word完整版相似三角形知識(shí)點(diǎn)及典型例題2推薦文檔

1、相似三角形知識(shí)點(diǎn)及典型例題知識(shí)點(diǎn)歸納:1、三角形相似的判定方法(1)定義法：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似。平行法：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。判定定理1:如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似。簡(jiǎn)述為：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似。判定定理2:如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。簡(jiǎn)述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。判定定理3:如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。簡(jiǎn)述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例

2、，兩三角形相似。(6)判定直角三角形相似的方法: 以上各種判定均適用。 如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例,那么這兩個(gè)直角三角形相似。 直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似。A#直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)。如圖，Rt ABC 中，/ BAC=90 ,AD是斜邊BC上的高,每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。則有射影定理如下:(1)( AD) 2=BD - DC(2)( AB) 2=BD- BC ,2(3)( AC) =CD- BC。注：由上述射影定理還可以證明勾股定理。即2 2

3、 2(AB) + (AC) = ( BC)。典型例題:例1 如圖，已知等腰 ABC中，AB = AC , AD丄BC于D , CG II AB , BG分別交AD , AC于E、 F，求證：BE2 =EF EG證明：如圖，連結(jié) EC ,v AB = AC, AD丄BC ,/ ABC = / ACB , AD 垂直平分 BC BE = EC，/ 1 =/ 2 , / ABC- / 1 =/ ACB- / 2 ,即/ 3 = / 4，又 CG / AB , / G = / 3 , / 4 = / GCE EF又/ CEG = / CEF , CEF GEC , EG = CE“G EC2 = EG

4、- EF，故 EB2=EF -EG【解題技巧點(diǎn)撥】本題必須綜合運(yùn)用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)和相似三角形的基本圖形來得到證明.而其中利用線段的垂直平分線的性質(zhì)得到BE=EC，把原來處在同一條直線上的三條線段BE , EF, EC轉(zhuǎn)換到相似三角形的基本圖形中是證明本題的關(guān)鍵。FB例2 已知：如圖，AD是Rt ABC斜BC上的高，E是AC的中點(diǎn)，ED與AB的延長(zhǎng)線相交于 F,求證：BA =FDAC證法一：如圖，在 Rt AABC 中，/ BAC = Rt /, AD 丄 BC ,/ 3 = / C,又E是Rt AADC的斜邊AC上的中點(diǎn),1 ED= 2 AC = EC， /

5、 2 = / C,又/ 1 =/ 2 ,FB/ DFB =/ AFD , DFB aFD , FDBD=AD又 AD 是 Rt ABC 的斜邊 BC 上的高， Rt AABD s Rt CAD , /BD BAAD = ACFB BAFB FD由(1 ) (2)兩式得 FD = AC，故 BA = ACFB FD證法二：過點(diǎn)A作AG / EF交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,貝U BA = AG(1 )/ E 是 AC 的中點(diǎn)，ED / AC , D是GC的中點(diǎn)，又 AD丄GC , AD是線段GCFB由(1 )( 2 )兩式得：BA =FDAC，證畢。(2)的垂直平分線， AG = AC(2)【解題技巧點(diǎn)撥

6、】BD“AD ”過渡，使問題得證，證法二例2、已知 ABC 求證： ABCSD為 ABC內(nèi)一點(diǎn)連結(jié)中，AB=AC , / A=36BCD二、如何應(yīng)用相似三角形證明比例式和乘積式 例5、本題證法中，通過連續(xù)兩次證明三角形相似，得到相應(yīng)的比例式，然后通過中間比 中是運(yùn)用平行線分線段成比例定理的推論，三角形的中位線的判定，線段的垂直平分線的判定與性質(zhì)使問題得證.一、如何證明三角形相似例1、如圖：點(diǎn)G在平行四邊形 ABCD的邊DC的延長(zhǎng)線上,AG交BC、BD于點(diǎn)E、F,則 AGD s例3 :已知，如圖，/ CBE= / ABD , / BCE= / BAD 求證： DBE ABC例4、矩形ABCD中，

7、BC=3AB , E、F,是BC邊的三等分點(diǎn)，連結(jié) AE、AF、AC,問圖中是否存在非全等的相似三 角形？請(qǐng)證明你的結(jié)論。 ABC中，在AC上截取 AD，在CB延長(zhǎng)線上截取 BE，使AD=BE，求證：DF ?AC=BC ?FE已知：如圖，在 ABC中，/ BAC=90 0, M是BC的中點(diǎn)，DM丄BC于點(diǎn)E,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn) D。2求證：(1) MA2=MD ?ME ;( 2)陛AD2 MD如圖 ABC中，AD為中線，CF為任一直線，CF交AD于E,交AB于F,求證：AE: ED=2AF : FB。三、如何用相似三角形證明兩角相等、兩線平行和線段相等。8 :已知：如圖E、F分別是正方形 AB

