窗函數(shù)設計FIR濾波器

1、.專業(yè)整理 .1. 課題描述. 12. 題目及要求.13. 設計原理.13.1濾波器的分類.13.2數(shù)字濾波器工作原理13.3 FIR濾波器的設計指標33.4 窗函數(shù)設計 FIR 濾波器的設計原理53.5用窗函數(shù)設計濾波器的步驟103.6 實驗所用 MATLAB函數(shù)說數(shù)11. 學習幫手 .專業(yè)整理 .4 設計容.124.1用 MATLAB編程實現(xiàn)124.2結(jié)果分析.155 總結(jié).176參考文獻 .17. 學習幫手 .專業(yè)整理 .1. 課題描述數(shù)字濾波器是指輸入、 輸出均為數(shù)字信號， 通過數(shù)值運算處理改變輸入信號所含頻率成分的相對比例，或者濾除某些頻率成分的數(shù)字器件或程序。因此，數(shù)字濾波的概念和

2、模擬濾波相同，只是信號的形成和實現(xiàn)濾波方法不同。 正因為數(shù)字濾波通過數(shù)值運算實現(xiàn)濾波，所以數(shù)字濾波處理精度高、穩(wěn)定、體積小、質(zhì)量輕、靈活、不存在阻抗匹配問題，可以實驗模擬濾波器無法實現(xiàn)的特殊濾波功能。本課題使用 MATLAB信號處理箱和運用窗函數(shù)的FIR 濾波器去除無用信號。2. 題目及要求產(chǎn)生包含三個正弦成分（ 120hz,80hz,20hz ）的信號，設計基于窗函數(shù)的 FIR 濾波器去除 120hz,20hz 成分，保留 80hz 信號。通帶允許的最大衰減為 0.25dB，阻帶應達到的最小衰減為 20dB。 濾波器的采樣頻率為 500Hz。3. 設計原理3.1 濾波器的分類從功能上可以分為

3、：低通、高通、帶通和帶阻。從處理信號分為：經(jīng)典濾波器和現(xiàn)代濾波器。從設計方法上分為：切比雪夫和巴特沃斯從實現(xiàn)方法上分為： FIR 和 IIR3.2 數(shù)字濾波器的工作原理數(shù)字濾波器是一個離散時間系統(tǒng)，輸入x(n) 是一個時間序列，輸出 y(n) 也是一個時間序列。 如數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為H(Z), 其脈. 學習幫手 .專業(yè)整理 .沖響應為 h(n), 則在時間域存在下列關(guān)系y(n)=x(n)h(n)在 Z 域，輸入輸出存在下列關(guān)系Y(Z)=H(Z)X(Z)式中， X(Z),Y(Z) 分別為輸入 x(n) 和輸出 y(n) 的 Z 變換。同樣在頻率域，輸入和輸出存在下列關(guān)系Y(jw)=X(jw)

4、H(jw)式中， H(jw) 為數(shù)字濾波器的頻率特性，X(jw) 和 Y(jw) 分別為x(n)和 y(n) 的頻譜。 w 為數(shù)字角頻率，單位 rad 。通常設計 H(jw) 在某些頻段的響應值為 1，在某些頻段的響應為 0.X(jw) 和 H(jw) 的乘積在頻率響應為 1 的那些頻段的值仍為 X(jw) ，即在這些頻段的振幅可以無阻礙地通過濾波器，這些頻帶為通帶。X(jw) 和 H(jw) 的乘積在頻段響應為 0 的那些頻段的值不管X(jw) 大小如何均為零，即在這些頻段里的振幅不能通過濾波器，這些頻帶稱為阻帶。一個合適的數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(Z) 可以根據(jù)需要輸入x(n) 的頻率特性，經(jīng)

5、數(shù)字濾波器處理后的信號y(n) 保留信號 x(n) 中的有用頻率成分，去除無用頻率成分。3.3 FIR濾波器的設計指標我們在進行濾波器設計時，需要確定其性能指標。一般來說，濾波器的性能要求往往以頻率響應的幅度特性的允許誤差來表征。以低通濾波器特性為例，頻率響應有通帶、過渡帶及阻帶三個圍。在通帶：1- AP H (e j )1c c在阻帶中：H (e j ) Astst c. 學習幫手 .專業(yè)整理 .其中 c 為通帶截止頻率 , st 為阻帶截止頻率， Ap 為通帶誤差 , Ast 為阻帶誤差。圖 2-6 低通濾波器的幅度特性與模擬濾波器類似，數(shù)字濾波器按頻率特性劃分為低通、高通、帶通、帶阻、全

