導(dǎo)體表面電荷分布與表面曲率關(guān)系

1、.摘要從導(dǎo)體表面電場(chǎng)的特征和電荷分布的微觀解釋導(dǎo)體表面電場(chǎng)的特性出發(fā)，我們對(duì)孤立帶電導(dǎo)體凹凸形尖端的表面電荷與電場(chǎng)分布進(jìn)行了定性計(jì)算及分析。依據(jù)該帶電導(dǎo)體的等勢(shì)面與電場(chǎng)線正交的特征，得出了該帶電導(dǎo)體尖端處表面電荷與表面電場(chǎng)間的定量關(guān)系，而且進(jìn)行了討論。對(duì)于孤立的帶電導(dǎo)體來(lái)說(shuō)，電荷分布規(guī)律有以下的結(jié)論，其上面電荷的多少與該處表面的曲率有關(guān)，導(dǎo)體表面凸出尖端的地方 ( 曲率較大)，面電荷密度較大；表面較平緩的地方 ( 曲率較小) 電荷密度較小；表面凹下去的地方 ( 曲率小于零) 更小。本文將進(jìn)行分析說(shuō)明：電荷密度分布與曲率成正比只是一個(gè)大致的定性的規(guī)律，不能簡(jiǎn)單地根據(jù)兩處的曲率大小來(lái)比較兩處的電荷

2、密度的大小。關(guān)鍵詞：帶電導(dǎo)體 電荷面密度 電場(chǎng)分布 電荷面密度 表面曲率精品.目錄一、導(dǎo)體表面電荷分布的有關(guān)因素11電荷分布的微觀解釋12尖端處表面電荷13電荷分布與表面曲率關(guān)系1二、導(dǎo)體表面的電場(chǎng)41電場(chǎng)分布的描述42凸端處的場(chǎng)強(qiáng)63凹端處的場(chǎng)強(qiáng)7三、結(jié)論8參考文獻(xiàn)9精品.一、導(dǎo)體表面電荷分布的有關(guān)因素1電荷分布的微觀解釋我們所說(shuō)的導(dǎo)體帶電，通常是指正負(fù)電荷中和后會(huì)出現(xiàn)多余“凈電荷”。若正電荷數(shù)量大于負(fù)電荷，則中和后，導(dǎo)體就會(huì)多余出正的“凈電荷”，這些“凈電荷”都會(huì)帶有正的電性，我們也因此判定導(dǎo)體帶正電。又根據(jù)同種電荷間有庫(kù)倫力的作用，導(dǎo)體表面相同電性的電荷將會(huì)齊向著斥力小的方向運(yùn)動(dòng)。此時(shí)若

3、導(dǎo)體呈球狀，電荷也會(huì)自由移動(dòng)至均勻分布于球體表面，進(jìn)而形成均勻的對(duì)稱(chēng)電場(chǎng)。但若導(dǎo)體非球狀，表面有凸凹時(shí)，凈電荷依舊向著斥力最小的方向自由移動(dòng)。但由于凸面的頂端據(jù)其他表面最遠(yuǎn)，會(huì)使得此處電荷受其他電荷的斥力最小。因此會(huì)吸引大量電荷移向此處，導(dǎo)致電荷分布最集中，隨之電場(chǎng)也會(huì)最強(qiáng)。反之，凹面距離其余電荷最近，庫(kù)倫力也最大，因此電荷密度最小，電場(chǎng)也最弱。2尖端處表面電荷總靜電荷不為零且與其他物體距離足夠遠(yuǎn)的孤立帶電導(dǎo)如果帶有電荷q，當(dāng)自由電子不做自由運(yùn)動(dòng)達(dá)到靜電平衡時(shí)有：（1）導(dǎo)體內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度為零（2）導(dǎo)體內(nèi)部電荷密度為零，電荷只能在導(dǎo)體表面分布;(3) 在導(dǎo)體外部，緊靠導(dǎo)體表面的點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)方向與導(dǎo)體表面

