函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)案例剖析

1、 函數(shù)單調(diào)性教學(xué)案例1.【案例背景】 “函數(shù)的單調(diào)性”是新課標(biāo)人教版數(shù)學(xué)1第一章第三節(jié)的教學(xué)內(nèi)容。“課標(biāo)”規(guī)定兩個課時，所選案例為第一課時。 函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一條基本性質(zhì)，從知識結(jié)構(gòu)上看，函數(shù)的單調(diào)性既是函數(shù)概念的延續(xù)和拓展，又是后續(xù)研究基本初等函數(shù)、三角函數(shù)等內(nèi)容的基礎(chǔ)。在這之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過函數(shù)的定義，函數(shù)的表示，學(xué)習(xí)過一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)等，函數(shù)單調(diào)性是學(xué)生研究函數(shù)整體性質(zhì)的開始，之后還有奇偶性周期性等，所以本節(jié)內(nèi)容承前啟后，不僅要用到以前學(xué)過的函數(shù)知識，還要由這些知識出發(fā)獲得函數(shù)自身的更深人的認(rèn)識，并由這些認(rèn)識解決有關(guān)的函數(shù)問題，這一節(jié)學(xué)好了，學(xué)生獲得的知識就會對后面幾節(jié)

2、的知識產(chǎn)生正遷移作用。 2.【教學(xué)內(nèi)容分析】 首先，從單調(diào)性知識本身來講.學(xué)生對于函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)共分為三個階段，第一階段是在初中學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上對增減性有一個初步的感性認(rèn)識；第二階段是在高一進一步學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的嚴(yán)格定義，從數(shù)和形兩個方面理解單調(diào)性的概念；第三階段則是在高三利用導(dǎo)數(shù)為工具研究函數(shù)的單調(diào)性.高一單調(diào)性的學(xué)習(xí)，既是初中學(xué)習(xí)的延續(xù)和深化，又為高三的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ) 其次，從函數(shù)角度來講. 函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)概念后學(xué)習(xí)的第一個函數(shù)性質(zhì)，也是第一個用數(shù)學(xué)符號語言來刻畫的概念.函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的奇偶性、周期性一樣，都是研究自變量變化時，函數(shù)值的變化規(guī)

3、律；學(xué)生對于這些概念的認(rèn)識，都經(jīng)歷了直觀感受、文字描述和嚴(yán)格定義三個階段，即都從圖象觀察，以函數(shù)解析式為依據(jù)，經(jīng)歷用符號語言刻畫圖形語言，用定量分析解釋定性結(jié)果的過程.因此，函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)為進一步學(xué)習(xí)函數(shù)的其它性質(zhì)提供了方法依據(jù). 最后，從學(xué)科角度來講.函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)習(xí)不等式、極限、導(dǎo)數(shù)等其它數(shù)學(xué)知識的重要基礎(chǔ)，是解決數(shù)學(xué)問題的常用工具，也是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力和滲透數(shù)形結(jié)合思想的重要素材. 3.【學(xué)情分析】 高一的學(xué)生正處于經(jīng)驗邏輯思維發(fā)展階段，具備了一定的邏輯思維但要想 使學(xué)生“以一系列的行動隊一系列的條件作出反應(yīng)”卻需要很大的努力的。函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)是利用定量的方法來研究函數(shù)圖象的性

4、質(zhì)，如何將圖形特征用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言來刻畫是本節(jié)課的難點之一另一難點是學(xué)生在高中階段第一次接觸代數(shù)證明，如何進行嚴(yán)格的推理論證并完成規(guī)范的書面表達 因此首先要重視學(xué)生的親身體驗：將新知識與學(xué)生的已有知識建立了聯(lián)系如：學(xué)生對一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)的認(rèn)識。運用新知識嘗試解決新 問題其次重視學(xué)生發(fā)現(xiàn)的過程充分展現(xiàn)學(xué)生將函數(shù)圖象（形）的特征轉(zhuǎn)化為函數(shù)值（數(shù)）的特征的思維過程。充分展現(xiàn)在正、反兩個方面探討活動中，學(xué)生認(rèn)知最后重視學(xué)生的動手實踐過程通過對定義的解讀、鞏 結(jié)構(gòu)升華、發(fā)現(xiàn)的過程 固，讓學(xué)生動手去實踐運用定義 【教學(xué)過程】4. 一、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題 課前布置任務(wù)：日推遲到7月25(1)