6、通等類型，由于數(shù)字濾波器的頻率響應是周期性的，周期為 2。由于頻率響應的周期性， 頻率變量以數(shù)字頻率 來表示，所以數(shù)字濾波器設計中必須給出抽樣頻率。 圖 2-7 為各種數(shù)字濾波器理想幅度，可以看出：1、一個高通濾波器相當于一個全通濾波器減去一個低通濾波器。2、一個帶通濾波器相當于兩個低通濾波器相減。3、一個帶阻濾波器相當于一個低通濾波器加上一個高通濾波器。這里的相加相減都是相當于并聯(lián)結(jié)構(gòu)。圖2-7 中所示的各種數(shù)字濾波器理想頻率響應只表示了正頻率部分，這樣的理想頻率響應是不可能實現(xiàn)的， 原因是頻帶之間幅度響應是突變的，因而其單位抽樣響應是非因果的。因此要給出實際逼近容限。數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)

7、H ( z) ，它在 z 平面單位圓上的值為濾波器頻率響應 H (e j ) ，表征數(shù)字濾波器頻率響應特征的三個參量是幅度平方響應、相位響應和群延時響應。. 學習幫手 .專業(yè)整理 .窗函數(shù)的設計指標主要為：過渡帶寬和阻帶最小衰減。3.4 窗函數(shù)設計 FIR 濾波器的設計原理FIR濾波器與 IIR 濾波器特點不同， 設計方法也就不同。 由于 FIR系統(tǒng)的沖激響應就是其系統(tǒng)函數(shù)各次項的系數(shù)，所以設計 FIR 濾波器的方法之一可以從時域出發(fā)，截取有限長的一段沖激響應作為H（z）的系數(shù)，沖激響應長度N就是系統(tǒng)函數(shù) H（z）的階數(shù)。只要N足夠長，截取的方法合理，總能滿足頻域的要求。這種時域設計、頻域檢驗

8、的方法一般要反復幾個回合，不像IIR DF 設計靠解析公式一次計. 學習幫手 .專業(yè)整理 .算成功。窗函數(shù)法設計 FIR 的基本思想是 : 首先根據(jù)給定的設計指標求出理想濾波器的頻響 , 其對應的單位樣值響應是非因果的無限長序列。設計要用一個有限長序列來逼近它 , 最有效的辦法是用一個有限長的窗函數(shù)截取理想濾波器的單位樣值響應 , 因而窗函數(shù)的形狀及長度的選擇就成為了關(guān)鍵。在 Matlab 中常用的窗函數(shù)有矩形窗、 Hanning 窗、Hamming窗、Blackman 窗、Kaiser 窗等。這些窗函數(shù)各有優(yōu)缺點 , 所以要根據(jù)實際情況合理選擇窗函數(shù)類型。3.4.1. 窗函數(shù)分為 ：矩形窗、

9、三角形窗、漢寧窗（ Hanning）、哈明窗、布萊克曼窗、凱塞 - 貝塞爾窗。3.4.2.窗函數(shù)法設計原理設數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)為 H ( ej ) , hd (n) 是與其對應的單位脈沖響應 , H ( z) 為系統(tǒng)函數(shù)。N1H ( e j)h(n)e j nn0hd (n)1H d (ej ) e j n d2N1H ( z)h(n)z nn0(式3.1.1)(式3.1.2)(式3.1.3)一般說來 , hd ( n) 是無限長的 , 需要求對 H d (e j ) 的一個逼近。 采用窗函數(shù)設計法時 , 可通過對理想濾波器的單位采樣響應加窗設計濾波器h(n)(n) hd (n)(式3.1.

10、4)其中 ,(n) 是一個長度有限的窗 , 在區(qū)間 0 nN外值為 0,且關(guān)于中間點對稱. 學習幫手 .專業(yè)整理 .( n)(N1n)(式3.1.5)頻率響應根據(jù) ( 式 3.1.5) ,由卷積定理得出H (e j )1 H d (ej) ? (e j )式2(3.1.6)理想的頻率響應被窗函數(shù)的離散時間傅立葉變換 (ej ) “平滑”了。采用窗函數(shù)設計法設計出來的濾波器的頻率響應對理想響應H d (e j ) 的逼近程度 , 由兩個因素決定: (ej ) 主瓣的寬度 ; (ej )旁瓣的幅度大小。理想的情況是 (ej ) 主瓣的寬度窄 , 旁瓣的幅度小。但對于一個長度固定的窗函數(shù)來說 , 這

