高數(shù)1-3-1極限的四則運(yùn)算法則（經(jīng)典實(shí)用）

1、Higher mathematics 第一章 第第三三節(jié)節(jié) 極限運(yùn)算極限運(yùn)算 一一、 極限的四則運(yùn)算法則極限的四則運(yùn)算法則 三三、 兩個重要兩個重要極限極限 四四、無窮小的比較無窮小的比較 二、二、 復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則 Higher mathematics 一一、 極限的四則運(yùn)算法則極限的四則運(yùn)算法則 ,)(lim,)(limBxgAxf則有 )()(limxgxf)(lim)(limxgxf 證證: 因,)(lim,)(limBxgAxf則有 BxgAxf)(,)( (其中,為無窮小) 于是)()()()(BAxgxf )()(BA 由無窮小之和仍無窮小，可知 也是

2、無窮小, 再利用極限與無窮小 BA 的關(guān)系定理 , 知定理結(jié)論成立 . 定理定理 1 . 若 Higher mathematics 定理定理 2 . 若,)(lim,)(limBxgAxf 則有 )()(limxgxf)(lim)(limxgxf 提示提示: 利用極限與無窮小關(guān)系定理證明 . 說明說明: 定理 4 可推廣到有限個函數(shù)相乘的情形 . 推論推論 1 .CAxfCxfC)(lim)(lim( C 為常數(shù) ) 推論推論 2 . nnn Axfxf )(lim)(lim( n 為正整數(shù) ) BA )()()(BAxgxf ABBA )( )(BA. 0.)2(成立成立 證證: Highe

3、r mathematics 例例1.求求)345(lim) 1 ( 2 3 xx x 例例2. 設(shè) n 次多項(xiàng)式,)( 10 n nn xaxaaxP試證 ).()(lim 0 0 xPxP nn xx 證證: )(lim 0 xP n xx 0 axa xx 0 lim 1 n xx n xa 0 lim )( 0 xP n n nx axaa 0010 )542(lim)2( 23 1 xxx x 3lim4lim5lim 33 2 3 xxx xx 3limlim4lim5 33 2 3 xxx xx 33435 2 36 1.多項(xiàng)式型多項(xiàng)式型 Higher mathematics 為無

4、窮小 B 2 B 1 )( 1 xg )( 0 xx 定理定理 3 . 若,)(lim,)(limBxgAxf且 B0 , 則有 )( )( lim xg xf )(lim )(lim xg xf 證證: 因,)(lim,)(limBxgAxf有 ,)(,)(BxgAxf其中, 設(shè) B A xg xf )( )( B A B A )( 1 BB )(AB 無窮小 有界 B A 因此 由極限與無窮小關(guān)系定理 , 得 B A xg xf )( )( lim )(lim )(lim xg xf B A xg xf )( )( 為無窮小, 注 1.以上結(jié)論均在limf(x)，limg(x)存在的前提下

5、成立; 2.極限的加、減、乘運(yùn)算法則可推廣到有限個函數(shù)情形. Higher mathematics . 2 )(,),(),( , 0)(lim 00 0 0 A xfxUxxU xAxf xx 就有時當(dāng)鄰域 的某一去心則存在若 定理定理 . 2 )( 2 | |)(| )(|,),( , 0, 0 2 ,)(lim 0 0 A xf A AxfxfAxUx A Axf xx 從而 就有時當(dāng) 則取若證明： Higher mathematics 29 9 )3(2 6)3(5 3 ) 12(lim )43(lim 3 2 2 x x x x 1limlim2 lim43lim 2 3 2 22

6、xx xx x x 122 243 3 3 1 15 5 例例4. 設(shè)有分式函數(shù), )( )( )( xQ xP xR其中)(, )(xQxP都是 多項(xiàng)式 ,0)( 0 xQ試證: . )()(lim 0 0 xRxR xx 證證: )(lim 0 xR xx )(lim )(lim 0 0 xQ xP xx xx )( )( 0 0 xQ xP )( 0 xR 說明說明: 若,0)( 0 xQ 不能直接用商的運(yùn)算法則 . 若 例例3.求求 12 43 lim) 1 ( 3 2 x x x 3 3 2 65 lim)2( x x x 2.分母極限不為分母極限不為0型型 Higher mathe