5、由于某種原因，2008年北京奧運會開幕式時間由原定的. 月8日，請查閱資料說明做出這個決定的主要原因8. (2) 通過查閱歷史資料研究北京奧運會開幕式當(dāng)天氣溫變化情況月課上通過交流，可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因，北京的天氣到8中旬，平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數(shù)等均開始下降，比較適宜大型國際體. 育賽事. 小時內(nèi)氣溫隨時間變化的曲線圖日一天8月824下圖是北京市今年 引導(dǎo)學(xué)生識圖，捕捉信息，啟發(fā)學(xué)生思考：請同學(xué)們觀察圖，指出該天的氣溫在如何變化？（學(xué)生獨立思考）問題1 通過生活實例，讓學(xué)生對圖象的上升和下降有一個初步的感性認(rèn)【設(shè)計意圖】識，讓學(xué)生感受到函數(shù)的單調(diào)性和我們的生活密切相

6、關(guān)，進而激發(fā)學(xué)生的興趣，引發(fā)學(xué)生進一步學(xué)習(xí)的好奇心。 04時，溫度下降，414時溫度上升，141生（主動回答）：24時溫度下降。 問題2：還能舉出生活中其他的數(shù)據(jù)變化情況嗎？ 預(yù)案：水位高低、燃油價格、股票價格等 歸納：用函數(shù)觀點看，其實就是隨著自變量的變化，函數(shù)值是變大還是變小 設(shè)計意圖由生活情境引入新課，激發(fā)興趣 二借助圖象，直觀感知 2的函數(shù)圖象，回答下面兩個問題：y=x和：觀畫出問題3xy? 分別指出上面兩個函數(shù)的圖象在哪個區(qū)間是上升的，在哪個區(qū)間是下降的？ 【設(shè)計意圖】順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。 （小組合作探求） 生1：一次函數(shù)y=x其定義域上是2是先下降后上上升的，二次函數(shù)xy?升。 師

7、：這樣回答準(zhǔn)確嗎？ 生2：一次函數(shù)y=x在區(qū)間（-，+）上是“上升”的；二次函數(shù)y=x2在區(qū)間（-，0）上是“下降”的，（0，-）上是“上升”的。 同學(xué)們能用數(shù)學(xué)語言把這兩個函數(shù)圖象“上升”或“下降”的特征描述出來嗎？ 【設(shè)計意圖】有感性上升到理性。（給學(xué)生適當(dāng)?shù)乃伎紩r間） 這時學(xué)生們思維較為混亂，無從下手。教師及時通過幾何畫板展示y=x圖象上A點的運動情況，讓學(xué)生觀察x，y值的變化。 師（及時提問）：同學(xué)們能用數(shù)學(xué)語言把y=x圖象上升的特征描述出來嗎？ 生3：該函數(shù)隨著x的值增大，y的值相應(yīng)的增大。 師（面向全體學(xué)生）：大家同意生4的回答嗎？ 生4：老師，我有補充，應(yīng)該說：該函數(shù)在區(qū)間（-，