11、些不能獨立地達到最小。窗函數(shù)的一些通用性質(zhì)為:1、窗函數(shù)的長度 N增加 , 主瓣的寬度減小 , 使得過渡帶變小。關(guān)系為 :NB = C 其中 :B 是過渡帶的寬度 ;C是取決于窗函數(shù)的一個參數(shù)。如矩形窗為 4。調(diào)整 N可以有效地控制過渡帶的寬度 , 但N的改變不改變主瓣和旁瓣的相對比例。隨著 N值增加 , 過渡帶變窄 , 波動頻率也隨著增加 , 雖然總的幅度有所減少 , 但截止頻率附近的肩峰并不減少 , 而只是隨著 N值的增加 , 肩峰被抑制在愈來愈小的圍 , 使肩峰寬度變窄。2、窗函數(shù)的旁瓣的幅度大小取決于窗函數(shù)的選擇。選擇恰當?shù)拇昂瘮?shù)使主瓣包含更多的能量 , 相應旁瓣的幅度就減小。旁瓣幅度

12、的減小 , 可以減少通帶和阻帶的波動 , 使通帶盡可能趨近水平 , 阻帶盡可能達到最大衰減。但通常此時過渡帶會變寬。3、取不同的窗函數(shù)對幅度特性的整形效果比單純的增加窗口長度要強得多。3.4.3設計方法這種方法也叫傅里葉級數(shù)法。 一般是先給出所要求的理想的濾波器 的 頻率 響應 H d (ej)，要求設計一個 FIR 濾波器頻率響應N1H (e j )h(n) e j n 來逼近 H d (ej ) 。設計是在時域進行的，因而先由n0H d (e j ) 的傅里葉反變換導出 hd (n) ，即hd ( n)1H d (e j )e j n d(式 3.2.1)2由于 H d (e j ) 是矩

13、形頻率響應特性，故hd (n) 一定是無限長序列，且是. 學習幫手 .專業(yè)整理 .非因果的，而 FIR 濾波器的 h(n) 必然是有限長的，所以要用有限長的 h( n) 來逼近無限長的 hd ( n) ，最有效的方法是截斷 hd ( n) 或者說用一個有限長度的窗口函數(shù)序列(n) 來截取 hd (n) ，即h(n)( n) hd (n)(式 3.2.2)因而窗函數(shù)序列的形狀及長度的選擇就是關(guān)鍵。我們以一個截止頻率為c 的線性相位的理想矩形幅度特性的低通濾波器為例來討論。設低通特性的群延時為，即H d (e j )e j, cc(式0,c,c3.2.3)這表明，在通帶c 圍， H d (e j

14、) 的幅度是均勻的，其值為1，相位是。利用 (1) 式可得hd (n)1e je j n dc sin c (n)(式c2cc ( n)3.2.4)hd (n) 是中心點在 的偶對稱無限長非因果序列，要得到有限長的 h( n) ，一種最簡單的方法就是取矩形窗 RN (n) ，即(n)RN (n)但是按照線形相位濾波器的約束， h(n) 必須是偶對稱的，對稱中心應為長度的一半 (N-1)/2 ，因而必須 =(N-1)/2 ，所以有hd ( n),0 nN 1h(n) hd (n) ( n)0, n為其他(式 3.2.5)N - 12將( 式 3.2.4)代入 ( 式 3.25) ，可得sinN1

15、c (n)c2(式 3.2.6)h(n)N1 ,0 n N 1c (n)20, n為其他值. 學習幫手 .專業(yè)整理 .此時，一定滿足h(n)h(N1n) 這一線性相位的條件。下面求 h(n) 的傅里葉變換，也就是找出待求 FIR 濾波器的頻率特性，以便能看出加窗處理后究竟對頻率響應有何影響。按照復卷積公式， 在時域是相乘、頻域上是周期性卷積關(guān)系，即H (e j)1H d (e j )e j () d(式 3.2.7)2因而 H ( ej) 逼近 H d (e j ) 的好壞，完全取決于窗函數(shù)的頻率特性W (e j ) 。窗函數(shù) (n) 的頻率特性 W (e j) 為W (e jN 1(式 3.

16、2.8)( n)e j nn 0對矩形窗 RN ( n) ，則有N1N 1jj njWR (e)ee2n0sin( N )2(式 3.2.9)sin( N )2也可表示成幅度函數(shù)與相位函數(shù)j (N 1j)(式 3.2.10)WN (e)WR ()e2其中N)sin(式 3.2.11)WR( )2sin( N )2WR ( ej ) 就是頻域抽樣插函數(shù)， 其幅度函數(shù) WR ( ) 在2 /N 之為一個主瓣，兩側(cè)形成許多衰減振蕩的旁瓣，如果將理想頻率響應也寫成H d (ej)H d ()ej ( N 1)(式 3.2.12)2則其幅度函數(shù)為. 學習幫手 .專業(yè)整理 .1,c(式 3.2.13)H

