【Word版導學案】學案65

1、血東方工咋愛孩2備裸処制作* % X1EZ學案65 二項式定理導學目標：1.能用計數原理證明二項式定理 2會用二項式定理解決與二項展開式有關 的簡單問題.東方工咋愛核金備裸紐制作 % xx1二項式定理的有關概念二項式定理：(a + b)n= cnan+ Cnan_1b1 + + Cina kbk+ + CHb (n N*),這個公式 叫做 二項展開式：右邊的多項式叫做(a + b)n的二項展開式. 項數：二項展開式中共有 項. 二項式系數：在二項展開式中各項的系數 (k=)叫做二項式系數. 通項：在二項展開式中的 叫做二項展開式的通項，用Tk +i表示，即通項為展開式的第 k+ 1項：Tk+1

2、 =.2二項式系數的性質(1) 對稱性：與首末兩端 的兩個二項式系數相等.(2) 增減性與最大值：當 n是偶數時，中間的一項二項式系數 取得最大值；當n為奇數時，中間的兩項二項式系數 、相等，且同時取得最大值.(3) 各項式系數和： C0 + Cn+ C2 + Cn =, Cn+ Cn+ C?+ Cn =:Cn+ C3 + C5 + + Cn =.1. （2011福建）（1 + 2x）5的展開式中，X2的系數等于（）A. 80B. 40C. 20D. 102. （2011陜西）（4X 2一X）6（x R）展開式中的常數項是（）A . 20B . 15C . 15D . 203. （x. 2y）

3、10的展開式中x6y4項的系數是（）A . 840B . 840C . 210D . 21014 . （2010四川）2 36的展開式中的第四項是 .5 . （2011山東）若（x曹）6展開式的常數項為60,則常數a的值為.X16 . （2011煙臺期末）已知n為正偶數，且x2 X n的展開式中第4項的二項式系數最大,則第4項的系數是 .（用數字作答）探究點一二項展開式及通項公式的應用東方工咋愛樓2備棵紐劇冷A % H魅亶3 -, 1_1已知在 x 3 n的展開式中，第6項2飯為常數項.求n； (2)求含x2的項的系數；(3)求展開式中所有的有理項.變式遷移1 (2010湖北)在(x+ 43y

4、)20的展開式中，系數為有理數的項共有 項.探究點二二項式系數的性質及其應用2(1)求證：Cn + 2Cn+ 3Cn + + nCn = n 2n1(2)求S= C27 + c27+ C27除以9的余數.變式遷移2 （2011上海盧灣區(qū)質量調研）求c2n+ C4n + c2n + C2n的值.京芳工昨金核心備課紐!樺*賓工耀探究點三求系數最大項已知f(x) = (系數和比各項的二項式系數和大992.求展開式中二項式系數最大的項; (2)求展開式中系數最大的項.x2 + 3x2)n展開式中各項的n的值可能等于()變式遷移3 (1)在(x+ y)n的展開式中，若第七項系數最大，則A . 13,14

5、B . 14,15東方工咋愛按Z備裸紐劇冷A 賓 X1EXC. 12,13D . 11,12,131(2)已知-+ 2x n, ( i )若展開式中第5項，第6項與第7項的二項式系數成等差數列， 求展開式中二項式系數的最大項的系數；(ii )若展開式前三項的二項式系數和等于79,求展開式中系數最大的項.1二項式系數與項的系數是不同的，女口(a+ bx)n (a, b R)的展開式中，第r +1項的二項式系數是Ch,而第r + 1項的系數為Cha-rbr.2通項公式主要用于求二項式的指數，求滿足條件的項或系數，求展開式的某一項或 系數在運用公式時要注意：Chan-rbr是第r +1項，而不是第r