8、+）上隨著x的值增大，y的值相應(yīng)的增大。 師：生5補充的很好，明確提出了函數(shù)變量在對應(yīng)區(qū)間上的變化情況，那么函2呢？數(shù)xy? 2在區(qū)間（-，0）上隨著x的值增大，：函數(shù)生5y的值相應(yīng)的減?。辉趚?y區(qū)間（0，+）上是隨著x的值增大，y的值相應(yīng)的增大。 師：在數(shù)學(xué)上，我們把y隨著x的增大而增大，稱為增函數(shù)；把y隨著x的增大而減小，稱為減函數(shù)。 三探究規(guī)律，理性認(rèn)識 2在為增函數(shù)？ 問題4：如何從解析式的角度說明x)?f(x)0,?2在為增函數(shù)所以 ,生6：因為12,xf(x)?),?f(1)?(2)0f 2在，所以生7：因為54?21?3?x?(fx)(5)?(2)f(1)?f?f(3)f(4)

9、?f為增函數(shù) )0,?生8：不對，以上只在兩個或有限個特殊值之間進行比較，不能代替所有值。 師：很好，所有的都拿出來比較，能做到嗎？一一列舉行嗎？（意圖：通過這一問題，讓學(xué)生聯(lián)想到用字母符號來表示任意的數(shù)值） 生：拿兩個就行了。 師：原來不都是每次拿兩個來進行比較的嗎？為什么不行？ 生（終于明白）：任意兩個。 師：找任意兩個？怎樣能做到這一點。 生：用字母表示數(shù)字。 師：更清晰一點說呢？ 生：用表示兩個變量，用表示對應(yīng)的函數(shù)值。)(x(x),ffx,x 2121師：好，請大家回想一下上述過程，試用、來刻畫增函數(shù)的)(xx),ff(xx,2121定義。 學(xué)生嘗試用符號表達單調(diào)增函數(shù)的定義，師生共

10、同修正： 2222，即,任取因為,x且x?x,x?0,?),0 x)?xx?x?(x?x)(?xx?2211212211212 在所以為增函數(shù)x?f(x)0,?使學(xué)生認(rèn)對于學(xué)生錯誤的回答，引導(dǎo)學(xué)生分別用圖形語言和文字語言進行辨析,識到問題的根源在于自變量不可能被窮舉，從而引導(dǎo)學(xué)生在給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩 個自變量xx,21完成對概念的設(shè)計意圖把對單調(diào)性的認(rèn)識由感性上升到理性認(rèn)識的高度,. 第二次認(rèn)識事實上也給出了證明單調(diào)性的方法，為證明單調(diào)性做好鋪墊 四抽象思維，形成概念? ：你能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號語言表述出增函數(shù)的定義嗎問題5 師生共同探究，得出增函數(shù)嚴(yán)格的定義，然后學(xué)生類比得出減函數(shù)的定義 板

11、書定義：I. 的定義域為函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)函數(shù)f(x)時：當(dāng)x1x2如果對于屬于定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1,x2, y=f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)；若總有f(x1)f(x2),y=f(x)在這一區(qū)間上y=f(x)如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間。具有嚴(yán)格的單調(diào)性，這一區(qū)間叫做函數(shù)y=f(x)師：你能否舉出一個具體函數(shù)的例子，使它在區(qū)間xx?),?(，總有上對任意21f(x)?f(x) 21 x?(x)f生：x?x師：你能否舉出一些具體的例子，使它在區(qū)間)?(0，總有上，對任意的21f(x)?f(x) 2112?x)f(f(x)?x 生：，

12、x【設(shè)計意圖】打通抽象與具體之間的聯(lián)系。單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，離開了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上單調(diào)性；對于某個具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可 也可以根本如二次函數(shù))，如一次函數(shù))，可以是定義域內(nèi)某個區(qū)間(以是整個定義域( 如常函數(shù))，因此單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)。不單調(diào)）上是增函數(shù)還+問：依據(jù)上述定義，試判斷函在減函數(shù)，并給予證明。（小組合作交流 讓學(xué)生體會符號化，形式化的必要性【設(shè)計意圖 ：老師，該函數(shù)的圖象是什么 師：這位同學(xué)問得非常好，那么在不知圖象的前提下，我們能得知該函數(shù)是還是減嗎？（讓學(xué)生大膽的去猜想 ）上是增函數(shù)1：可以用定義法證明函+在 1x?1.師：那么具體怎么證明呢？帶著這

