-初二數(shù)學(xué)上期末復(fù)習(xí)(幾何-全等三角形及軸對稱)講解

1、 初二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試復(fù)習(xí)建議(幾何部分)一. 考試范圍 第十一章 三角形 第十二章 全等三角形 第十三章 軸對稱 二. 復(fù)習(xí)目的1. 通過復(fù)習(xí)使學(xué)生對已學(xué)過的數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)化, 條理化. 更有利于學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識和基本方法, 為進一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)打下良好的基礎(chǔ). 2. 逐步培養(yǎng)學(xué)生識圖能力, 邏輯思維和推理論證的能力, 作圖能力, 分析問題和解決問題的能力, 提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì). 3. 使學(xué)生初步會運用數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法.三. 總體復(fù)習(xí)建議1. 重視基礎(chǔ): 對每一章的知識點進行總結(jié), 使學(xué)生掌握所有重要的定義、公式、性質(zhì)和判定; 掌握每章必須掌握的基本方法(包括解題規(guī)范

2、) , 且“每一步推理都要有根據(jù)”; 關(guān)注教材中數(shù)學(xué)應(yīng)用(包括尺規(guī)作圖) 的實例及其數(shù)學(xué)原理. 2. 優(yōu)選例題習(xí)題, 使學(xué)生熟悉一些基本題型, 掌握常用輔助線的添加. 證明書寫格式要規(guī)范, 思路清楚.3. 適當(dāng)?shù)木C合題的訓(xùn)練.4. 關(guān)注新舊教材的對比與變化. 5. 充分利用區(qū)里的教育資源. 第十二章 全等三角形 第十三章 軸對稱一、通過框架圖進行知識梳理全等形全等三角形角平分線的性質(zhì)、判定解決問題對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等SSS，SAS，ASA，AAS，HL軸對稱等腰三角形等邊三角形畫軸對稱圖形畫軸對稱圖形的對稱軸關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點的坐標(biāo)的關(guān)系生活中的軸對稱二、 基本尺規(guī)作圖: 作法及原理 作一條

3、線段等于已知線段; 作一個角等于已知角; 作已知角的平分線; 作已知線段的垂直平分線(作已知線段的中點) ; 三、適當(dāng)總結(jié)證明方法: (1) 證明線段相等的方法 利用線段中點. 利用數(shù)量相等. 證明兩條線段所在的兩個三角形全等 利用角平分線的性質(zhì)證明角平分線上的點到角兩邊的距離相等 等腰三角形頂角平分線、底邊上的高線平分底邊 線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等(2) 證明角相等的方法: 利用數(shù)量相等. 利用平行線的性質(zhì)進行證明. 利用角平分線證明. 證明兩個角所在的兩個三角形全等 同角(或等角) 的余角(或補角) 相等 等腰三角形底邊上的高線或底邊中線平分頂角 等式性質(zhì) 等邊對等角(3

4、) 證明兩條線段的位置關(guān)系(平行、垂直) 的方法.(4) 常添加的輔助線: 截長補短 倍長中線 角分線雙垂直 角分線翻折 平行線+角分線: 等腰三角形 角分線+垂直: 補全等腰三角形四、從圖形變換的角度來復(fù)習(xí)全等同時復(fù)習(xí)幾何的平移、軸對稱兩種變換, 歸納定義及 性質(zhì), 滲透旋轉(zhuǎn)變換的思想全等三角形的常見圖形平移型: ABC C B A A B C B C C A A B 軸對稱型: A B B C C A B B C C A A A B B C C A A B (C ) C (B ) A B B C C A旋轉(zhuǎn)型: A B C C B A B C C B B (C ) C (B ) A A A

5、 A B B C C 補充習(xí)題(一) 全等的性質(zhì)和判定 1. 如圖, 正方形的邊長為4, 將一個足夠大的直角三角板的直角頂點放于點A處, 該三角板的兩條直角邊與交于點F, 與延長線交于點E. 四邊形的面積是( ) . A A. 16 B. 12 C. 8 D. 4ABCDO2. 已知: 如圖, AC、BD相交于點O, A = D, 請你再補充一個條件, 使AOBDOC, 你補充的條件是_. 3. 在ABC與ABC 中, 已知A = A, CD和CD 分別為ACB和ACB 的平分線, 再從以下三個條件: B = B, AC = AC, CD = CD 中任取兩個為題設(shè), 另一個為結(jié)論, 則可以構(gòu)

