1997年試題及答案(數(shù)學(xué)試題競賽模擬)

1、1997 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題一、選擇題（每小題6 分，共 36 分）1、已知數(shù)列滿足，,記，則下列結(jié)論正確的是（）。（ A），；（ B），；（ C），；（ D），。2、如圖，正四面體 ABCD中， E 在棱 AB上， F 在棱 CD上，使得，記 , 其中表示 EF 與 AC所成的角，表示 EF 與 BD 所成的角，則（ ）。（A）在單調(diào)增加；（B）在單調(diào)減少；（C）在單調(diào)增加，而在單調(diào)減少；（D）在為常數(shù)。3、設(shè)等差數(shù)列的首項及公差均為非負(fù)整數(shù)，項數(shù)不少于3，且各項的和為972 ，則這樣的數(shù)列共有（）。（A）2 個；（ B）3 個；（ C）4 個；（ D）5 個。4、在平面直角坐標(biāo)系中

2、，若方程表示的曲線為橢圓，則的取值范圍為（）。（A）；（ B）；（ C）；（ D）。5、設(shè) , ，則（）。（A）；（ B）；（C）；（ D）。6、如果空間三條直線兩兩成異面直線，那么與都相交的直線有（）。（ A）0 條；（ B）1 條；（ C）多于 1 的有限條；（ D）無窮多條。二、填空題 ( 每小題 9 分，共 54 分)1、設(shè)為實數(shù)，且滿足，則 _。2、過雙曲線的右焦點作直線交雙曲線于A、B 兩點，若實數(shù)使得 |AB| 的直線恰有3 條，則 _ 。3、已知復(fù)數(shù)滿足，則的幅角主值范圍是_ 。4、已知三棱錐S-ABC的底面是以AB為斜邊的等腰三角形，SASB SC 2，AB2，設(shè) S、A、B

3、、C 四點均在以 O為球心的某個球面上，則點O 到平面 ABC的距離為 _。5、設(shè) ABCDEF為正六邊形，一只青蛙開始在頂點A 處，它每次可隨意地跳到相鄰兩頂點之一。若在5 次之內(nèi)跳到 D 點，則停止跳動；若5 次之內(nèi)不能到達D 點，則跳完5 次也停止跳動，那么這只青蛙從開始到停止，可能出現(xiàn)的不同跳法共_種。6、設(shè)，記中最大數(shù)為M，則 M的最小值為_。三、（本題滿分20 分）設(shè)，且，求乘積的最大值和最小值。四、（本題滿分20 分）設(shè)雙曲線的兩支為C1， C2 （如圖），正三角形PQR的三頂點位于此雙曲線上。（ 1）求證： P、Q、R 不能都在雙曲線的同一支上；（ 2）設(shè) P（ 1， 1）在 C2 上， Q、 R 在 C1 上，求頂點 Q、 R 的坐標(biāo)。五、（本題滿分 20 分）設(shè)非零復(fù)數(shù)滿足，其中 S 為實數(shù)且 |S| 2。求證：復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對應(yīng)的點位于同一圓周上。= = =1997 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽答案一、選擇題1、A；2、D；3、C；4、D；5、B；6、D。二、填空題題號1、2；2、4；3、；4、；5、26；6、。三、由已知得：，于是, 且當(dāng)，時取等號所以的最小值是，類似方法可得的最大值是。四、（ 1）用反證法；（ 2）Q、R的坐標(biāo)是，。五、