窗函數(shù)設(shè)計(jì)FIR濾波器

1、.專(zhuān)業(yè)整理 .1. 課題描述. 12. 題目及要求.13. 設(shè)計(jì)原理.13.1濾波器的分類(lèi).13.2數(shù)字濾波器工作原理13.3 FIR濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)33.4 窗函數(shù)設(shè)計(jì) FIR 濾波器的設(shè)計(jì)原理53.5用窗函數(shù)設(shè)計(jì)濾波器的步驟103.6 實(shí)驗(yàn)所用 MATLAB函數(shù)說(shuō)數(shù)11. 學(xué)習(xí)幫手 .專(zhuān)業(yè)整理 .4 設(shè)計(jì)容.124.1用 MATLAB編程實(shí)現(xiàn)124.2結(jié)果分析.155 總結(jié).176參考文獻(xiàn) .17. 學(xué)習(xí)幫手 .專(zhuān)業(yè)整理 .1. 課題描述數(shù)字濾波器是指輸入、 輸出均為數(shù)字信號(hào)， 通過(guò)數(shù)值運(yùn)算處理改變輸入信號(hào)所含頻率成分的相對(duì)比例，或者濾除某些頻率成分的數(shù)字器件或程序。因此，數(shù)字濾波的概念和

2、模擬濾波相同，只是信號(hào)的形成和實(shí)現(xiàn)濾波方法不同。 正因?yàn)閿?shù)字濾波通過(guò)數(shù)值運(yùn)算實(shí)現(xiàn)濾波，所以數(shù)字濾波處理精度高、穩(wěn)定、體積小、質(zhì)量輕、靈活、不存在阻抗匹配問(wèn)題，可以實(shí)驗(yàn)?zāi)M濾波器無(wú)法實(shí)現(xiàn)的特殊濾波功能。本課題使用 MATLAB信號(hào)處理箱和運(yùn)用窗函數(shù)的FIR 濾波器去除無(wú)用信號(hào)。2. 題目及要求產(chǎn)生包含三個(gè)正弦成分（ 120hz,80hz,20hz ）的信號(hào)，設(shè)計(jì)基于窗函數(shù)的 FIR 濾波器去除 120hz,20hz 成分，保留 80hz 信號(hào)。通帶允許的最大衰減為 0.25dB，阻帶應(yīng)達(dá)到的最小衰減為 20dB。 濾波器的采樣頻率為 500Hz。3. 設(shè)計(jì)原理3.1 濾波器的分類(lèi)從功能上可以分為

3、：低通、高通、帶通和帶阻。從處理信號(hào)分為：經(jīng)典濾波器和現(xiàn)代濾波器。從設(shè)計(jì)方法上分為：切比雪夫和巴特沃斯從實(shí)現(xiàn)方法上分為： FIR 和 IIR3.2 數(shù)字濾波器的工作原理數(shù)字濾波器是一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)，輸入x(n) 是一個(gè)時(shí)間序列，輸出 y(n) 也是一個(gè)時(shí)間序列。 如數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為H(Z), 其脈. 學(xué)習(xí)幫手 .專(zhuān)業(yè)整理 .沖響應(yīng)為 h(n), 則在時(shí)間域存在下列關(guān)系y(n)=x(n)h(n)在 Z 域，輸入輸出存在下列關(guān)系Y(Z)=H(Z)X(Z)式中， X(Z),Y(Z) 分別為輸入 x(n) 和輸出 y(n) 的 Z 變換。同樣在頻率域，輸入和輸出存在下列關(guān)系Y(jw)=X(jw)