17、d ( )0,c3.5 用窗函數(shù)設計濾波器的步驟1、根據(jù)阻帶的衰減，選擇合適的窗：不同的窗有不同的性質(zhì)：不同的窗函數(shù)，產(chǎn)生泄漏的大小不一樣，頻率分辨能力也不一樣。信號的截斷產(chǎn)生了能量泄漏，而用FFT算法計算頻譜又產(chǎn)生了柵欄效應， 從原理上講這兩種誤差都是不能消除的，但是我們可以通過選擇不同的窗函數(shù)對它們的影響進行抑制。( 矩形窗主瓣窄，旁瓣大，頻率識別精度最高，幅值識別精度最低；布萊克曼窗主瓣寬，旁瓣小，頻率識別精度最低，但幅值識別精度最高) 。2、根據(jù)窗函數(shù)得到的序列經(jīng)過firl或 fir2得到一個濾波器傳輸函數(shù)系數(shù)的序列。1）fir1： 用來設計傳統(tǒng)的低通，高通，帶通，帶阻，多頻帶FIR濾

18、波器；調(diào)用格式： b = fir1(N,Wn);b = fir1(N,Wn,high );b = fir1(N,Wn,stop );參數(shù)說明： N：階次，濾波器長度為N1；Wn：通帶截止頻率，其值在01之間， 1對應 Fs/2 ；b:濾波器系數(shù)。. 學習幫手 .專業(yè)整理 .在上述所有格式中，若不指定窗函數(shù)的類型， fir1 自動選擇 Hamming窗。2）fir2： 用來設計具有任意幅度響應的FIR 濾波器。調(diào)用格式： b = fir2(N, F, M);參數(shù)說明： F 是頻率向量，其值在 01之間；M是和 F 相對應的所希望的幅頻相應。如同 fir1,缺省時自動選用Hamming窗。3）為了

19、觀測到設計出來的濾波器的特性，用freqz 得到頻率響應。其中在畫頻率響應的時候我們分為幅度和相位畫出。又因為我們要觀測的是衰減的大小程度，以 dB 為單位，所以我們在畫幅度的時候縱坐標應該轉(zhuǎn)換成dB。4）為了觀測是否濾除已知頻率，用filte(b,1,a)函數(shù)來實現(xiàn)，對信號的濾波實驗。3.6 實驗所用 MATLAB函數(shù)說數(shù)1H,w=freqz(b,a,N)b 和 a 分別為離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)分子、分母多項式的系數(shù)向量，返回量 H 則包含了離散系統(tǒng)頻響在 0 pi 圍 N 個頻率等分點的值（其中 N 為正整數(shù)），w則包含了圍 N 個頻率等分點。調(diào)用默認的 N時，其值是 512?？梢韵日{(diào)用 fr

20、eqz()函數(shù)計算系統(tǒng)的頻率響應，然后利用abs() 和 angle() 函數(shù)及 plot()函數(shù)，繪制出系統(tǒng)的頻響曲線。2 Wn=kaiser(N,beta)列向量 wn中返回長度為 N 的凱塞貝塞爾窗函數(shù)w（n）。3 ceil(x)是取大于等于 x 的最小整數(shù)。4 fir1使用窗函數(shù)法設計線性相位 FIR 數(shù)字濾波器的工具箱函數(shù)。本函數(shù)在 3.5 中有詳細介紹。. 學習幫手 .專業(yè)整理 .4. 設計容4.1 用 MATLAB設計程序如下clear;fs=500;t=(1:250)/fs;x=10*cos(2*pi*20*t)+cos(2*pi*80*t)+10*cos(2*pi*120*t

21、);L=length(x);N=2(nextpow2(L);Hw=fft(x,N);figure(2);subplot(2,1,1);plot(t,x);grid on;title(濾波前信號x);xlabel(時間 /s);%原始信號subplot(2,1,2);plot(0:N-1)*fs/L,abs(Hw);%查看信號頻譜grid on;title(濾波前信號頻譜圖);xlabel(頻率 /Hz);ylabel(振幅 |H(ejw)|);Ap=0.25;As=20;%定義通帶及阻帶衰減dev=10(-As/20),(10(Ap/20)-1)/(10(Ap/20)+1),10(-As/20

22、);%計算偏移量mags=0,1,0;%帶通fcuts=30,50,90,110;%邊界頻率N,Wn,beta,ftype=kaiserord(fcuts,mags,dev,fs);%估算 FIR 濾波器階數(shù)hh2=fir1(N,Wn,ftype,kaiser(N+1,beta);% FIR濾波器設計hn,w1=freqz(hh2,1,512);%求解數(shù)字濾波器的頻率響應figure(5)stem(hh2). 學習幫手 .專業(yè)整理 .title(hh2波形 )figure(1)%繪圖subplot(2,1,1)plot(w1/pi,20*log10(abs(hn)gridxlabel(頻率 w);ylabe