13、個問題讓我們先來看例 1?)f(x 例1. 證明函數(shù)在上是增函數(shù))?(0, x 針對學(xué)生可能出現(xiàn)的問題，組織學(xué)生討論、交流 1分析解決問題 設(shè)元 證明：任取, x,xx?(0,?),且x?211211 求差?)?f(x)?f(x 21xx21xx?變形 12? xx21 0 x?xx?,xx?0,x? 222111 斷號),f(x0,f(x)?xf(x)?f()? 即 21212?xf(x)在函數(shù)上是增函數(shù) 定論 )?2,( x2歸納解題步驟 引導(dǎo)學(xué)生歸納證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號、定論 1f(x)?在7 問題：能用定義法證明上是增函數(shù)么？ ,0)(?x1f(x)?在：能證明

14、上是增函數(shù)么？8問題)?,0)(0,( xAB上都是增（或減）函數(shù)，一般不函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個區(qū)間設(shè)計意圖,能認(rèn)為函數(shù)在上是增（或減）函數(shù) BA? 五、鞏固概念，適當(dāng)延展 ：試判斷函在+）上練增函數(shù)還是減函數(shù)，并給予證明的圖象（最后教師幾何畫作?練習(xí)2：證明函數(shù)在上是增函數(shù) )?,0 xf(x)?問題8：要證明函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，)xf(),b(a除了按以上步驟來證，如果可以證得對任意的f(x)?f(x)12x?x可以嗎? ，都有)b,xx?(a,0? 2121x?x12引導(dǎo)學(xué)生分析這種敘述與定義的等價性讓學(xué)生嘗試用這種等價形式證明函數(shù)在上是增函數(shù) )0,?x)?(fx設(shè)計意圖初步掌握根據(jù)定

15、義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟等價形式進一步發(fā)展可以得到導(dǎo)數(shù)法，為用導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)單調(diào)性埋下伏筆 (2)鞏固概念 練習(xí)3：判斷題： 11） 是增函數(shù))f),所以函數(shù)(xf(?1)?f(2x已知f()?,因為 x2,對任意x0滿足f(x)?f(0),則函數(shù)fxf(x)?(x)在0，?)上為增函數(shù)函數(shù) 2）113因為函數(shù)在區(qū)間上都是減函數(shù)，所以在?x)?)f(f(x)?,(?0)和(0,） xx上是減函數(shù).)0,?(?,0)? 設(shè)計意圖讓學(xué)生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調(diào)性的定義，通過對判斷題的辨析，加深學(xué)生對定義的理解，完成對概念的第三次認(rèn)識. 六、歸納小結(jié)，提高認(rèn)識 學(xué)生交流在本節(jié)課學(xué)習(xí)

16、中的體會、收獲，交流學(xué)習(xí)過程中的體驗和感受，師生合作共同完成小結(jié) 1小結(jié) (1) 概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性 (2) 證明方法和步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號、定論 (3) 數(shù)學(xué)思想方法和思維方法：數(shù)形結(jié)合，等價轉(zhuǎn)化，類比等 2. 課后探究： 1(x?0 xy?)的單調(diào)性，并結(jié)合描點法畫出函數(shù)的草圖研究函數(shù) x 5.【課堂教學(xué)實錄】 教學(xué) 環(huán)節(jié) 教學(xué)活動 問題呈現(xiàn) 一、創(chuàng)設(shè)情境，引入課 題 課前布置任務(wù)： 年北京奧運會開幕式時由于某種原因，2008(1) 日，請查閱資料說8日推遲到8月間由原定的7月25. 明做出這個決定的主要原因通過查閱歷史資料研究北京奧運會開幕式當(dāng)(2)