6、成 ( ) 個正確的命題. A. 1 B. 2 C. 3 D. 44. 根據(jù)下列已知條件, 不能唯一確定ABC的大小和形狀的是( ) . B A. AB3, BC4, AC5B. AB4, BC3, A30 C. A60, B45, AB4D. C90, AB6, AC = 55. 如圖, 已知ABC, 則甲、乙、丙三個三角形中和ABC全等的是( ) . DA. 只有乙B. 只有丙C. 甲和乙D. 乙和丙6. 已知: 如圖, CB = DE, B = E, BAE = CAD. 求證: ACD = ADC. 7. 如圖, 銳角ABC中, D, E分別是AB, AC邊上的點, ADCADC, A

7、EBAEB, 且CDEBBC, 記BE, CD交于點F, 若, 則BFC的大小是_. (用含x的式子表示) () 第6題圖 第7題圖(二) 軸對稱圖形和垂直平分線1. 在下列各圖中, 對稱軸最多的圖形有_條對稱軸.2. (1) 點P(3, 5) 關(guān)于軸的對稱點坐標(biāo)為() D A. (3, 5)B. (5, 3) C. (3, 5) D. (3, 5) AOB(2) 如圖, 數(shù)軸上兩點表示的數(shù)分別為和, 點B關(guān)于點A的對稱點為C, 則點C所表示的數(shù)為( ) A A. B. C. D. (3) 如圖, 在正方形網(wǎng)格紙上有三個點A, B, C, 現(xiàn)要在圖中網(wǎng)格范圍內(nèi)再找格點D, 使得A, B, C,

8、 D四點組成的凸四邊形是軸對稱圖形, 在圖中標(biāo)出所有滿足條件的點D的位置. (兩個解) 3. 如圖, 在RtABC中, ACB = 90, A = 15, AB的垂直平分線與 AC交于點D, 與AB交于點E, 連結(jié)BD. 若AD12cm, 則BC的長為 cm. 4. 如圖, 已知ABC中, BAC = 120, 分別作AC, AB邊的垂直平分線PM, PN交于點P, 分別交BC于點E和點F. 則以下各說法中: P = 60, EAF = 60, 點P到點B和點C的距離相等, PE = PF, 正確的說法是_. (填序號) 第3題圖 第4題圖5. 已知AOB45, 點P在AOB的內(nèi)部, P1與P

9、關(guān)于OB對稱, P2與P關(guān)于OA對稱, 則P1、P2與O三點構(gòu)成的三角形是( ) DA. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等邊三角形D. 等腰直角三角形 (三) 等腰三角形的性質(zhì)和判定1. 等腰直角三角形的底邊長為5, 則它的面積是( ). DA. 50B. 25C. 12.5D. 6.252. 已知: 如圖3, ABC中, 給出下列四個命題: 若ABAC, ADBC, 則12; 若ABAC, 12, 則BDDC; 若ABAC, BDDC, 則ADBC; 若ABAC, ADBC, BEAC, 則13; 其中, 真命題的個數(shù)是( ). D A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個3. 如圖, 在

10、ABC中, D是BC邊上一點, 且AB = AD = DC, BAD = 40, 則C為( ) . B A. 25 B. 35 C. 40 D. 504. 如圖, 在ABC中, AB = AC, BAC = 30. 點D為ABC內(nèi)一點, 且DB = DC, DCB = 30. 點E為BD延長線上一點, 且AE = AB. (1) 求ADE的度數(shù); (2) 若點M在DE上, 且DM = DA, 求證: ME = DC. 5. 已知: 如圖, ABC中, 點分別在邊上, 是中點, 連交于點, , 比較線段與的大小, 并證明你的結(jié)論. (提示, 注意AE = AB; 過D作AC的平行線交BE于點G)

11、 (四) 等邊三角形(30 角直角三角形) 1. 下列條件中, 不能得到等邊三角形的是( ) . B A. 有兩個內(nèi)角是60的三角形B. 有兩邊相等且是軸對稱圖形的三角形 C. 三邊都相等的三角形 D. 有一個角是60且是軸對稱圖形的三角形 2. 如圖, ABC中, ABAC, BAC120, DE垂直平分AC. 根據(jù)以上條件, 可知B_, BAD_, BD: DC_. (30, 90, 2: 1) 3. 如圖, 在紙片ABC中, AC = 6, A = 30, C = 90, 將A沿DE折疊, 使點A與點B重合, 則折痕DE的長為_. (2) 4. 如圖所示ABC中, AB = AC, AG

