高中數(shù)學(xué)數(shù)列知識點總結(jié)(經(jīng)典)

1、數(shù)列知識點復(fù)習(xí)龐順清高中數(shù)列知識點總結(jié)1. 等差數(shù)列的定義與性質(zhì)定義： an 1 and （ d 為常數(shù)）， aan 1 dn1等差中項： x， A， y 成等差數(shù)列2 Axya1an nn n 1d前 n 項和 Snna122性質(zhì)：an 是等差數(shù)列（ 1）若 mnpq ，則 amanapaq；（ 2）數(shù)列 a2 n 1 , a2n , a2n 1 仍為等差數(shù)列， Sn， S2n Sn， S3n S2n仍為等差數(shù)列，公差為 n 2 d ；（ 3）若三個成等差數(shù)列，可設(shè)為a d，a，a d（ 4）若 an， bn 是等差數(shù)列，且前 n 項和分別為 Sn， Tn ，則 amS2m 1bmT2m 1

2、（ 5）an為等差數(shù)列S an 2bn （ ，為常數(shù)，是關(guān)于n的常數(shù)項為0的二na b次函數(shù)）Sn 的最值可求二次函數(shù)Snan2bn 的最值；或者求出an 中的正、負(fù)分界項，即：當(dāng) a10， d0 ，解不等式組an0可得 Sn 達(dá)到最大值時的 n 值.an10當(dāng) 10， d0 ，由an0可得 Sn達(dá)到最小值時的 n 值.aan10(6)項數(shù)為偶數(shù) 2n 的等差數(shù)列an，有S2nn(a1a2 n )n(a2a2 n1 )n(anan1 )( an , an 1為中間兩項 )S偶S奇nd ，S奇an .S偶an11數(shù)列知識點復(fù)習(xí)龐順清（7）項數(shù)為奇數(shù) 2n1的等差數(shù)列an ，有S2n 1(2n1)

3、an (an) ，S奇S偶an， S奇n .S偶n 12. 等比數(shù)列的定義與性質(zhì)定義： an 1q （ q 為常數(shù)， q0）， an a1qn 1an.等比中項： x G y 成等比數(shù)列2Gxy ，或 Gxy .na1 (q1)前 n 項和： Sna 1qn（要注意?。?( q 1)1q性質(zhì)： an是等比數(shù)列（ 1）若 m np q ，則 am anap aq（ 2） Sn S2nSn S3nS2n仍為等比數(shù)列 ,公比為 q n .注意：由 Sn 求 an 時應(yīng)注意什么？n 1 時， a1 S1 ；n2 時， anSnSn 1 .3求數(shù)列通項公式的常用方法（ 1）求差（商）法an11a21an

4、 2n5 ，求 an如：數(shù)列，a122n解 n 1 時， 122a121 5，a1142n 2 時，11a21an 12n 1 5a122n 122得： 1an2 ， an2n 1 ， an14 (n1)2n 1 ( n2)2n練習(xí)數(shù)列a滿足 SnSn 15 an1 a14 ，求 ann32數(shù)列知識點復(fù)習(xí)龐順清注意到 an 1Sn 1Sn ，代入得Sn 14 又S14 ， Sn是等比數(shù)列， S 4nSn；nn 2 時， anSnSn 134n 1（ 2）疊乘法如：數(shù)列 an 中， a1an 1n，求 an3n1an解 a2a3an12n 1 ， an1 又 a13 ， an3a1 a2an 1

5、 2 3na1nn .（ 3）等差型遞推公式由 an an 1f ( n) a1a0 ，求 an ，用迭加法a2a1f (2)a3 a2f (3)a1f (2)f (3)f (n)n 2 時，兩邊相加得 ananan 1f ( n) an a0 f (2)f (3)f (n)練習(xí)數(shù)列an中， a1 1， ann1an1 nan1 3n132 ，求 an （2）（ 4）等比型遞推公式an can 1d （ c、d 為常數(shù)， c 0 c1 d0 ）可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè) an xc an 1xancan 1c1 x令 (c 1)xd ， xd， and是首項為 a1dc 為公比的等比數(shù)列c 1c 1