17、 天氣溫變化情況. 課上通過交流，可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因，北京的天氣到8月中旬，平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數(shù)等均開始下降，比較適宜大型國際體育賽事. 下圖是北京市今年8月8日一天24小時內(nèi)氣溫隨. 時間變化的曲線圖 引導(dǎo)學(xué)生識圖，捕捉信息，啟發(fā)學(xué)生思考 問題1：請同學(xué)們觀察144時，溫度下降，4生1（主動回答）：0圖，指出該天的氣溫在時溫度下降。24時溫度上升，14 如何變化？（學(xué)生獨立 歸納：用函數(shù)觀點看，其實就是隨著自變量的變化，思考） 函數(shù)值是變大還是變小 問題2：還能舉出生活 中其他的數(shù)據(jù)變化情況 嗎？ 預(yù)案：水位高低、 燃油價格、股票價格等 問題3：觀畫出y=x和

18、 2的函數(shù)圖象，回xy?二次函1：一次函數(shù)y=x其定義域上是上升的，生 答下面兩個問題： 2是先下降后上升。數(shù)x?y 分別指出上面兩個師：這樣回答準(zhǔn)確嗎？ 函數(shù)的圖象在哪個生2：一次函數(shù)y=x在區(qū)間（-，+）上是“上升”在哪區(qū)間是上升的，的；二次函數(shù)y=x2在區(qū)間（-，0）上是“下降”的，（0，個區(qū)間是下降的？ -）上是“上升”的。 同學(xué)們能用數(shù)學(xué)語 這時學(xué)生們思維較為混亂，無從下手。教師及時通把這兩個函數(shù)圖 言 過幾何畫板展示y=x圖象上任意A點的運動情況，讓 的特象“下降“”上升”或?qū)W生觀察x，y值的變化。 征描述出來嗎？ 師（及時提問）：同學(xué)們能用數(shù)學(xué)語言把y=x圖 象上升的特征描述出來

19、嗎？ 生3：該函數(shù)隨著x的值增大，y的值相應(yīng)的增大。 師（面向全體學(xué)生）：大家同意生4的回答嗎？ 生4：老師，我有補充，應(yīng)該說：該函數(shù)在區(qū)間（-， 的值相應(yīng)的增大。y）上隨著x的值增大，+ 補充的很好，明確提出了函數(shù)變量在對5師：生 2呢？應(yīng)區(qū)間上的變化情況，那么函數(shù)x?y 2的值）上隨著x，在區(qū)間（-0生5：函數(shù)x?y 圖助二借增大，y的值相應(yīng)的減小；在區(qū)間（0，+）上是隨著象，直觀感x的值增大，y的值相應(yīng)的增大。 知稱的增大而增大，隨著x師：在數(shù)學(xué)上，我們把y的增大而減小，稱為減函數(shù)。隨著xy為增函數(shù)；把 2在以12,所：生6因為xx)?f(2)ff(1)? 為增函數(shù))0,? ：因為生7

20、54?2?3?1所，(5)f(4)?f?f(1)f(2)?f(3)?2：如何從解問題4在為增函數(shù)以 x?f(x),?0 析式的角度說明：不對，以上只在兩個或有限個特殊值之間進生82在為xxf()?),0?行比較，不能代替所有值。 師：很好，所有的都拿出來比較，能做到嗎？一一 增函數(shù)？ 三探究規(guī)律，理性認(rèn) 識 列舉行嗎？（意圖：通過這一問題，讓學(xué)生聯(lián)想到用字母符號來表示任意的數(shù)值） 生：拿兩個就行了。 師：原來不都是每次拿兩個來進行比較的嗎？為什么不行？ 生（終于明白）：任意兩個。 師：找任意兩個？怎樣能做到這一點。 生：用字母表示數(shù)字。 師：更清晰一點說呢？ 表示對應(yīng)用用表示兩個變量，生：)x