12、平分BAC; FBC = BFG = 60, 若FG = 3, FB = 7, 求BC的長. (答案10. 提示: 延長AG、FG與BC相交) (五) 最值問題1. 如圖, P、Q為邊上的兩個定點. 在BC邊上求作一點M, 使PM+MQ最短2. 已知: 如圖, 牧馬營地在M處, 每天牧馬人要趕著馬群到草地吃草, 再到河邊飲水, 最后回到營地M. 請在圖上畫出最短的放牧路線. . 第1題圖 第2題圖3. 如圖, 四邊形EFGH是一長方形的臺球桌面, 現(xiàn)在黑、白兩球分別位于A、B兩點的位置上. 試問怎樣撞擊黑球A, 才能使黑球A先碰到球臺邊EF, 反彈一次后再擊中白球B? 4. 如圖, MN是正方

13、形ABCD的一條對稱軸, 點P是直線MN上的一個動點, 當(dāng)PC+PD最小時, PCD = _. (45) 5. 已知兩點M(4, 2) , N(1, 1) , 點P是x軸上一動點, 若使PM+PN最短, 則點P的坐標(biāo)應(yīng)為_. (2, 0) 6. 平面直角坐標(biāo)系xOy中, 已知點A(0, 4) , 直線x = 3, 一個動點P自O(shè)A的中點M出發(fā), 先到達x軸上的某點(設(shè)為點E) , 再到達直線x = 6上某點(設(shè)為點F) 最后運動到點A, 求使點P運動的路徑中最短的點E、F的坐標(biāo). E(4, 0) , F(6, 1) 幾何專題復(fù)習(xí)(一) 分類討論1. 等腰三角形的一個角是110, 求其另兩角?

14、等腰三角形的一個角是80, 求其另兩角? 等腰三角形兩內(nèi)角之比為2: 1, 求其三個內(nèi)角的大小? 2. 等腰三角形的兩邊長為5cm、6cm, 求其周長? 等腰三角形的兩邊長為10cm、21cm, 求其周長? 3. 等腰三角形一腰上的中線將周長分為12cm和21cm兩部分, 求其底邊長? 等腰三角形一腰上的中線將周長分為24cm和27cm兩部分, 求其底邊長? 4. 等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30, 則其頂角為_.(按高的位置分類)5. 等腰三角形一邊上的高等于底邊的一半, 則其頂角為_.6. 等腰三角形一腰上的高等于腰的一半, 則其頂角為_.7. 等腰三角形一邊上的高等于這邊的一半,

15、 則其頂角為_.8. ABC中, AB = AC, AB的中垂線EF與AC所在直線相交所成銳角為40, 則B = _. (按一腰中垂線與另一腰的交點所在位置分類) 9. 已知: 為等腰三角形 , 問滿足條件的C點有幾個? 4個10. 在正方形ABCD所在平面上找一點P, 使PAD、PAB、PBC、PCD均為等腰三角形, 這樣的P點有幾個? 9個11. 平面內(nèi)有一點D到ABC三個頂點的距離DA = DB = DC, 若DAB = 30, DAC = 40, 則BDC的大小是_. (20或140) (二) 幾何作圖1. 如圖, 某地區(qū)要在區(qū)域S內(nèi)建一個超市M, 按照要求, 超市M到兩個新建的居民小

16、區(qū)A, B的距離相等, 到兩條公路OC, OD的距離也相等. 這個超市應(yīng)該建在何處? (本題要求: 尺規(guī)作圖, 不寫作法, 保留作圖痕跡) SABDO2. 尺規(guī)作圖作的平分線方法如下: 以為圓心, 任意長為半徑畫弧交、于、, 再分別以點、為圓心, 以大于長為半徑畫弧, 兩弧交于點, 則作射線即為所求. 由作法得的根據(jù)是( ) . DA. SASB. ASAC. AASD. SSSOAB3. 如圖, 用圓規(guī)以直角頂點O為圓心, 以適當(dāng)半徑畫一條弧交兩直角邊于A、B兩點, 若再以A為圓心, 以O(shè)A為半徑畫弧, 與弧AB交于點C, 則AOC等于 _ 4. 小明同學(xué)在學(xué)習(xí)了全等三角形的相關(guān)知識后發(fā)現(xiàn),