6、項.3. 在(a+ b)n 的展開式中，令 a= b = 1,得 C0+ C*+ + Ch= 2n;令 a= 1, b=- 1,得 Cn Cn+ Cn- Cn + =0, ：CR+ C2 + C4+ =Cn+ Cn + C5+ =2“-1 ,這種由一般到特 殊的方法是“賦值法”.4. 二項式系數的性質有：(1)在二項展開式中，與首末兩端 “等距離”的兩項的二項式 系數相等，即Cn= Cn , Cn= Cri- 1, Cn= Cri-2 ,，Cn = Cri- 1(2)如果二項式的幕指數是 偶數，中間一項的二項式系數最大； 如果二項式的幕指數是奇數， 中間兩項的二項式系 數相等并且最大. X-C

7、X賃工作愛核金備課11制柞5二項式定理的一個重要作用是近似計算，當n不是很大，|x|比較小時，（1 + x）n 1 +nx利用二項式定理還可以證明整除性問題或求余數問題，證題時要注意變形的技巧.（滿分：75分）、選擇題（每小題5分，共25分)1. （2011山東實驗中學模擬x+十24的展開式中，x的幕指數是整數的項共有 X( )A . 3項B . 4項(2011 重慶)(1 + 3x)n(其中2 .( )A .C .C. 5項D . 6項且n6）的展開式中x5與x6的系數相等，貝V n等于3.B . 7D. 9x丄 （2011黃山期末）在2暫n的展開式中，只有第 5項的二項式系數最大，則展開式

8、中常數項是（）A. 74. （2010煙臺高三一模）如果C . 2813xqn的展開式中二項式系數之和為128，則展開式3x2D. 281中3的系數是（）x3A . 7B. 75.在（1 x）5 + （1 x）6 + （1 x）7+ （1 x）8的展開式中，含 x3的項的系數是（）C. 21D. - 21A . 74B . 121C . 74D . 121二、填空題（每小題4分，共12分） 6 . （2011湖北）（x 步）18的展開式中含x15的項的系數為.（結果用數值表示）17. （2011濟南高三模擬）已知a =（sin t + cos t）dt，貝U x-6的展開式中的常數項為ax0東

9、看工昨褰核2備裸紐件A X-CX8. 1 + x+1 11. （14分）（2011泰安模擬）已知x x2 n （n N*）的展開式中第五項的系數與第三項的系數的比是10: 1.（1）求展開式中各項系數的和；的展開式中的常數項是 三、解答題(共38分)9. (12 分)(1)設(3x 1)（3）求展開式中系數最大的項和二項式系數最大的項.= ao+ aix + a2*+ a3x求展開式中含x2的項；+ a4x4. 求 ao+ a1 + a2+ a3+ a4； 求 ao+ a2 + a4； 求 a1 + a2 + a3+ a4；求證：32n+2 8n 9能被64整除（n N*）.110. （12分

10、）利用二項式定理證明對一切n N*，都有2 1+ n n Ar 1 解出r來，即得系數最大的項.ArAr+ 1解(1)令 x= 1，則二項式各項系數的和為f(1) = (1 + 3)n= 4n,又展開式中各項的二項式系數之和為2n.由題意知，4n 2n= 992.(2n)2 2n 992= 0,.(2n+ 31)(2n 32)= 0,2n= 31(舍)，或 2n= 32，二n= 5.由于n=5為奇數，所以展開式中二項式系數最大的項為中間兩項，它們分別是 驏2T3= C5 琪X3 3(3x2)2 = 90x6,琪 驏222T4= C5 琪 2(3x2)3 = 270 x 3 .琪-(5+2r)展

11、開式的通項公式為Tr + 1 = C53r X3)C53r C51 3r 1, 假設Tr + 1項系數最大，則有C53r C5+1 3r +1彳備東方工咋愛樓z備裸紐劇作A % X1EX5!X 3 ,5 r ! r!6 r ! r 1 !5!5!X 3.4 r ! r + 1 !r 6 r寺 r w9,Tr N ,= 4.變式遷移3D(1)分三種情況：若僅T7與T6系數相等且最大，則共有 12項，n= 11;項，n=13,所以n的值可能等于11,12,13，故選T7系數最大，則共有13項，n = 12;若若T7與T8系數相等且最大，則共有 14D.(2)解 (i )&+ cn= 2c5,：n2