8、CD的邊AB和AD上的點(diǎn)，且EBABAFAD-。求證：/ AEF= / FBD39、在平行四邊形 ABCD內(nèi)，AR、BR、CP、DP各為四角的平分線,求證:SQ / AB , RP / BC10、已知 A、C、E和B、F、D分別是/ 0的兩邊上的點(diǎn)，且 AB / ED, BC / FE,求證：FC=FGE12、Rt ABC銳角C的平分線交 AB于E,交斜邊上的高 AD于0,過0引BC的平行線交 AB求證：AE=BF11、直角三角形 ABC中，/ ACB=90 , BCDE是正方形，AE交BC于F, FG / AC交AB于G,課后作業(yè)一、填空題或/ APC=或 ac2=1.已知：在 AABC中，

9、P是AB上一點(diǎn)，連結(jié) CP,當(dāng)滿足條件/ ACP= 時(shí)，MCPABC .2.兩個(gè)相似三角形周長(zhǎng)之比為4 : 9，面積之和為291，則面積分別是3.如圖，DEFG 是 Rt AABC的內(nèi)接正方形，若 CF = 8 , DG = 4邁，貝y BE =4 .如圖，直角梯形 ABCD中，AD II BC , AD 丄 CD , AC 丄 AB，已知 AD = 4 , BC = 9，貝U AC =5 . ABC 中，AB = 15 , AC = 9 , 于6.如圖，在正方形網(wǎng)格上畫有梯形第（趣圖點(diǎn)D是AC上的點(diǎn)，且AD=3 , E在AB上，AADE與ABC相似，則AE的長(zhǎng)等ABCD，則/ BDC的度數(shù)為

10、A DSc第(6)題圖7. ABC 中，AB = AC , / A = 36 設(shè)AB = X,則關(guān)于x的方程是,BC = 1 , BD 平分/ ABC 交于 D，則 BD =,AD =8 .如圖，已知 D是等邊ABC的BC邊上一點(diǎn)，把 =2 : 3，貝U AM : MN=二、選擇題9.如圖，在正AABC中,D、E分別在AC、AB上,A. AAEDBEDB . AEDCBDABC向下折疊，折痕為AD 1 , AE=BE ,AC 3C.AEDaBDMN，使點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，若BD : DC則有（）D . BADBCD10 .如圖，在ABC中,D為AC邊上一點(diǎn)，/DBC =/ A, BC= , AC

11、= 3，貝U CD 的長(zhǎng)為()A.1B.D.sc第（9）題圖C.2第f 10）題圖11 .如圖，CABCD中，G是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AG與BD交于點(diǎn)E，與DC交于點(diǎn)F,則圖中相似三角形共有 （）的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線截ABC，使截得的三角形與 AABC相似，滿足這12 . P是Rt ABC的斜邊BC上異于B、C 樣條件的直線共有（）B.2條13 .如圖，在直角梯形 ABCD中，AB = 7, 和以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似，這樣的AD = 2 , BC=3，若在 AB上取一點(diǎn) P,P點(diǎn)有（）三、解答下列各題14.如圖，長(zhǎng)方形 ABCD中，AB=5 , BC = 10 ,點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿AB作

12、勻速運(yùn)動(dòng)，1分鐘可以到達(dá) B點(diǎn)，點(diǎn)Q 從B點(diǎn)出發(fā)，沿BC作勻速直線運(yùn)動(dòng)，1分鐘可到C點(diǎn)，現(xiàn)在點(diǎn)P點(diǎn)Q同時(shí)分別從A點(diǎn)、B點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過多少時(shí)間， 線段PQ恰與線段BD垂直？15 .(2)第（14題圖已知：如圖，正方形 DEFG內(nèi)接于Rt AABC , EF在斜邊BC 上, EH丄AB于H.求證：（1 ） AADGHED ;EF2= be-FC第(15)0圖(答案)例1分析：關(guān)鍵在找“角相等”，除已知條件中已明確給出的以外，還應(yīng)結(jié)合具體的圖形，利用公共角、對(duì)頂角及由平行線產(chǎn)生的一系列相等的角。 本例除公共角/ G外，由BC / AD可得/ 1 = / 2,所以 AGD eGC。再/仁/ 2 (對(duì)頂

13、角)，由 AB / DG 可得/ 4= / G,所以 EGCsA EAB。例2分析：證明相似三角形應(yīng)先找相等的角，顯然/C是公共角，而另一組相等的角則可以通過計(jì)算來求得。借助于 ABC 是等腰三角形，/ ABC= / C=72。又 BD 平分/ ABC，則/ DBC=36 C 為公共角，/ A= / DBC=36 ABC BCD計(jì)算也是一種常用的方法。證明：/ A=36 , 在 ABC 和 BCD 中，/例3分析：由已知條件/ABD= / CBE , / DBC 公用。所以/ DBE= / ABC，要證的 DBE和 ABC，有一對(duì)角相 等，要證兩個(gè)三角形相似，或者再找一對(duì)角相等，或者找夾這個(gè)角

14、的兩邊對(duì)應(yīng)成比例。從已知條件中可看到CBEABD，這樣既有相等的角，又有成比例的線段，問題就可以得到解決。BC BEBC AB證明：在 CBE 和 ABD 中，/ CBE= / ABD, / BCE= / BAD CBE ABD 一 =即:=一AB BDBEBD DBE 和 ABC 中，/ CBE= / ABD, / DBC 公用/ CBE+ / DBC= / ABD+ / DBC DBE= / ABC 且 BC=俎 DBE ABCBE BD例4分析：本題要找出相似三角形，那么如何尋找相似三角形呢？下面我們來看一看相似三角形的幾種基本圖形: (1)如圖：稱為“平行線型”的相似三角形CEC1 =