4、垂直，場(chǎng)強(qiáng)大小與導(dǎo)體表面對(duì)應(yīng)點(diǎn)的電荷面密度成正比，可在導(dǎo)體外緊靠表面處人去一點(diǎn)做高斯面，有高斯定理知電場(chǎng)強(qiáng)度大小為e=，而導(dǎo)體表面的電荷密度是=qs。大致來(lái)說(shuō)，當(dāng)曲率半徑 0 時(shí)，任意形狀的孤立帶電導(dǎo)體外表面，向外突出的地方電荷較密，場(chǎng)強(qiáng)也大。在突出部位較平坦的地方電荷很疏，場(chǎng)強(qiáng)也小；當(dāng)某處場(chǎng)強(qiáng)擊穿場(chǎng)強(qiáng)時(shí)，就發(fā)生常見(jiàn)的尖端放電現(xiàn)象。3電荷分布與表面曲率關(guān)系橢球面的代數(shù)方程式是比較簡(jiǎn)單的，當(dāng)橢球的三個(gè)半軸相等時(shí)，它的方程式就變成圓的方程。現(xiàn)有一橢圓，使該橢圓繞短（長(zhǎng)）精品.軸旋轉(zhuǎn)而得到的橢球就相當(dāng)于一根細(xì)長(zhǎng)棒。長(zhǎng)棒兩端曲率很大，中間曲率較小，因此用這種導(dǎo)體研究表面曲率與電荷分布是能說(shuō)明問(wèn)題的，無(wú)

5、論它是什么形狀的帶電導(dǎo)體，除了外界環(huán)境，導(dǎo)體內(nèi)部各處場(chǎng)強(qiáng)大小等于零是判斷導(dǎo)體電荷是否平衡分布的唯一條件。假設(shè)我們考慮的是一個(gè)繞軸旋轉(zhuǎn)的橢球體，它的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為01和 o2 ，橢球表面的電荷分布使橢球內(nèi)部任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)矢量和為零。一般來(lái)說(shuō)，這種現(xiàn)象是導(dǎo)體表面電荷產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)相互抵消的結(jié)果。但是，對(duì)于焦點(diǎn) o1 和 o2 ，這種抵消是一對(duì)一成立的。過(guò)橢球的焦點(diǎn) o1 作一個(gè)較小的立體角，它在橢球表面上切出兩塊表面 d s 和 d s2 ,通過(guò)嚴(yán)格的理論證明 , d s上的電荷在焦點(diǎn) o1 處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)與 d s2 上的電荷在 o1處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)恰恰相互抵消，所以，整個(gè)橢球表面上的電荷在 o1產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)

6、之和為零，根據(jù)這一規(guī)律，就可以找到帶電導(dǎo)體表面電荷分布的一些規(guī)律。圖1 旋轉(zhuǎn)橢球焦點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)分布如圖 1，設(shè) d s1 處電荷密度為 1 ，離 o1 的距離為 r 1，即d s 上的帶電量為 d q1 = 1d s，這些電荷在 o1 處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng) d e1為：de11411dsr12注意， d s = d s / c o s 1 , 1是r1與該處表面法線 n1間的夾角。 d s =r12 d1， d1是d s 對(duì) o1 張的立體角。精品.因此：de1141cos1d1同理，d s2 上的電荷在 o1 處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)也可以用同樣的方法求出。d s2 對(duì) o1 的立體角也是 d 1 。同理：de214

7、2cos2d1其中2是 ds2上的法線與r2之間的夾角，因?yàn)樵诮裹c(diǎn)上是對(duì)應(yīng)的電荷產(chǎn)生的場(chǎng)進(jìn)行抵消，所以d e1 = d e2 ，進(jìn)而得到1/ cos1 = 2cos2，這也就是說(shuō) c o s ,這就是橢球表面電荷分布的具體規(guī)律，依據(jù)以焦點(diǎn)為原點(diǎn)的橢圓方程： r=p1+cos( p是焦點(diǎn)參數(shù) , 是偏心率)可以求出 r 、處的cos ,為：cos=1+cos(1+2+2cos)12由次我們可以求出導(dǎo)體上任意兩點(diǎn) ( 即 1 和 2) 的表面電荷密度之比。如 :1) 在最平的一點(diǎn) b，cosb=-ca=-cosb=1-2根據(jù)以上討論得密度比為：ab=11-22）在橢圓最尖銳的一端 a ， a =