7、matics 時，當(dāng)其定義域?yàn)闉槌醯群瘮?shù)設(shè)DxDxf 0 ,)( )(lim 0 xf xx ).( 0 xf 例例如如. 3lim) 1 ( 2 3 x x )ln2(lim)2(xx ex 32 12 e ) 1 sin2(lim)3( 3 x x x 3 3 Higher mathematics )3)(2( )5)(2( lim 2 xx xx x 3 5 lim 2 x x x 7 32 52 x = 3 時分母為 0 ! 3 1 lim 3 x x x 例例5. 9 34 lim) 1 ( 2 2 3 x xx x )3)(3( ) 1)(3( lim 3 xx xx x 6 2

8、3 1 分子也為0 65 103 lim)2( 2 2 2 xx xx x 3. 型型 0 0 約去公因子 Higher mathematics 解解)32(lim 2 1 xx x , 0 商的法則不能用 )14(lim 1 x x 又又, 03 14 32 lim 2 1 x xx x . 0 3 0 由無窮小與無窮大的關(guān)系由無窮小與無窮大的關(guān)系,得得 例例6 6. 32 14 lim) 1 ( 2 1 xx x x 求 . 32 14 lim 2 1 xx x x 約去公因子法也不能用 4.利用無窮小利用無窮小、無窮大、無窮大運(yùn)算性質(zhì)求極限運(yùn)算性質(zhì)求極限 Higher mathemati

9、cs 45 32 lim) 3( 2 1 xx x x 但因 65 103 lim)4( 2 2 3 xx xx x 解解: (4)x = 3 時分母 = 0 , 分子0 , 103 65 lim 2 2 3 xx xx x 10333 6353 2 2 0 65 103 lim 2 2 3 xx xx x 0 312 41512 45 32 lim 2 1 xx x x 32 45 lim 2 1 x xx x 但因解解: (3)x = 1 時分母 = 0 , 分子0 , Higher mathematics 例例7 7 . sin lim x x x 求求 解解 , 1 ,為無窮小為無窮小

10、時時當(dāng)當(dāng) x x .sin 是有界函數(shù)是有界函數(shù)而而x . 0 sin lim x x x x x y sin Higher mathematics 例例8求求) 1 1 1 3 (lim 3 1 xx x 解解: 原式原式 1 1 )2( lim ) 1( ) 1)(2( lim 2 1 3 1 xx x x xx x x )1( )1(3 lim 3 2 1 x xx x )(型型 (消去零因子法消去零因子法) ?) 2 1 4 2 (lim 2 2 xx x x 4 2 lim 2 2 x x x 4 1 2 1 lim 2 x x 5. Higher mathematics 例例9 .

11、 求 . 95 43 lim 2 x x x 解解: x時,分子 .分子分母同除以, 2 x 則 分母 原式 (無窮小因子分出法無窮小因子分出法) 為非負(fù)常數(shù) )nmba,0( 00 mn 當(dāng) m mm x axaxa 1 10 lim n nn bxbxb 1 10 , 0 0 b a ,0 , mn 當(dāng) mn 當(dāng) . 95 43 lim 2 2 x x x 2 2 9 11 5 43 lim x x x x 0 2 2 1 1 95 43 lim x x x 5 3 一般有如下結(jié)果：一般有如下結(jié)果： .? 95 43 lim 2 x x x =0 6. 型型 無窮小分出法:以分母中自變 量

12、的最高次冪除分子、分母, 以分出無窮小,然后再求極限. 5 3 , x x x x x 1 95 4 3 lim Higher mathematics 定理定理4 . 若,lim,limByAx n n n n 則有 )(lim) 1 ( nn n yx nn n yx lim)2( ,00)3(時且當(dāng)Byn B A y x n n n lim BA BA 提示提示: 因?yàn)閿?shù)列是一種特殊的函數(shù) ,故此定理 可由 定理3 , 4 , 5 直接得出結(jié)論 . ? 43 43 lim 11 nn nn n 4 1 4 3 4 4 3 3 lim 1 1 n n n Higher mathematics

13、 ? 12531 lim 3333 n n nnn n 解解 248 2 11111 l i m (1)(1)(1)(1)(1) 2222 2 n n 求 例例1010 原式原式 ) 2 1 1/() 2 1 1 () 2 1 1)( 2 1 1)( 2 1 1(lim 2 2 n n = ) 2 1 1 () 2 1 1)( 2 1 1(lim2 2 22 n n =) 2 1 1)( 2 1 1(lim2 22 nn n ) 2 1 1 (lim2 1 2 n n = =2 7.無窮項(xiàng)之和無窮項(xiàng)之和 不能用和的極限運(yùn)算法則 Higher mathematics 例例1111).(lim,