4、H(jw)式中， H(jw) 為數(shù)字濾波器的頻率特性，X(jw) 和 Y(jw) 分別為x(n)和 y(n) 的頻譜。 w 為數(shù)字角頻率，單位 rad 。通常設(shè)計(jì) H(jw) 在某些頻段的響應(yīng)值為 1，在某些頻段的響應(yīng)為 0.X(jw) 和 H(jw) 的乘積在頻率響應(yīng)為 1 的那些頻段的值仍為 X(jw) ，即在這些頻段的振幅可以無(wú)阻礙地通過(guò)濾波器，這些頻帶為通帶。X(jw) 和 H(jw) 的乘積在頻段響應(yīng)為 0 的那些頻段的值不管X(jw) 大小如何均為零，即在這些頻段里的振幅不能通過(guò)濾波器，這些頻帶稱(chēng)為阻帶。一個(gè)合適的數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(Z) 可以根據(jù)需要輸入x(n) 的頻率特性，經(jīng)

5、數(shù)字濾波器處理后的信號(hào)y(n) 保留信號(hào) x(n) 中的有用頻率成分，去除無(wú)用頻率成分。3.3 FIR濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)我們?cè)谶M(jìn)行濾波器設(shè)計(jì)時(shí)，需要確定其性能指標(biāo)。一般來(lái)說(shuō)，濾波器的性能要求往往以頻率響應(yīng)的幅度特性的允許誤差來(lái)表征。以低通濾波器特性為例，頻率響應(yīng)有通帶、過(guò)渡帶及阻帶三個(gè)圍。在通帶：1- AP H (e j )1c c在阻帶中：H (e j ) Astst c. 學(xué)習(xí)幫手 .專(zhuān)業(yè)整理 .其中 c 為通帶截止頻率 , st 為阻帶截止頻率， Ap 為通帶誤差 , Ast 為阻帶誤差。圖 2-6 低通濾波器的幅度特性與模擬濾波器類(lèi)似，數(shù)字濾波器按頻率特性劃分為低通、高通、帶通、帶阻、全

6、通等類(lèi)型，由于數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是周期性的，周期為 2。由于頻率響應(yīng)的周期性， 頻率變量以數(shù)字頻率 來(lái)表示，所以數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)中必須給出抽樣頻率。 圖 2-7 為各種數(shù)字濾波器理想幅度，可以看出：1、一個(gè)高通濾波器相當(dāng)于一個(gè)全通濾波器減去一個(gè)低通濾波器。2、一個(gè)帶通濾波器相當(dāng)于兩個(gè)低通濾波器相減。3、一個(gè)帶阻濾波器相當(dāng)于一個(gè)低通濾波器加上一個(gè)高通濾波器。這里的相加相減都是相當(dāng)于并聯(lián)結(jié)構(gòu)。圖2-7 中所示的各種數(shù)字濾波器理想頻率響應(yīng)只表示了正頻率部分，這樣的理想頻率響應(yīng)是不可能實(shí)現(xiàn)的， 原因是頻帶之間幅度響應(yīng)是突變的，因而其單位抽樣響應(yīng)是非因果的。因此要給出實(shí)際逼近容限。數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)

7、H ( z) ，它在 z 平面單位圓上的值為濾波器頻率響應(yīng) H (e j ) ，表征數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)特征的三個(gè)參量是幅度平方響應(yīng)、相位響應(yīng)和群延時(shí)響應(yīng)。. 學(xué)習(xí)幫手 .專(zhuān)業(yè)整理 .窗函數(shù)的設(shè)計(jì)指標(biāo)主要為：過(guò)渡帶寬和阻帶最小衰減。3.4 窗函數(shù)設(shè)計(jì) FIR 濾波器的設(shè)計(jì)原理FIR濾波器與 IIR 濾波器特點(diǎn)不同， 設(shè)計(jì)方法也就不同。 由于 FIR系統(tǒng)的沖激響應(yīng)就是其系統(tǒng)函數(shù)各次項(xiàng)的系數(shù)，所以設(shè)計(jì) FIR 濾波器的方法之一可以從時(shí)域出發(fā)，截取有限長(zhǎng)的一段沖激響應(yīng)作為H（z）的系數(shù)，沖激響應(yīng)長(zhǎng)度N就是系統(tǒng)函數(shù) H（z）的階數(shù)。只要N足夠長(zhǎng)，截取的方法合理，總能滿(mǎn)足頻域的要求。這種時(shí)域設(shè)計(jì)、頻域檢驗(yàn)