6、c1 anda1d cn 1 ， ana1dcn 1d1c1c1c1c（ 5）倒數(shù)法如： a11 an 12an，求 anan23數(shù)列知識點復(fù)習(xí)龐順清由已知得：1an 21 1，111an 12an2 anan 1an21為等差數(shù)列， 11，公差為 1 ， 11 n 111 n 1 ，ana12an22an2n 1(附：公 式 法 、 利 用 anS (n 1)1Sn Sn 1 ( n 2) 、 累加 法 、 累 乘 法 . 構(gòu) 造 等 差 或 等比an 1panq 或 an 1panf (n) 、待定系數(shù)法、對數(shù)變換法、迭代法、數(shù)學(xué)歸納法、換元法)4. 求數(shù)列前 n 項和的常用方法(1) 裂

7、項法把數(shù)列各項拆成兩項或多項之和，使之出現(xiàn)成對互為相反數(shù)的項.如： ann1是公差為 d 的等差數(shù)列，求k 1 ak ak 1解：由11111d 0ak ak dd akak 1ak ak 1n1nk 1 ak ak 1k 11111111111d akak 1d a1a2a2a3anan 1111da1an 1練習(xí)求和： 1111212 33n11 2anSn21n1（ 2）錯位相減法若 an 為等差數(shù)列， bn為等比數(shù)列，求數(shù)列anbn （差比數(shù)列）前 n 項和，可由4數(shù)列知識點復(fù)習(xí)龐順清Sn qSn ，求 Sn ，其中 q 為 b的公比 .n如： Sn1 2x 3x24 x3nx n 1

8、xSnx 2x23x34x4n 1 xn 1nxn1 x Sn1xx2xn 1nxn1xnnxnn n1x 1 時， Sn， x 1 時， Sn1x21 2 3n1x2（ 3）倒序相加法把數(shù)列的各項順序倒寫，再與原來順序的數(shù)列相加 .Sna1a2an 1an相加 2Sna1 ana2 an 1a1 anSnanan 1a2a1x2練習(xí)已知f ( x)，則21xf (1)f (2) f1f1f (4)1f (3)3f2412x2x2由 f ( x)1x11f1 x2121 x21 x2x1x原式f (1)f (2) f1f (3)11112ff (4) f21113342(附：a.用倒序相加法求

9、數(shù)列的前n 項和如果一個數(shù)列 an ，與首末項等距的兩項之和等于首末兩項之和，可采用把正著寫與倒著寫的兩個和式相加，就得到一個常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序相加法。我們在學(xué)知識時，不但要知其果，更要索其因，知識的得出過程是知識的源頭，也是研究同一類知識的工具， 例如：等差數(shù)列前 n 項和公式的推導(dǎo)，用的就是 “倒序相加法 ”。b.用公式法求數(shù)列的前 n 項和對等差數(shù)列、等比數(shù)列，求前 n 項和 Sn 可直接用等差、等比數(shù)列的前 n 項和公式進(jìn)行求解。運用公式求解的注意事項：首先要注意公式的應(yīng)用范圍，確定公式適用于這個數(shù)列之后，再計算。c.用裂項相消法求數(shù)列的前n 項和5數(shù)列知識點復(fù)習(xí)龐順清裂

10、項相消法是將數(shù)列的一項拆成兩項或多項， 使得前后項相抵消， 留下有限項，從而求出數(shù)列的前 n 項和。d.用錯位相減法求數(shù)列的前n 項和錯位相減法是一種常用的數(shù)列求和方法，應(yīng)用于等比數(shù)列與等差數(shù)列相乘的形式。即若在數(shù)列 ann中，n成等差數(shù)列，bn成等比數(shù)列，在和式的兩邊同乘以公比，b a 再與原式錯位相減整理后即可以求出前n 項和。e.用迭加法求數(shù)列的前 n 項和迭加法主要應(yīng)用于數(shù)列 an滿足 n+1 n，其中f(n)是等差數(shù)列或等比數(shù)列的條件下，可把這個式子變成a=a +f(n)an+1n，代入各項，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，經(jīng)過整理，可求出-a =f(n)a，從而求出 S 。nnf.用分組求和法求數(shù)列的前n 項和所謂