初中數(shù)學(xué)論文：關(guān)于一類動點最值問題的探討

1、關(guān)于一類動點最值問題的探討隨著新課標(biāo)的全面實施，人人學(xué)有價值的數(shù)學(xué)已深入人心。近幾年來，動點最值問題頻頻出現(xiàn)在各地中考、競賽試卷中。這類試題突出了對學(xué)生基本數(shù)學(xué)素質(zhì)的測試，加強了探究和創(chuàng)新意識，培養(yǎng)了學(xué)生靈活運用知識解決實際問題能力，對學(xué)生思維能力的提高有較大的幫助，解這類題目要“以靜制動”，即把動態(tài)問題，變?yōu)殪o態(tài)問題來解。本文試從以下幾個方面對這類問題作一些簡單的探討。一、題中出現(xiàn)一個動點。1知l為一條公路，a、b為公路兩旁的兩個村莊，現(xiàn)在公路上建一家商店，問建在何處時商店到兩村莊到商店距離和最?。糠治觯鹤鱞關(guān)于l的對稱點b， 有mb=mb，于是ma+mb=ma+mbab (當(dāng)且僅當(dāng)從運動到

2、ab和l的交點m 時等號成立)，建在m點符合條件。2如圖，ab為o直徑，ab=2，oc為半徑，ocab,d為ac三等分點，點p為oc上的動點，求ap+pd的最小值。 分折：作d關(guān)于oc的對稱點d，于是有pa+pdad,（當(dāng)且僅當(dāng)p運動到po處，等號成立，易求ad=。3在正方形abcd中，點e為ab上一定點，且be=10,ce=14,p為bd上一動點，求pe+pc最小值。（2006全國初中數(shù)學(xué)競賽浙江決賽）分析：作e關(guān)于bd對稱點e，e在ab上，有pe+pc=pe+pcec易求ec=26。4如圖，正方形abcd邊長為16，p、q分別是bc、cd上的定點，且bp=3 ,dq=1,e為對角線上一動點

3、，求ep+eq最小值。分析：作q關(guān)于bd對稱點qep+eq=ep+eqpq過 q作qm bc ,易求5正三角形abc邊長為a，d為bc的中點，p是ac邊是的動點，連結(jié)pb，pd得到pbd求：（1）當(dāng)點p 運動到ac的中點時，pbd的周長。（2）pbd的周長的最小值。（第十六屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽，初二）分折：（1）易求pbd周長為(2)作b關(guān)于ac所在直線的對稱點b,易求pbd周長的最小值為6 .l為直線，當(dāng)a、b在l異側(cè)（且a、b到l距離不相等），求 |ma-mb|最大值。分析： 做b關(guān)于l對稱點b.ma-mb=mb-maab（當(dāng)且僅當(dāng)m運動到ab和l交點時mo時等號成立）7.如圖,兩點

4、a,b在直線l的同側(cè),a到l距離為ac=8,b到l的距離為bd=5,cd=4,點p在直線l上運動.則pa-pb最大值為_.(第十屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽 初二 )分折:pa-pbab,(當(dāng)p運動到ab延長線和l交點時po等號成立),過b作beac于e,易得. 小結(jié):上述幾題中,只出現(xiàn)一個動點,當(dāng)題中只出現(xiàn)一個動點時,可作定點關(guān)于動點所在直線的對稱點,利用兩點之間線段最短,或三角形兩邊之和小于第三邊求出最值.二、題中出現(xiàn)兩個動點。8在直角坐標(biāo)系中有四個點, a(-8,3),b(-4,5)c(0，n),d(m,0),當(dāng)四邊形abcd周長最短時,求 (2002年湖北選拔賽)分折:因ab長為定值,四

5、邊形周長最短時有bc+cd+da最短,作b關(guān)于y軸對稱點b,a關(guān)于x軸對稱點a,da+dc+bc=da+dc+bcba(當(dāng)d,c運動到ab和x軸y軸的交點時等號成立),易求直線ab解折式y(tǒng)= +,c0(0,),d0(-,0),此時=- 9知和y軸交于點a(0,3),和x軸交于b(1,0),c(5,0),求(1):此拋物線的解折式,(2)若一動點p自oa中點m出發(fā),先到x軸上某點,設(shè)為e,再到拋物線對稱軸上某點f,最后運動到a,求使p點運動總路程最短的點e和點f坐標(biāo),并求最短路徑長(2006年北京中考)。分折：易求（1）（2）當(dāng)p經(jīng)過路線長最短時，p必走直線，即me+ef+fa最短，作a關(guān)于x=

6、3對稱點a(6,3)，m關(guān)于x軸的對稱點m(0.-3/2)于是有me+ef+fa=me+ef+faam（當(dāng)且僅當(dāng)ef運動到e0f0時等號成立），易求直線am解折式為，e0(),f0()于是，由勾股定理求得： 10如圖：在abc中,a=,mn分別ab,ac上動點,求bn+mn+mc最小值(2003年余姚中學(xué)保送生測試)分折:作b關(guān)于ac對稱點b,c關(guān)于ab對稱點c,有bn+mn+nc=bn+mn+mcbc(當(dāng)m,n運動到m0,n0時等號成立),因a=,那么cab=a=bac,所以cab=, ac=ab=ab=ac=20,所以acb為正三角形,所以bc=20.小結(jié)：綜上可知,當(dāng)題中出現(xiàn)兩個定點和兩

7、個動點時,應(yīng)作兩次定點關(guān)于動點所在直線的對稱點.利用兩點之間線段最短求出最值!三、題中出現(xiàn)三個動點時。11如圖，在菱形abcd中,ab=2,bad=60,e,f,p分別為ab,bc,ac上動點,求pe+pf最小值分折:作e關(guān)于ac所直線的對稱點e,于是有,pe+pf=pf+peef,又因為e在ab上運動,故當(dāng)ef和ad,bc垂直時，e0f最短,易求e0f=。12如圖，aob=45，角內(nèi)有一動點p ，po=10，在ao，bo上有兩動點q，r，求pqr周長的最小值。 分折：作p關(guān)于oa，ob對稱點p1，p2 。于是有pq+qr+pr=qp1+qr+rp2p1p2，由對稱性易知p1op2為等腰rt,

8、op=op1=op2=10,p1p2= 13如圖,矩形abcd中,ab=20,bc=10,若ac,ab是各有一個動點m,n,求bm+mn最小值. 分折:作b關(guān)于ac的對稱點b,于是bm+mn=bm+mnbn,由于n在ab上運動,當(dāng)n運動到n0時,bn0ab, bn最短為bn0,易求bh=,bb=，由bn0babc,求得bn0=16. 小結(jié)：當(dāng)題中出現(xiàn)三個動點時,在求解時應(yīng)注意兩點,(1),作定點關(guān)于動點所在直線的對稱點,(2):同時要考慮點點,點線,線線之間的最短問題.四、動點最值在求代數(shù)最值問題中的應(yīng)用。14求代數(shù)式最小值(第十三屆希望杯數(shù)學(xué)邀請賽.初二) 分折:如圖作bc=12,abbc,cdbc,ab=2,cd=3,e為bc上一點,求ea+ed最小值，設(shè)be=x,ce=12-x,ea+ed=作點d關(guān)于bc所在直線的對稱點d,于是,ea+ed=ea+edad,易求ad=13.15 求函數(shù)y=最小值。分折：即本題為求x軸上點到（-1，2）和（2，1）這兩點距離和最小值，作b關(guān)于x軸的對稱點b,易