8、的方法一般要反復(fù)幾個(gè)回合，不像IIR DF 設(shè)計(jì)靠解析公式一次計(jì). 學(xué)習(xí)幫手 .專(zhuān)業(yè)整理 .算成功。窗函數(shù)法設(shè)計(jì) FIR 的基本思想是 : 首先根據(jù)給定的設(shè)計(jì)指標(biāo)求出理想濾波器的頻響 , 其對(duì)應(yīng)的單位樣值響應(yīng)是非因果的無(wú)限長(zhǎng)序列。設(shè)計(jì)要用一個(gè)有限長(zhǎng)序列來(lái)逼近它 , 最有效的辦法是用一個(gè)有限長(zhǎng)的窗函數(shù)截取理想濾波器的單位樣值響應(yīng) , 因而窗函數(shù)的形狀及長(zhǎng)度的選擇就成為了關(guān)鍵。在 Matlab 中常用的窗函數(shù)有矩形窗、 Hanning 窗、Hamming窗、Blackman 窗、Kaiser 窗等。這些窗函數(shù)各有優(yōu)缺點(diǎn) , 所以要根據(jù)實(shí)際情況合理選擇窗函數(shù)類(lèi)型。3.4.1. 窗函數(shù)分為 ：矩形窗、

9、三角形窗、漢寧窗（ Hanning）、哈明窗、布萊克曼窗、凱塞 - 貝塞爾窗。3.4.2.窗函數(shù)法設(shè)計(jì)原理設(shè)數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)為 H ( ej ) , hd (n) 是與其對(duì)應(yīng)的單位脈沖響應(yīng) , H ( z) 為系統(tǒng)函數(shù)。N1H ( e j)h(n)e j nn0hd (n)1H d (ej ) e j n d2N1H ( z)h(n)z nn0(式3.1.1)(式3.1.2)(式3.1.3)一般說(shuō)來(lái) , hd ( n) 是無(wú)限長(zhǎng)的 , 需要求對(duì) H d (e j ) 的一個(gè)逼近。 采用窗函數(shù)設(shè)計(jì)法時(shí) , 可通過(guò)對(duì)理想濾波器的單位采樣響應(yīng)加窗設(shè)計(jì)濾波器h(n)(n) hd (n)(式3.1.

10、4)其中 ,(n) 是一個(gè)長(zhǎng)度有限的窗 , 在區(qū)間 0 nN外值為 0,且關(guān)于中間點(diǎn)對(duì)稱(chēng). 學(xué)習(xí)幫手 .專(zhuān)業(yè)整理 .( n)(N1n)(式3.1.5)頻率響應(yīng)根據(jù) ( 式 3.1.5) ,由卷積定理得出H (e j )1 H d (ej) ? (e j )式2(3.1.6)理想的頻率響應(yīng)被窗函數(shù)的離散時(shí)間傅立葉變換 (ej ) “平滑”了。采用窗函數(shù)設(shè)計(jì)法設(shè)計(jì)出來(lái)的濾波器的頻率響應(yīng)對(duì)理想響應(yīng)H d (e j ) 的逼近程度 , 由兩個(gè)因素決定: (ej ) 主瓣的寬度 ; (ej )旁瓣的幅度大小。理想的情況是 (ej ) 主瓣的寬度窄 , 旁瓣的幅度小。但對(duì)于一個(gè)長(zhǎng)度固定的窗函數(shù)來(lái)說(shuō) , 這