21、),f(xf(xx,2121的函數(shù)值。 、師：好，請大家回想一下上述過程，試用x,x21來刻畫增函數(shù)的定義。)(xx),ff( 21 學(xué)生嘗試用符號表達單調(diào)增函數(shù)的定義 師生共同修正：為因,任取x?,?),且x,xx?021122222,即，所以0?x)?x?x?(xx)(x?x?x212121212 在為增函數(shù)x)?f(x)0,?引導(dǎo)學(xué)生分別用圖形語言和對于學(xué)生錯誤的回答，使學(xué)生認(rèn)識到問題的根源在于自變文字語言進行辨析,量不可能被窮舉，從而引導(dǎo)學(xué)生在給定的區(qū)間內(nèi)任意取x,x 兩個自變量21 然后學(xué)生類比師生共同探究，得出增函數(shù)嚴(yán)格的定義，得出減函數(shù)的定義 板書定義：y 函數(shù)的單調(diào)性概（一）、

22、 y f(x)念 1 )f(x)(xf，A設(shè)函數(shù)的定義域為2)xf(21 如果對于任意的 I , 區(qū)間 xxO x xx12 x x、 x，當(dāng)x時，12O x 211 都有f(x)f(x) ，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間上嚴(yán)格遞增的 1 f(x)的單調(diào)上升區(qū)間。稱區(qū)間是 f(x) x時，都有x、x，當(dāng)x 如果對于任意的 在區(qū)間上嚴(yán)格遞減的（或者說函數(shù)f(x) f(x) ，則稱函數(shù)f(x) 的單調(diào)下降區(qū)間。在區(qū)間上是減函數(shù)，稱區(qū)間是f(x)則稱（或嚴(yán)格遞減的），如果f(x)在定義域上是嚴(yán)格遞增的 是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)。f(x)函數(shù)在某個區(qū)間上遞增或遞減的性質(zhì)統(tǒng)稱為函數(shù)的單調(diào)性。 師：你能否舉出一個具體函數(shù)的

23、例子，使它在區(qū)間 f(x)?f(x)xx?),?(? ，總有上對任意2121 x?xf()生：師：你能否舉出一些具體的例子，使它在區(qū)間(0?)(x)?ff(xxx? ，總有上，對任意的212112?)f(xf(x)?x ，生：x ：老師，該函數(shù)的圖象是什么？9生 師：這位同學(xué)問得非常好，那么在不知圖象的前提下，（讓學(xué)生大膽的去猜我們能得知該函數(shù)是增還是減嗎？想） x?(x)f）0：可以用定義法證明函數(shù)10，+在（生1x?上是增函數(shù)。 那么具體怎么證明呢？帶著這個問題讓我們先來看師：1.例 1?)(fx在例1. 證明函數(shù)上是增函數(shù) )(0,?x 1分析解決問題 針對學(xué)生可能出現(xiàn)的問題，組織學(xué)生討

24、論、交流 ：你能用準(zhǔn)確的問題5數(shù)學(xué)符號語言表述出增? 函數(shù)的定義嗎 四抽象思維，形成概 念 證明：任取, 設(shè)元 x?x,x?(0,?),且x2121 11求差?x)?f(x)?f( 21xx21x?x變形12? xx21 x?x,x?0,xx?0 x? 212211 斷號),x?f(0?,f(x)f(x)?f(x) 即 22112 ?x)?f(x在上是增函數(shù)函數(shù). 定論 )(2,?x 2歸納解題步驟 引導(dǎo)學(xué)生歸納證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：設(shè)元、作差、 變形、斷號、定論 AB上都是增,結(jié)論：函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個區(qū)間（或減） （或減）函數(shù)函數(shù)，一般不能認(rèn)為函數(shù)在上是增B?A 問題6：依據(jù)上述定義， x