8、0 , c o s a = 13 ) 在a與b之間的其它的點(diǎn)，其中cos值是介于1-2與1之間的，我們假設(shè)橢球長(zhǎng)軸逐漸變長(zhǎng)，當(dāng)很接近于 1 時(shí)，焦點(diǎn) o1 、 o2 逐漸到達(dá)橢球兩端，橢球上很大一部分面積的2，因而cos 0 ，所以電荷集中分布在橢球兩長(zhǎng)軸末尾的尖端這一很小的區(qū)域內(nèi)，長(zhǎng)橢球中間部位多地方的電荷分布幾乎為零。首先對(duì)導(dǎo)體表面面電荷率和表面曲率的關(guān)系進(jìn)行定性分析，如圖1、我們可以簡(jiǎn)單的知道，表面曲率小的地方，角大，cos值??；表面曲率大的地方，角小，cos值大。所以可知曲率大的地方的電荷密度大于曲率小的地方的電荷密度，這個(gè)說(shuō)法是正確的，但應(yīng)該想到，這并不是一個(gè)一般的結(jié)論，我們可以來(lái)進(jìn)

9、行下面的分析。精品.由數(shù)學(xué)學(xué)過(guò)的知識(shí)可知平面曲線的曲率為：k=ddl=cos drd其中dl是曲線（該題目中即為橢圓）上的一段弧長(zhǎng)，通過(guò)計(jì)算可得，k與cos的關(guān)系并部確定，影響它的因素有多個(gè)，所以電荷密度與k也不是一一對(duì)的的，與曲率并不成簡(jiǎn)單的正比關(guān)系，可推測(cè)它們二者之間的關(guān)系是一個(gè)很復(fù)雜的函數(shù)。通過(guò)這樣分析，就可以得到結(jié)論，用細(xì)導(dǎo)線連接兩個(gè)導(dǎo)體球面而得到的可以看成一個(gè)孤立導(dǎo)體的模型中，電荷密度與曲率 k 成正比的結(jié)論并不一定。進(jìn)一步分析，任意一個(gè)曲面上某一點(diǎn)有兩個(gè)曲率值。比如旋轉(zhuǎn)橢球上短軸上的 b 點(diǎn)，在橢球旋轉(zhuǎn)方向上有一個(gè)曲率，在橢圓形的平面上還有一個(gè)曲率，我們的“電荷密度與半徑成反比，即

10、與曲率成正比”這句話(huà)到底是指旋轉(zhuǎn)方向的曲率還是表面曲率？當(dāng)出現(xiàn)一個(gè)方向的曲率很小，另一個(gè)方向的曲率又很大的情況時(shí)，電荷又將怎么分布呢？圖2 旋轉(zhuǎn)橢球面電荷分布 圖3 旋轉(zhuǎn)橢球面電荷分布精品.二、導(dǎo)體表面的電場(chǎng)1電場(chǎng)分布的描述 圖4 等勢(shì)面現(xiàn)在孤立導(dǎo)體外部空間電場(chǎng)中，取一等勢(shì)面元s，s面上的兩個(gè)主曲率半徑分別為1和2，再沿著s面的法線方向外移一段線元dz，即得到另一個(gè)等勢(shì)面的面元 （s+ds），如圖4 所示：由于兩層面元之間不存在電荷，可由高斯定理得：d ( es) = 0 ，所以 ed s + s d e = 0 整理得：dee= -dss.(1)由此可見(jiàn)導(dǎo)體表面場(chǎng)強(qiáng)大小與此處面積的相對(duì)變化率

11、變化方向相反，但絕對(duì)值相等，隨著z值的逐漸變大，dee0，離導(dǎo)體表面越遠(yuǎn)的地方，場(chǎng)強(qiáng)越小。如圖由幾何關(guān)系可知：s =1 d22 d2s+ds=(1+dz)d1（2+dz）.(2)精品.聯(lián)立兩式并把高階無(wú)窮小項(xiàng)略去，得到：ds=(1+2)dzd1d2.(3)同除以s得：dss=1+212dz=(11+12)dz2dz.(4)聯(lián)立 ( 1) ( 4) 式得：dee=-2dz 或dee=-2e.(5)可知，電場(chǎng)在此處的相對(duì)變化率與該處等勢(shì)面的曲率半徑成反比。當(dāng)導(dǎo)體表面為平面時(shí)，則dedz0；在凹面外，0，即沿 z 方向 , e 越來(lái)越大，場(chǎng)強(qiáng)增大，凹面處的 e 最小。在凸面外， 0，dedz0。設(shè)點(diǎn)