11、些不能獨(dú)立地達(dá)到最小。窗函數(shù)的一些通用性質(zhì)為:1、窗函數(shù)的長(zhǎng)度 N增加 , 主瓣的寬度減小 , 使得過(guò)渡帶變小。關(guān)系為 :NB = C 其中 :B 是過(guò)渡帶的寬度 ;C是取決于窗函數(shù)的一個(gè)參數(shù)。如矩形窗為 4。調(diào)整 N可以有效地控制過(guò)渡帶的寬度 , 但N的改變不改變主瓣和旁瓣的相對(duì)比例。隨著 N值增加 , 過(guò)渡帶變窄 , 波動(dòng)頻率也隨著增加 , 雖然總的幅度有所減少 , 但截止頻率附近的肩峰并不減少 , 而只是隨著 N值的增加 , 肩峰被抑制在愈來(lái)愈小的圍 , 使肩峰寬度變窄。2、窗函數(shù)的旁瓣的幅度大小取決于窗函數(shù)的選擇。選擇恰當(dāng)?shù)拇昂瘮?shù)使主瓣包含更多的能量 , 相應(yīng)旁瓣的幅度就減小。旁瓣幅度

12、的減小 , 可以減少通帶和阻帶的波動(dòng) , 使通帶盡可能趨近水平 , 阻帶盡可能達(dá)到最大衰減。但通常此時(shí)過(guò)渡帶會(huì)變寬。3、取不同的窗函數(shù)對(duì)幅度特性的整形效果比單純的增加窗口長(zhǎng)度要強(qiáng)得多。3.4.3設(shè)計(jì)方法這種方法也叫傅里葉級(jí)數(shù)法。 一般是先給出所要求的理想的濾波器 的 頻率 響應(yīng) H d (ej)，要求設(shè)計(jì)一個(gè) FIR 濾波器頻率響應(yīng)N1H (e j )h(n) e j n 來(lái)逼近 H d (ej ) 。設(shè)計(jì)是在時(shí)域進(jìn)行的，因而先由n0H d (e j ) 的傅里葉反變換導(dǎo)出 hd (n) ，即hd ( n)1H d (e j )e j n d(式 3.2.1)2由于 H d (e j ) 是矩

13、形頻率響應(yīng)特性，故hd (n) 一定是無(wú)限長(zhǎng)序列，且是. 學(xué)習(xí)幫手 .專(zhuān)業(yè)整理 .非因果的，而 FIR 濾波器的 h(n) 必然是有限長(zhǎng)的，所以要用有限長(zhǎng)的 h( n) 來(lái)逼近無(wú)限長(zhǎng)的 hd ( n) ，最有效的方法是截?cái)?hd ( n) 或者說(shuō)用一個(gè)有限長(zhǎng)度的窗口函數(shù)序列(n) 來(lái)截取 hd (n) ，即h(n)( n) hd (n)(式 3.2.2)因而窗函數(shù)序列的形狀及長(zhǎng)度的選擇就是關(guān)鍵。我們以一個(gè)截止頻率為c 的線(xiàn)性相位的理想矩形幅度特性的低通濾波器為例來(lái)討論。設(shè)低通特性的群延時(shí)為，即H d (e j )e j, cc(式0,c,c3.2.3)這表明，在通帶c 圍， H d (e j

14、) 的幅度是均勻的，其值為1，相位是。利用 (1) 式可得hd (n)1e je j n dc sin c (n)(式c2cc ( n)3.2.4)hd (n) 是中心點(diǎn)在 的偶對(duì)稱(chēng)無(wú)限長(zhǎng)非因果序列，要得到有限長(zhǎng)的 h( n) ，一種最簡(jiǎn)單的方法就是取矩形窗 RN (n) ，即(n)RN (n)但是按照線(xiàn)形相位濾波器的約束， h(n) 必須是偶對(duì)稱(chēng)的，對(duì)稱(chēng)中心應(yīng)為長(zhǎng)度的一半 (N-1)/2 ，因而必須 =(N-1)/2 ，所以有hd ( n),0 nN 1h(n) hd (n) ( n)0, n為其他(式 3.2.5)N - 12將( 式 3.2.4)代入 ( 式 3.25) ，可得sinN1