17、 只用兩把完全相同的長方形直尺就可以作出一個銳角的平分線. 如圖: 一把直尺壓住射線OB, 另一把直尺壓住射線OA并且與第一把直尺交于點P, 小明說: “射線OP就是BOA的角平分線. ”你認為小明的想法正確嗎? 請說明理由. 5. 閱讀下列材料: 木工張師傅在加工制作家具的時候, 用下面的方法在木板上畫直角: 如圖1, 他首先在需要加工的位置畫一條線段AB, 接著分別以點A、點B為圓心, 以大于的適當(dāng)長為半徑畫弧, 兩弧相交于點C, 再以C為圓心, 以同樣長為半徑畫弧交AC的延長線于點D(點D需落在木板上) , 連接DB. 則ABD就是直角. 木工張師傅把上面的這種作直角的方法叫做“三弧法.

18、 ACBD圖1圖2EF解決下列問題: (1) 利用圖1就ABD是直角作出合理解釋(要求: 先寫出已知、求證, 再進行證明); (2) 圖2表示的一塊殘缺的圓形木板, 請你用“三弧法”, 在木板上畫出一個以EF為一條直角邊的直角三角形EFG(要求: 尺規(guī)作圖, 不寫作法, 保留作圖痕跡) . (三) 操作問題 第1題 圖 圖 第2題圖 第1題1. 如圖, 一張四邊形紙片ABCD, A50, C150. 若將其按照圖所示方式折疊后, 恰好MDAB, NDBC, 則D的度數(shù)為( ). C A. 70 B. 75 C. 80 D. 852. 如圖所示, 把一個三角形紙片ABC頂角向內(nèi)折疊3次之后, 3

19、個頂點不重合, 那么圖中1+ 2+3+4+5+6的值為( ) C A. 180 B. 270 C. 360 D. 無法確定3. 將一個菱形紙片依次按下圖、的方式對折, 然后沿圖中的虛線裁剪, 成圖樣式. 將紙展開鋪平. 所得到的圖形是圖中的( ) A4. 如圖, 等邊ABC的邊長為1cm, D、E分別是AB、AC上的點, 將ADE沿直線DE折疊, 點A落在點A處, 且點在ABC外部, 則陰影部分圖形的周長為_cm. (3) 5. 如圖, 將一張三角形紙片ABC折疊, 使點A落在BC邊上, 折痕EFBC, 得到EFG; 再繼續(xù)將紙片沿BEG的對稱軸EM折疊, 依照上述做法, 再將CFG折疊, 最

20、終得到矩形EMNF, 折疊后的EMG和FNG的面積分別為1和2, 則ABC的面積為( )A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 6. 將如圖1所示的長方形紙片ABCD沿過點A的直線折疊, 使點B落在AD邊上, 折痕為AE(如圖2) ; 再繼續(xù)將紙片沿過點E的直線折疊, 使點A落在EC邊上, 折痕為EF(如圖3) , 則在圖3中, FAE = _, AFE = _. (45, 67.5) 圖1 圖2 圖37.(1) 已知中, , , 請畫一條直線, 把這個三角形分割成兩個等腰三角形. (請你選用下面給出的備用圖, 把所有不同的分割方法都畫出來. 只需畫圖, 不必說明理由, 但要在圖中標(biāo)出相等

21、兩角的度數(shù)) (2) 已知中, 是其最小的內(nèi)角, 過頂點的一條直線把這個三角形分割成了兩個等腰三角形, 請?zhí)角笈c之間的所有可能的關(guān)系. ABC備用圖ABC備用圖ABC備用圖8. 當(dāng)身邊沒有量角器時, 怎樣得到一些特定度數(shù)的角呢? 動手操作有時可以解“燃眉之急”. 如圖, 已知矩形ABCD, 我們按如下步驟操作可以得到一個特定的角: (1) 以點A所在直線為折痕, 折疊紙片, 使點B落在AD上, 折痕與BC交于E; (2) 將紙片展平后, 再一次折疊紙片, 以E所在直線為折痕, 使點A落在BC上, 折痕EF交AD于F. 則AFE = _. (67.5) 9. 如圖(1)所示RtABC中, A =