12、a 處場(chǎng)強(qiáng)為ea，凸處尖端0 點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)為eo，則有：0adee=0z-2ddzdzz;lnea-lne0=-2ddzlnzz=-要使上式等號(hào)成立，其中 e a的值有限，則e0，可得0，這樣的話(huà)在此處可出現(xiàn)尖端放電這種現(xiàn)象。導(dǎo)體尖端附近電荷面密度與r-1+v是成正比，這里r表示導(dǎo)體表面上的任意一點(diǎn)到尖端的距離， v 是一個(gè)與錐角有關(guān)的變量，如圖 4?，F(xiàn)假設(shè) = 10 時(shí)， v 0.2 ； = 1 時(shí)，v = 0 . 1 。以此類(lèi)推，我們可得到，當(dāng)導(dǎo)體尖端錐角很小時(shí)， v 0，1r，這時(shí)，電荷面密度與曲率成反比，因?yàn)楫?dāng) r 足夠小時(shí)，任何尖端都趨于圓弧，所以以上公式不能用于離尖頂太近的地方，理論上說(shuō)

13、，r = 0 處，這實(shí)際上是不可能的。由此可知，電荷面密度和表面曲率的并不是成正比這種簡(jiǎn)單的關(guān)系。精品.3凹端處的場(chǎng)強(qiáng)如圖 6 所示，設(shè)dee=-2ddzdzz，因?yàn)榍拾霃绞秦?fù)的，而凹處外部逐漸增大，所以其變化率ddz仍小于零，即ddz0，所以有：lnea-lne0=-2ddzlnzz=-。要使等式成立，其中可知ea為有限值，所以 e 0=e-一定是 0，即凹處0 = 0，因此，場(chǎng)強(qiáng)最小?，F(xiàn)看一個(gè)比較復(fù)雜形狀的導(dǎo)體，進(jìn)行進(jìn)一步考察，例如圖 5 的“元寶”導(dǎo)體，顯然在凹陷的區(qū)域有些地方的曲率很大，但是電荷密度不會(huì)很大。 圖5 圖6三、結(jié)論從以上論述中，可得:電荷在導(dǎo)體上的分布是非常不均，難以測(cè)

14、量的，由以上論證也只可得到電荷密度與表面曲率有著正相關(guān)的定性關(guān)系，但是還不能證明電荷密度的大小由各處表面曲率決定。精品. 參考文獻(xiàn)1 黃瑩. 電磁學(xué)原理在科學(xué)技術(shù)中的應(yīng)用m . 北京:兵器工業(yè)出版社,1998. 516.2 敬仕超. 物理學(xué)導(dǎo)論m . 成都:成都科技大學(xué)出版社,1995. 216246.3 張之翔. 帶電導(dǎo)體橢球的電勢(shì)和電荷分布j . 大學(xué)物理,2008 ,27 (1) :11213.4 斯米爾諾夫. 高等數(shù)學(xué)教程:第二卷,第二分冊(cè)m . 孫念增,譯. 北京:高等教育社,1956 :202 ,19822045 陳斌,李有泉,沙健,等. 介觀電路中電荷的量子效應(yīng)j . 物理學(xué)報(bào),

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16、distribution of the electric charge , we make a qualitative calculation and analysis of the distribution of electric charge and power field of the isolated electric conductors concavo-convex pointed surface.according to the peculiarities of the perpendicular of equipotential surface and the electric

17、 field of the electric conductor,we can conclude the quantitative determination bears of the electric charge and power field of conductors pointed surface and have a discussion.to isolated electric conductor,electric charge has the flowing conclusion of its distribution law:the quantity of the elect

18、ric charge has relation with its surface curvature ,the curvature of the conductor精品.s concavo-convex pointed surface is relatively bigger,the surface electric charge densityis bigger;the surface more mild,the curvature smaller,the electric densitysmaller;the sunken surface curvature is less than zero,is the smallest.this thesis will analysis that the law of the distribution of electric charge densit