15、c (n)c2(式 3.2.6)h(n)N1 ,0 n N 1c (n)20, n為其他值. 學(xué)習(xí)幫手 .專(zhuān)業(yè)整理 .此時(shí)，一定滿(mǎn)足h(n)h(N1n) 這一線(xiàn)性相位的條件。下面求 h(n) 的傅里葉變換，也就是找出待求 FIR 濾波器的頻率特性，以便能看出加窗處理后究竟對(duì)頻率響應(yīng)有何影響。按照復(fù)卷積公式， 在時(shí)域是相乘、頻域上是周期性卷積關(guān)系，即H (e j)1H d (e j )e j () d(式 3.2.7)2因而 H ( ej) 逼近 H d (e j ) 的好壞，完全取決于窗函數(shù)的頻率特性W (e j ) 。窗函數(shù) (n) 的頻率特性 W (e j) 為W (e jN 1(式 3.

16、2.8)( n)e j nn 0對(duì)矩形窗 RN ( n) ，則有N1N 1jj njWR (e)ee2n0sin( N )2(式 3.2.9)sin( N )2也可表示成幅度函數(shù)與相位函數(shù)j (N 1j)(式 3.2.10)WN (e)WR ()e2其中N)sin(式 3.2.11)WR( )2sin( N )2WR ( ej ) 就是頻域抽樣插函數(shù)， 其幅度函數(shù) WR ( ) 在2 /N 之為一個(gè)主瓣，兩側(cè)形成許多衰減振蕩的旁瓣，如果將理想頻率響應(yīng)也寫(xiě)成H d (ej)H d ()ej ( N 1)(式 3.2.12)2則其幅度函數(shù)為. 學(xué)習(xí)幫手 .專(zhuān)業(yè)整理 .1,c(式 3.2.13)H

17、d ( )0,c3.5 用窗函數(shù)設(shè)計(jì)濾波器的步驟1、根據(jù)阻帶的衰減，選擇合適的窗：不同的窗有不同的性質(zhì)：不同的窗函數(shù)，產(chǎn)生泄漏的大小不一樣，頻率分辨能力也不一樣。信號(hào)的截?cái)喈a(chǎn)生了能量泄漏，而用FFT算法計(jì)算頻譜又產(chǎn)生了柵欄效應(yīng)， 從原理上講這兩種誤差都是不能消除的，但是我們可以通過(guò)選擇不同的窗函數(shù)對(duì)它們的影響進(jìn)行抑制。( 矩形窗主瓣窄，旁瓣大，頻率識(shí)別精度最高，幅值識(shí)別精度最低；布萊克曼窗主瓣寬，旁瓣小，頻率識(shí)別精度最低，但幅值識(shí)別精度最高) 。2、根據(jù)窗函數(shù)得到的序列經(jīng)過(guò)firl或 fir2得到一個(gè)濾波器傳輸函數(shù)系數(shù)的序列。1）fir1： 用來(lái)設(shè)計(jì)傳統(tǒng)的低通，高通，帶通，帶阻，多頻帶FIR濾

18、波器；調(diào)用格式： b = fir1(N,Wn);b = fir1(N,Wn,high );b = fir1(N,Wn,stop );參數(shù)說(shuō)明： N：階次，濾波器長(zhǎng)度為N1；Wn：通帶截止頻率，其值在01之間， 1對(duì)應(yīng) Fs/2 ；b:濾波器系數(shù)。. 學(xué)習(xí)幫手 .專(zhuān)業(yè)整理 .在上述所有格式中，若不指定窗函數(shù)的類(lèi)型， fir1 自動(dòng)選擇 Hamming窗。2）fir2： 用來(lái)設(shè)計(jì)具有任意幅度響應(yīng)的FIR 濾波器。調(diào)用格式： b = fir2(N, F, M);參數(shù)說(shuō)明： F 是頻率向量，其值在 01之間；M是和 F 相對(duì)應(yīng)的所希望的幅頻相應(yīng)。如同 fir1,缺省時(shí)自動(dòng)選用Hamming窗。3）為了