22、 90, 三邊. 現(xiàn)以ABC某一邊的垂直平分線為對稱軸, 作ABC的軸對稱圖形, 記作一次操作. 例如, 若圖(1)中ABC以a邊的垂直平分線為對稱軸, 作軸對稱圖形得到圖(2)中的ABC, 記作“a操作”一次; 圖(2)中ABC繼續(xù)以b邊的垂直平分線為對稱軸, 作軸對稱圖形得到圖(3)中的ABC, 記作“b操作”一次. 現(xiàn)對圖(1)中的ABC分別按以下順序連續(xù)進行若干次操作, 則最后得到的ABC與圖(1)中ABC重合的是( ) . BA. a操作 b操作 c操作B. b操作 c操作 b操作 c操作C. a操作 c操作 b操作 a操作D. b操作 a操作 b操作 a操作四、探究性問題1. 已知

23、: 如圖, RtABC中, AB = AC, BAC = 90, 直線AE是經(jīng)過點A的任一直線, BDAE于D, CEAE于E, BD CE. (1) AD與CE的大小關(guān)系如何? 請說明理由. (2) 求證: DEBDCE. 2. 已知: 如圖, B、A、C三點共線, 并且RtABDRtECA, M是DE的中點. 問題: (1) 判斷ADE的形狀并證明; (2) 判斷線段AM與線段DE的關(guān)系并證明; (3) 判斷MBC的形狀并證明. 3.已知: 在ABC中, CAB = , 且, AP平分CAB. (1) 如圖1, 若, ABC = 32, 且AP交BC于點P, 試探究線段AB, AC與PB之

24、間的數(shù)量關(guān)系, 并對你的結(jié)論加以證明; 圖1圖2 (2) 如圖2, 若ABC = , 點P在ABC的內(nèi)部, 且使CBP = 30, 求APC的度數(shù)(用含的代數(shù)式表示) . 五、關(guān)于旋轉(zhuǎn)的問題、動點問題1. 已知: 如圖, AOB和COD都是等邊三角形, 作直線AC、直線BD交于E. 求證: (1) ACBD; (2) AEB60. ACBPEFQ2. 已知: 如圖, 等邊三角形ABC中, AB = 2, 點P是AB邊上的一動點(點P可以與點A重合, 但不與點B重合) , 過點P作PEBC, 垂足為E, 過點E作EFAC, 垂足為F, 過點F作FQAB, 垂足為Q. 設(shè)BP = x, AQ =

25、y. (1) 請用x的代數(shù)式表示y(直接寫出) ; (2) 當(dāng)BP的長等于多少時, 點P與點Q重合; (; ) 3. 已知: 如圖, ABC中, A90, ABAC. D是斜邊BC的中點; E、F分別在線段AB、AC上, 且EDF90. (1) 求證: DEF為等腰直角三角形. (2) 如果E點運動到AB的反向延長線上, F在直線CA上且仍保持EDF90, 那么DEF還仍然是等腰直角三角形嗎? 請畫圖(右圖) 并直接寫出你的結(jié)論. 4. 如圖所示, 長方形ABCD中, AB = 4, BC = 4, 點E是折線段ADC上的一個動點(點E與點A不重合) , 點P是點A關(guān)于BE的對稱點. 在點E運

26、動的過程中, 能使PCB為等腰三角形的點E的位置共有( ) . CA. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個 AQCDBP5. 如圖中, 厘米, 厘米, 點為中點. (1) 如果點P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點向C點運動, 同時, 點Q在線段CA上由C點向A點運動. 若點Q的運動速度與點P的運動速度相等, 經(jīng)過1秒后, 與是否全等, 請說明理由; 若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等, 當(dāng)點Q的運動速度為多少時, 能夠使與全等? (2) 若點Q以中的運動速度從點C出發(fā), 點P以原來的運動速度從點B同時出發(fā), 都逆時針沿三邊運動, 求經(jīng)過多長時間點P與點Q第一次在的哪條邊上相遇? ( (1) SAS全等; 厘米/秒. (2) 經(jīng)過秒點與點第一次在邊上相遇.