22 2PF1|PF2cos60 , 所以 102= (PF1 PF2)2+ PF1 |PF2,所以 PF1 |PF2 = 64,1 SA F1PF2= 2PF1 PF2 Sn/ F1PF213=X 64q = 16 3.誤區(qū)警示 忽略雙曲線焦點位置致誤2 2【示例】 方程宀 +廠匕=1表示雙曲線，那么 m的取值范圍是2 m m 32 m0,錯解由1解得3m2,Jm 30 m的取值范圍是 m 3m0正解依題意有爲302 m0,解得3m3. m的取值范圍是 m 3m3.答案

13、 m 3m3 , 2 2J A - 方程X + y = 1既可以表示橢圓又可以表示雙曲線.當方程表示橢圓時, m nm、n應滿足mn0或nm0 ,當mn0時，方程表示焦點在 x軸上的橢圓；當 nm0時,方程表示焦點在 y軸上的橢圓.當方程表示雙曲線時，m、n應滿足mn0, n0時，方程表示焦點在 x軸上的雙曲線；當 m0時，方程表示焦點在 y軸上的雙曲線 當堂檢測1.平面內有兩個定點F1（ 5,0）和F2（5,0），動點P滿足PF1 PF2= 6，則動點P的軌跡方程是（)2222xy ,xy ,A .=1(XW 4)B.=1 (xw 3)1699162222C.xy=1 (x 4)D.xy=1

14、 (x 3)169916答案:D解析：由已知動點P的軌跡是以F1, F2為焦點的雙曲線的右支，且a= 3, c=5, b2= c2 a2= 16,.所求軌跡方程為y =1 (x 3).162 22已知雙曲線為7 -=1，則此雙曲線的焦距為(A .：、B. 2 . 2 一 .；,，C.2 -答案：D 解析：由已知 X 0, a2= 2, b2=人c2= 2 3 .已知雙曲線A . 72 2x y-=1上的點P到(5,0)的距離為15,則點169B. 23 C. 5 或 25D. 7 或 23)D. 2,2-入焦距 2c = 2pR?.P到點(5,0)的距離為(答案：D 解析：設 F1( 5,0), F2(5,0),則由雙曲線的定義知：|PF1| |PF2|= 2a= 8, 而|PF2|= 15,解得 |PF1|= 7 或 23.4.在平面直角坐標系2 2一=1的左支上，則xOy中，已知 ABC的頂點 A( 6,0)和C(6,0)，頂點