12、 21n + 98= 0.n = 7或n = 14,當n= 7時，展開式中二項式系數最大的項是T4和T5.3 1 4 335T4 的系數為 c3 2 423 = y,1T5的系數為C7324 = 70,當n = 14時，展開式中二項式系數的最大的項是T8.T8 的系數為 C14 2 727= 3 432.(ii )vc0+ Cn+ Cn= 79,.n2+ n 156 = 0. = 12 或 n= 13(舍去).設Tk+ 1項的系數最大，1 1/ 1+ 2x 12 = 2 12(1 + 4x)12 ,C124k C12 14k 1,9.4W k C1+ 14k +1.k= 10. 展開式中系數最

13、大的項為T11,Tn= 2 12C12410x10 = 16 896x10.課后練習區(qū)1. CC636x6,2. B (1 + 3x)n的展開式中x5的項為Cn(3x)5= Cn35x5,展開式中含x6的項為由兩項的系數相等得cn35= C6 36，解得n= 7.3. B 4.C5.D6. 173r1 1 18解析 二項展開式的通項為Tr + 1= C18X18 r( 3)r = ( 1)()C8X2 .令 15,解得 r = 2.含x15 的項的系數為(1)2(3)2c18= 17.東方工咋堂核2備課姐制件A f： X-CX5721 1解析 1 + x+ 】2 10=1 + X + X2 1

14、0=C0(1 + x)10+ C1(1 + x)91 + c20(1 + x)8p+ c30(1 + 乂)7護+ c40(1 + x)6/1& 4 351C00X clo,從第五項c40(1 + X)6X8起，后面各項不再出現常數項，前四項的常數項分別是 c10X c2, c20 X c4, c10 X c6.故原三項展開式中常數項為c1c10+ c1c2+ c20c4+ c1c7= 4 351.9. (1)解令x= 1 ,得 a0+ a1 + a2+ a3+ a4= (3 1)4= 16.(2 分)令x= 1得，ao a1 + a2 a3+ a4= ( 3 1)4 = 256, 而由(1)知

15、 ao+ a1 + a2 + a3+ a4= (3 1)4= 16, 兩式相加，得 ao+ a2 + a4= 136.(4分)令 x= 0 得 ao= (0 1)4= 1,得 a1+ a2+ a3+ a4 = ao+ a1+ a2 + a3 + a4 ao=16 1 = 15.(6 分)證明v32n+2 8n 9= 32 32n 8n 9=9 9n 8n 9 = 9(8 + 1)n 8n 9=9(c08n+ ci8n 1 + + cn 1 8 + cn 1 8n 9 (8分)=9(8n+ cn8n 1+ + cn282) + 9 8n+ 9 8n 9 =9X 82X (8n-2+ cn 8n

16、3+ + cn-2)+ 64n=649(8n 2+ cn8n 3+ + cn2) + n, 顯然括號內是正整數，原式能被64整除.(12分)10.證明因為1 +1 nn=c0+c1+c2 1112+ cn -1 3+ -+ Cr?一n= 1+ 1 + n n 2 !n 11+ 一 n3!n 1n 2n n1+ + n!n 2n1 n吐 1 + 1n1 12 + +所以1 .(4 分)(6 分)2!3!n!11_11 22 3n 1 n1 1 1 1 _ 1 =2+ 1-2 + 2 - 3 + n - 1_n1八=3-n2 時，2 1 + n3.（11 分）1 故對一切 n N*，都有 2W 1 + n3.（12 分）C4 2 411解 由題意知，第五項系數為cn（ 2）4,第三項的系數為 C2 （ 2）2，則有=:C2 2 210=1， 化簡得 n2 5n 24= 0,解得n= 8或n= 3（舍去）.（2分）（1）令 x= 1得各項系數的和為（1 2）8= 1.（4分）2通項公式Tr + 1= C8x）8X2 r