15、 / 2，則 ADEABC稱為“相交線型”的相似三角形。如圖：其中/EC/ B= / D，則 ADE ABC，稱為“旋轉(zhuǎn)型”的相似三角形。EAF 與 ECA(3)如圖：/仁/2,觀察本題的圖形，如果存在相似三角形只可能是“相交線型”的相似三角形，及，AEECL由勾股定理可求得 AE= I2a ,在 EAF與 ECA中，/ AEF為公共角，且竺竺 V2所以 EAF eCA EF AE再利用相似三角形或平行線性質(zhì)進(jìn)行證明：例5分析： 證明：過D點(diǎn)作DK / AB，交BC于K ,/ DK / AB , DF : FE=BK : BE又 AD=BE , DF: FE=BK : AD，而 BK : AD

16、=BC : AC 即 DF : FE= BC : AC , DF ?AC=BC ?FE例 6 證明：(1 )/ BAC=90 0, M 是 BC 的中點(diǎn)，二 MA=MC , / 1 = / DM 丄 BC， / C= / D=90 0- / B， / 1= / D ,MAMDMA證明乘積式通常是將乘積式變形為比例式及DF : FE=BC : AC ,/ 2= / 2 , MAE s MDA ,AE(2 ) MAE mDA , ADMEMAAE ma2=md?ME ,AE2AD2 評(píng)注：命題1 如圖，如果/ 1= / 2，那么 ABD ACB , AB2=AD 命題 2 如圖，如果 AB2=AD

17、 ?AC，那么 ABDACB , / 1= / 2。MDADMEMAMA ? ME MD MA ?AC。MEMD解：設(shè) AB=a，貝U BE=EF=FC=3a ,例7 分析：圖中沒有現(xiàn)成的相似形，也不能直接得到任何比例式，于是可以考慮作平行線構(gòu)造相似形。怎樣作？觀AF AF察要證明的結(jié)論，緊緊扣住結(jié)論中“ AE : ED ”的特征，作 DG / BA交CF于G，得 AEF DEG，。DE DG與結(jié)論JAB ZAZED FBAF1相比較，顯然問題轉(zhuǎn)化為證 DG -FB 。BF22證明：過D點(diǎn)作DG 得三角形與原三角形相似）/ AB交FC于G則 AEFAE AF( 1 )dE dGDEG。（平行于

18、三角形一邊的直線截其它兩邊或兩邊的延長(zhǎng)線所/ D為BC的中點(diǎn)，且 DG / BF G為FC的中點(diǎn)則DG為 CBF的中位線，dg Ibf （ 2 ）將（2 ）代入（1）得:2AEDEAF 2AFiBF市2分析：要證角相等，一般來說可通過全等三角形、分別在兩個(gè)三角形中，可考慮用相似三角形來證，但要證的兩個(gè)角所在的三角形顯然不可能相似（一個(gè)在直角 三角形中，另一個(gè)在斜三角形中），所以證明本題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形，相似三角形，等邊對(duì)等角等方法來實(shí)現(xiàn)，本題要證的兩個(gè)角證明:作 FG 丄 BD，垂足為 G。設(shè) AB=AD=3k 則 BE=AF=k , AE=DF=2k , BD= 3j2kDFtrf,/

19、ADB=45 0，/ FGD=90 0 / DFG=45 0 DG=FG=V2k /. BG=3V2k V2k 2/2k .V2AFAEFG 1BG 2又/ A= / FGB=90 0 AEF GBF/ AEF= / FBD分析：要證明兩線平行較多采用平行線的判定定理，但本例不具備這樣的條件，故可考慮用比例線段去證明。利用比例線段證明平行線最關(guān)鍵的一點(diǎn)就是要明確目標(biāo)，選擇適當(dāng)?shù)谋壤€段。 要證明SQ/ AB ,只需證明AR: AS=BR :DS。證明：在 ADS和 ARB中。1 1AR/ DAR= / RAB= / DAB，/ DCP=/ PCB= / ABC ADSABR 2 2ASAR b

20、r但 ADS BA CBQ , DS=BQ，貝U , SQ / AB，同理可證，RP/ BCAS BQ例10分析：要證明AF / CD，已知條件中有平行的條件，因而有好多的比例線段可供利用，這就要進(jìn)行正確的選擇。 其實(shí)要證明AF / CD，只要證明OF即可，因此只要找出與這四條線段相關(guān)的比例式再稍加處理即可成功。OC OD證明： AB / ED, BC / FE O 9旦,OF 兩式相乘可得： O 絲OEODOC OBOCOD例11分析：要證明FC=FG，從圖中可以看出它們所在的三角形顯然不全等，但存在較多的平行線的條件，因而可用比例線段來證明。要證明 FC=FG，首先要找出與 FC、FG相關(guān)的比例線段