19、觀測(cè)到設(shè)計(jì)出來(lái)的濾波器的特性，用freqz 得到頻率響應(yīng)。其中在畫(huà)頻率響應(yīng)的時(shí)候我們分為幅度和相位畫(huà)出。又因?yàn)槲覀円^測(cè)的是衰減的大小程度，以 dB 為單位，所以我們?cè)诋?huà)幅度的時(shí)候縱坐標(biāo)應(yīng)該轉(zhuǎn)換成dB。4）為了觀測(cè)是否濾除已知頻率，用filte(b,1,a)函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)，對(duì)信號(hào)的濾波實(shí)驗(yàn)。3.6 實(shí)驗(yàn)所用 MATLAB函數(shù)說(shuō)數(shù)1H,w=freqz(b,a,N)b 和 a 分別為離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)分子、分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量，返回量 H 則包含了離散系統(tǒng)頻響在 0 pi 圍 N 個(gè)頻率等分點(diǎn)的值（其中 N 為正整數(shù)），w則包含了圍 N 個(gè)頻率等分點(diǎn)。調(diào)用默認(rèn)的 N時(shí)，其值是 512?？梢韵日{(diào)用 fr

20、eqz()函數(shù)計(jì)算系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，然后利用abs() 和 angle() 函數(shù)及 plot()函數(shù)，繪制出系統(tǒng)的頻響曲線(xiàn)。2 Wn=kaiser(N,beta)列向量 wn中返回長(zhǎng)度為 N 的凱塞貝塞爾窗函數(shù)w（n）。3 ceil(x)是取大于等于 x 的最小整數(shù)。4 fir1使用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)線(xiàn)性相位 FIR 數(shù)字濾波器的工具箱函數(shù)。本函數(shù)在 3.5 中有詳細(xì)介紹。. 學(xué)習(xí)幫手 .專(zhuān)業(yè)整理 .4. 設(shè)計(jì)容4.1 用 MATLAB設(shè)計(jì)程序如下clear;fs=500;t=(1:250)/fs;x=10*cos(2*pi*20*t)+cos(2*pi*80*t)+10*cos(2*pi*120*t

21、);L=length(x);N=2(nextpow2(L);Hw=fft(x,N);figure(2);subplot(2,1,1);plot(t,x);grid on;title(濾波前信號(hào)x);xlabel(時(shí)間 /s);%原始信號(hào)subplot(2,1,2);plot(0:N-1)*fs/L,abs(Hw);%查看信號(hào)頻譜grid on;title(濾波前信號(hào)頻譜圖);xlabel(頻率 /Hz);ylabel(振幅 |H(ejw)|);Ap=0.25;As=20;%定義通帶及阻帶衰減dev=10(-As/20),(10(Ap/20)-1)/(10(Ap/20)+1),10(-As/20

22、);%計(jì)算偏移量mags=0,1,0;%帶通fcuts=30,50,90,110;%邊界頻率N,Wn,beta,ftype=kaiserord(fcuts,mags,dev,fs);%估算 FIR 濾波器階數(shù)hh2=fir1(N,Wn,ftype,kaiser(N+1,beta);% FIR濾波器設(shè)計(jì)hn,w1=freqz(hh2,1,512);%求解數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)figure(5)stem(hh2). 學(xué)習(xí)幫手 .專(zhuān)業(yè)整理 .title(hh2波形 )figure(1)%繪圖subplot(2,1,1)plot(w1/pi,20*log10(abs(hn)gridxlabel(頻率 w);ylabe