25、f(x)?試判斷函數(shù)x?1在（0，+）上是增函 數(shù)還是減函數(shù)，并給予x（小組合作交流）證明。 ?x)f(）上是增函，練習(xí)1：試判斷函數(shù)+在（0 x?1 數(shù)還是減函數(shù)，并給予證明。（最后教師用“幾何畫板” xf(x)?的圖象） 作出 x?1 在2練習(xí)：證明函數(shù)上是增函數(shù))0,?xxf()? 讓學(xué)生嘗引導(dǎo)學(xué)生分析這種敘述與定義的等價性 試用這種等價形式證明函數(shù)在上是增),?0 x)?f(x 函數(shù) 3：判斷題：練習(xí)1?(x)f，所以函數(shù) 已知函數(shù)，因為1）(2)?ff(?1)x f(x)是增函數(shù)2，對任意，都有已知函數(shù)，0?xx?x)f(0)?fxf() ）2上增函數(shù)。f(x)是因此)?(0, 1?

26、(x)f上都是減函數(shù)，則在已知和)(0,(?,0)? 3）x上也是減函數(shù)。在),0)(0,?(? 小結(jié): 、函數(shù)單調(diào)性的概念，增（減）函數(shù)的概念，注意關(guān)1 鍵詞 判斷函數(shù)單調(diào)性的方法：2. （1）圖像法（從“形”的角度） 問題7：能用定義法證 （2）定義法（從“數(shù)”的角度） 1f(x)?明在上,0)?(3、函數(shù)單調(diào)性的證明步驟： x 是增函數(shù)么？ 取值作差變形判斷符號下結(jié)論。1f(x)?問題8：能證明4、數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合思想。 x 在上是)?(0,?(,0) 課后探究： 1(x?0y?x?)的單調(diào)性，并結(jié)合描點法研究函數(shù)x 畫出函數(shù)的草圖 增函數(shù)么？ ：要證明函9問題上數(shù)在區(qū)間)f(x)

27、ba,(是增函數(shù)，除了按以上步驟來證，如果可以證的任意得對x?x，)x,?(a,bx2121f(x)?f(x)12?0有都x?x12可以嗎? 五、鞏固概念，適當(dāng)延展 六、歸納小結(jié)，提高認(rèn) 識 創(chuàng)設(shè)情境，引入課題借助圖像，直觀感之探究規(guī)律，理性認(rèn)識抽象思維，形成概念鞏固概念，適當(dāng)延展 【教學(xué)路線圖】 6. 根據(jù)課堂活動的情況，本課的教學(xué)路線圖如下： 通過生活實例，初步引導(dǎo)學(xué)生觀察 函數(shù)圖像上升下降趨勢。 通過具體函數(shù)，從感性認(rèn)識初步上 升到理性認(rèn)識。 探究具體函數(shù)單調(diào)性的定義，能用 數(shù)學(xué)符號表示。 探究一般函數(shù)單調(diào)性的定義，能用 數(shù)學(xué)符號表示。 運用定義，證明一般函數(shù)的單調(diào)性 對于本節(jié)課進行總結(jié)

28、，強調(diào)突出注 歸納小結(jié)，提高認(rèn)識 意點。 【教學(xué)過程的整體分析】7. 本節(jié)課通過問題激發(fā)學(xué)生求知欲，使學(xué)生主動參與數(shù)學(xué)實踐活動，在教師的有效指導(dǎo)下解決問題。應(yīng)當(dāng)說在知識的學(xué)習(xí)、能力的培養(yǎng)二個方面收獲都比較大，基本上達到了預(yù)期的教學(xué)目的。 在整個教學(xué)過程當(dāng)中收獲了以下幾點心得： 、概念教學(xué)就是對知識發(fā)生過程的了解，數(shù)學(xué)概念是一系列常識不斷精細(xì)化1的結(jié)果，之所以要進一步形式化，完全是數(shù)學(xué)精確性、嚴(yán)密性的要求。本案例通過從而引發(fā)認(rèn)知上的不平衡，的跨越，使學(xué)生意識到自己能力上的缺陷，到“抽象”“直觀產(chǎn)生學(xué)習(xí)的動力。 、概念形成困難的原因在于新舊知識結(jié)構(gòu)上的矛盾（如語言形式上的差異太2大，學(xué)生認(rèn)知水平、

