垂徑定理教案

1、垂直于弦的直徑教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能：1、理解圓的軸對(duì)稱(chēng)性，掌握垂徑定理及其結(jié)論；2、學(xué)會(huì)運(yùn)用垂徑定理及其推論解決一些有關(guān)證明、計(jì)算問(wèn)題；過(guò)程與方法：1、在研究過(guò)程中，進(jìn)一步體驗(yàn)“實(shí)驗(yàn)歸納猜測(cè)證明”的方法；2、在解決垂徑定理的相關(guān)問(wèn)題中總結(jié)出相應(yīng)的常見(jiàn)輔助線作法（連半徑、作垂直）情感態(tài)度與價(jià)值觀：經(jīng)歷探索定理并解決問(wèn)題的過(guò)程，激發(fā)學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的興趣和欲望；教學(xué)重點(diǎn) 垂徑定理及其推論的掌握及運(yùn)用 . 教學(xué)難點(diǎn) 垂徑定理的探索和證明教學(xué)過(guò)程一、情景引入問(wèn)題 ：你知道趙州橋嗎 ?它是 1300 多年前我國(guó)隋代建造的石拱橋 , 是我國(guó)古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶它的主橋是圓弧形, 它的跨度 ( 弧所對(duì)的

2、弦的長(zhǎng))為 37.4m, 拱高 ( 弧的中點(diǎn)到弦的距離 ) 為 7.2m，你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們一起來(lái)探索下這節(jié)課的內(nèi)容。二、探索新知1、活動(dòng)一：（實(shí)踐）把一個(gè)圓沿著它的任意一條直徑對(duì)折，重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？結(jié)論： 圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，其對(duì)稱(chēng)軸是任意一條過(guò)圓心的直線C設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)、探索并發(fā)現(xiàn)結(jié)論，激發(fā)學(xué)生的求知欲望。O2、活動(dòng)二：（學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)按下面要求完成下題：A如圖， AB 是 O的一條弦，作直徑 CD，使 CD AB，垂足為EE（ 1）如圖是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎？如果是，其對(duì)稱(chēng)軸是什么？D（ 2）將圓 O沿 CD所在直線折疊 ,

3、 你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系？設(shè)計(jì)意圖： 通過(guò)該實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)垂徑定理，初步感知。（ 3）你能證明你的結(jié)論嗎？；B設(shè)計(jì)意圖： 學(xué)生證明自己的發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣。結(jié)論： 垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧思考： 反過(guò)來(lái)，平分弦（不是直徑）的直徑是否垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧？結(jié)論： 平分弦（不是直徑）的直徑是否垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧3、活動(dòng)三： 練習(xí)（ 1）在下列圖形中，你能否利用垂徑定理找到相等的線段或相等的圓弧AEBACAOCEOOECDAEBBBD設(shè)計(jì)意圖： 檢驗(yàn)是否理解了定理，熟悉定理能應(yīng)用的相應(yīng)圖形。（ 2）判斷是非 平分弦的直線必垂直弦

4、垂直于弦的直徑平分這條弦 平分弦的直徑垂直于這條弦 弦的垂直平分線是圓的直徑 平分弦所對(duì)的一條弧的直徑必垂直這條弦設(shè)計(jì)意圖： 加深對(duì)定理及推論的理解。（ 3）如圖，在 O中，P 是弦 AB的中點(diǎn)， CD是過(guò)點(diǎn) P 的直徑，則下列結(jié)論不正確的是（）A ABCDB AOP= BOP C ADBDD PO=PD設(shè)計(jì)意圖： 檢驗(yàn)是否理解推論。（ 4）如圖，在中，弦的長(zhǎng)為 8cm，圓心O到的距離為 3cm，則O的半徑為OABAB設(shè)計(jì)意圖： 檢驗(yàn)?zāi)芊窈?jiǎn)單的運(yùn)用垂徑定理，初步感受“連半徑”這一輔助線作法。COAPBDBEAO第（ 3）題圖第（ 4）題圖三、鞏固新知例題 1 已知：如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心

5、圓中，大圓的弦AB 交小圓于C， D 兩點(diǎn)。求證： ACBD。設(shè)計(jì)意圖： 垂徑定理的巧妙運(yùn)用，初步感受“作垂直”這一輔助線作法變式 如圖，在 O中， AB為 O的弦， C、 D是直線 AB 上兩點(diǎn)，且 ACBD求證： OCD 為等腰三角形。設(shè)計(jì)意圖：“連半徑”或“作垂直”都可以解決問(wèn)題，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)垂徑定理的好用之處，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。例題 2 你知道趙州橋嗎 ?它是1300 多年前我國(guó)隋代建造的石拱橋, 是我國(guó)古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶 它的主橋是圓弧形, 它的跨度 ( 弧所對(duì)的弦的長(zhǎng) ) 為 37.4m, 拱高 ( 弧的中點(diǎn)到弦的距離 ) 為 7.2m，你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？分析 如

6、圖，用表示主橋拱，設(shè)所在圓的圓心為，半徑為經(jīng)過(guò)圓心O作弦ORAB 的垂線 OC，D為垂足， OC與 AB 相交于點(diǎn) D，根據(jù)前面的結(jié)論，D 是 AB 的中點(diǎn)， C是的中點(diǎn)， CD 就是拱高。設(shè)計(jì)意圖： 解決一開(kāi)始提出的問(wèn)題，學(xué)生感受垂徑定理的用途，并體會(huì)解決問(wèn)題的滿足感。四、總結(jié)回顧1、圓的軸對(duì)稱(chēng)性2、垂徑定理及其推論3、相應(yīng)的常見(jiàn)輔助線作法五、布置作業(yè)（一）學(xué)評(píng) P77-78 達(dá)標(biāo)訓(xùn)練設(shè)計(jì)意圖： 基礎(chǔ)過(guò)關(guān)（二）添加練習(xí)y設(shè)計(jì)意圖： 提升能力，適當(dāng)拓展1、如圖 3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) PP在第一象限，P 與 x 軸交于 O,A 兩點(diǎn)，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（ 6,0），xA (6,0)P 的半徑為O13 ，則點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 _.圖7圖 32、如圖 4，在 O 中， AB 、AC 是兩條互相垂直且相等的弦，足分別為 D 、 E。求證：四邊形ADOE 是正方形。OD AB ， OEAC ，垂CEOADB圖 43、一根橫截面為圓形的下水管道的直徑為水面寬 AB為 0.6 米1 米，管內(nèi)有少量的污水（如圖5），此時(shí)的（ 1）求此時(shí)的水深（即陰影部分的弓形高） ；（ 2）當(dāng)水位上升到水面寬為 0.8 米時(shí)，求水面上升的高