14、0, 1 0,1 )( 0 2 xf xx xx xf x 求求設(shè)設(shè) y ox 1 xy 1 1 2 xy 解解兩個單側(cè)極限為兩個單側(cè)極限為是函數(shù)的分段點(diǎn)是函數(shù)的分段點(diǎn),0 x )1(lim)(lim 00 xxf xx , 1 )1(lim)(lim 2 00 xxf xx , 1 左右極限存在且相等左右極限存在且相等, . 1)(lim 0 xf x 故故 8.利用左右極限求分段函數(shù)極限利用左右極限求分段函數(shù)極限 Higher mathematics 二二、 復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則 例例12 . 求).cos(lnlim) 1 ( 1 x x 解解: 法法1 1x時,

15、0ln x 則 ,0ln時當(dāng)x. 10cos)cos(lnx . 1)cos(lnlim 1 x x 法法2 ,lnxu令1x 時,0u 則. 10coscoslim)cos(lnlim 01 ux ux 換元法：將原式換元法：將原式 中的中的x都用都用u代代 替，將關(guān)于替，將關(guān)于x的的 極限過程改為關(guān)極限過程改為關(guān) 于于u的極限過程。的極限過程。 Higher mathematics 定理定理5. 設(shè),)(lim 0 ax xx 且 x 滿足 10 0 xx 時, ,)(ax 又,)(limAuf au 則有 )(lim 0 xf xx Auf au )(lim 證證: Auf au )(l

16、im,0,0當(dāng)au0 時, 有 Auf)( ax xx )(lim 0 ,0,0 2 當(dāng) 20 0 xx時, 有ax)( 對上述 取,min 21 則當(dāng) 0 0 xx時 ax )(au 故 0 Axf)(Auf)(, 因此式成立. Higher mathematics 定理定理5. 設(shè),)(lim 0 ax xx 且 x 滿足 10 0 xx時, ,)(ax 又,)(limAuf au 則有 )(lim 0 xf xx Auf au )(lim 說明說明: 若定理中若定理中,)(lim 0 x xx 則類似可得 )(lim 0 xf xx Auf u )(lim Higher mathemat

17、ics 例例13. 求求 解解: 令 . 9 3 lim 2 3 x x x 9 3 2 x x u 已知 u x3 lim 6 1 原式 = u u 6 1 lim 6 1 6 6 例例14 . 求求 解解: 法法 1 . 1 1 lim 1 x x x ,xu 則, 1lim 1 u x 令 1 1 1 1 2 u u x x 1 u 原式) 1(lim 1 u u 2 法法 2 1 1 lim 1 x x x 1 ) 1)(1( lim 1 x xx x ) 1(lim 1 x x 2 Higher mathematics ? ) 1( 32 arctanlim 2 2 1 x xx x

18、 , ) 1( 32 2 2 x xx u解：令 , 1 3 x x u 1x 時,u 2 arctanlim ) 1( 32 arctanlim 2 2 1 u x xx u x )0?(lim 1 aa x x , 1 : x u 令解 x時,0u 1 limlim 0 0 1 a aa u u x x )0( 1lim 1 aa x x )0( 1lim 1 aa n n Higher mathematics 例例15：設(shè)：設(shè),10 1 x nn xx 6 1(n=1,2,)， 試證數(shù)列試證數(shù)列 極限存在，并求此極限。極限存在，并求此極限。 n x 證：由證：由 10 1 x 及及416

19、6 12 xx知知 21 xx 設(shè)對某正整數(shù)設(shè)對某正整數(shù)k k有有, 1 kk xx則有則有 211 66 kkkk xxxx 故由歸納法，對一切正整數(shù)故由歸納法，對一切正整數(shù)n n，都，都有有 1 nn xx 即即 n x為單調(diào)減少數(shù)列，且為單調(diào)減少數(shù)列，且), 2, 1(, 0 nxn 解得解得. 3lim n n x，存存在在為為axn n lim所以所以0 aaa 6有有 Higher mathematics 例例1616 nn xxx 2,2 11 設(shè) ), 2 , 1(n n n x lim，證明 存在并求此極限； 證明:1n當(dāng) 時22 1 x2 k x ,設(shè)，則 1 2222 kkn xxx 有上界 n x 單增有上界，從而必有極限。 Axn n