29、抽象水平與新內(nèi)容的要求落差大等），所以解決的策略應(yīng)是要培植知識的生長點，搭建恰當(dāng)?shù)哪_手架。為此，我循序漸進、螺旋式地設(shè)計了問題組和運用了信息技術(shù)，是學(xué)生從“形”到“數(shù)”有了清新的認(rèn)識。學(xué)生的知識得到不斷重組和內(nèi)化，從而使學(xué)生形成了完整的知識體系和良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，也優(yōu)化了課堂的教學(xué)結(jié)構(gòu)。 3、以學(xué)為本，因?qū)W論教，圍繞學(xué)生的學(xué)習(xí)需求設(shè)計和推進學(xué)習(xí)過程。在學(xué)習(xí)過程中，把學(xué)習(xí)的權(quán)利還給學(xué)生，把思考的時間留給學(xué)生，把發(fā)現(xiàn)的過程給學(xué)生，把概括總結(jié)的機會給學(xué)生，使學(xué)生說出自己的思路、講述研究的過程、表達形成的 實際的教學(xué)效果是學(xué)生自主創(chuàng)新力有所提高參與積極性高，闡述最終的成果。見解、轉(zhuǎn)換不太到位，不能放開手

30、腳自主擔(dān)當(dāng)?！钡敖巧?、在教學(xué)過程中，注重了小組合作這一有效地實現(xiàn)調(diào)動、研討、交流、合作4的學(xué)習(xí)形式，突出了個體和集體力量的和諧統(tǒng)一，在挖掘?qū)W生學(xué)習(xí)的潛能、促進學(xué)生的個性發(fā)展以及綜合素質(zhì)的提高上，有所效果，使教學(xué)成為課程創(chuàng)生與開發(fā)的過程，這是新課程理念所倡導(dǎo)的。 、在教學(xué)中相信學(xué)生也是非常重要的，教師要敢于放手，學(xué)生才能有效地自5主學(xué)習(xí)，相信學(xué)生的能力，相信學(xué)生的工作，教師要做的就是在適當(dāng)?shù)臅r候給予學(xué)生合適的指導(dǎo)和幫助，但在討論問題時，場面有些混亂，學(xué)生不能高效學(xué)習(xí)，對課本依賴性強，教師的引導(dǎo)不到位。 學(xué)生的潛能太大了，需要我們提供和搭建一個讓他們盡情發(fā)展的平臺。新課程改革就是要通過我們的努

31、力工作，通過我們的不斷實施，為他們創(chuàng)造這樣的一個最有利于他們發(fā)展的機會，給他們以時間和空間，幫助他們成才，幫助他們成功。 8. 【教學(xué)過程的局部分析】 1.情境問題的處理： 本著“以新課程標(biāo)準(zhǔn)為依據(jù)，教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，注重過程，探究合作”的原則進行設(shè)計與教學(xué)，因此創(chuàng)設(shè)情境的關(guān)鍵是有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題從而揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，本節(jié)課創(chuàng)設(shè)的情境既體現(xiàn)了單調(diào)性的本質(zhì)，又與學(xué)生熟悉的生活經(jīng)驗和知識經(jīng)驗相聯(lián)系，基本上達到了預(yù)期的教學(xué)目的。 2.例題教學(xué)： 本課例題教學(xué)的兩個目的：一是讓學(xué)生進一步了解單調(diào)性內(nèi)涵，二是讓學(xué)生感知單調(diào)性證明的要點與方法。本課講解的例題證明過程注重數(shù)形結(jié)合，先讓學(xué)生觀察圖像，形成感性認(rèn)識；再給出形式化證明，突出了證明單調(diào)性常用方法，從形和數(shù)兩方面加強對單調(diào)性理解，調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。通過小組合作、交流學(xué)習(xí)的