高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.5平面向量應(yīng)用舉例第1課時教學(xué)設(shè)計新人教A版必修4

1、2.5 平面向量應(yīng)用舉例（第1課時）2.5.1 平面幾何中的向量方法一、教學(xué)分析1.本節(jié)的目的是讓學(xué)生加深對向量的認識,更好地體會向量這個工具的優(yōu)越性.對于向量方法,就思路而言,幾何中的向量方法完全與幾何中的代數(shù)方法一致,不同的只是用“向量和向量運算”來代替“數(shù)和數(shù)的運算”.這就是把點、線、面等幾何要素直接歸結(jié)為向量,對這些向量借助于它們之間的運算進行討論,然后把這些計算結(jié)果翻譯成關(guān)于點、線、面的相應(yīng)結(jié)果.代數(shù)方法的流程圖可以簡單地表述為:則向量方法的流程圖可以簡單地表述為:這就是本節(jié)給出的用向量方法解決幾何問題的“三步曲”,也是本節(jié)的重點.2.研究幾何可以采取不同的方法,這些方法包括:綜合方

2、法不使用其他工具,對幾何元素及其關(guān)系直接進行討論;解析方法以數(shù)(代數(shù)式)和數(shù)(代數(shù)式)的運算為工具,對幾何元素及其關(guān)系進行討論;向量方法以向量和向量的運算為工具,對幾何元素及其關(guān)系進行討論;分析方法以微積分為工具,對幾何元素及其關(guān)系進行討論,等等.前三種方法都是中學(xué)數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的內(nèi)容.有些平面幾何問題,利用向量方法求解比較容易.使用向量方法要點在于用向量表示線段或點,根據(jù)點與線之間的關(guān)系,建立向量等式,再根據(jù)向量的線性相關(guān)與無關(guān)的性質(zhì),得出向量的系數(shù)應(yīng)滿足的方程組,求出方程組的解,從而解決問題.使用向量方法時,要注意向量起點的選取,選取得當可使計算過程大大簡化.二、教學(xué)目標1知識與技能通過平行四

3、邊形這個幾何模型,歸納總結(jié)出用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”.2過程與方法明了平面幾何圖形中的有關(guān)性質(zhì),如平移、全等、相似、長度、夾角等可以由向量的線性運算及數(shù)量積表示.3情感態(tài)度與價值觀通過本節(jié)學(xué)習(xí),讓學(xué)生深刻理解向量在處理有關(guān)平面幾何問題中的優(yōu)越性,活躍學(xué)生的思維,發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,并體會向量在幾何和現(xiàn)實生活中的意義.教學(xué)中要求盡量引導(dǎo)學(xué)生使用信息技術(shù)這個現(xiàn)代化手段.三、重點難點教學(xué)重點:用向量方法解決實際問題的基本方法;向量法解決幾何問題的“三步曲”.教學(xué)難點:如何將幾何等實際問題化歸為向量問題.四、教學(xué)設(shè)想（一）導(dǎo)入新課思路1.(直接導(dǎo)入)向量的概念和運算

4、都有著明確的物理背景和幾何背景,當向量和平面坐標系結(jié)合后,向量的運算就完全可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算.這就為我們解決物理問題和幾何研究帶來了極大的方便.本節(jié)專門研究平面幾何中的向量方法.思路2.(情境導(dǎo)入)由于向量的線性運算和數(shù)量積運算具有鮮明的幾何背景,平面幾何圖形的許多性質(zhì),如平移、全等、相似、長度、夾角等都可以由向量的線性運算及數(shù)量積表示出來,因此,可用向量方法解決平面幾何中的一些問題.下面通過幾個具體實例,說明向量方法在平面幾何中的運用.（二）推進新課、新知探究、提出問題圖1平行四邊形是表示向量加法和減法的幾何模型,如圖1,你能觀察、發(fā)現(xiàn)并猜想出平行四邊形對角線的長度與兩鄰邊長度之間有什么關(guān)系

5、嗎？你能利用所學(xué)知識證明你的猜想嗎？能利用所學(xué)的向量方法證明嗎？試一試可用哪些方法?你能總結(jié)一下利用平面向量解決平面幾何問題的基本思路嗎？活動:教師引導(dǎo)學(xué)生猜想平行四邊形對角線的長度與兩鄰邊長度之間有什么關(guān)系.利用類比的思想方法,猜想平行四邊形有沒有相似關(guān)系.指導(dǎo)學(xué)生猜想出結(jié)論:平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和.教師引導(dǎo)學(xué)生探究證明方法,并點撥學(xué)生對各種方法分析比較,平行四邊形是學(xué)生熟悉的重要的幾何圖形,在平面幾何的學(xué)習(xí)中,學(xué)生得到了它的許多性質(zhì),有些性質(zhì)的得出比較麻煩,有些性質(zhì)的得出比較簡單.讓學(xué)生體會研究幾何可以采取不同的方法,這些方法包括綜合方法、解析方法、向量方法.圖2證

6、明:方法一:如圖2.作CEAB于E,DFAB于F,則RtADFRtBCE.AD=BC,AF=BE.由于ACAE2+CE2=(AB+BE)2+CE2=AB2+2ABBE+BE2+CE2=AB2+2ABBE+BC2.BD2=BF2+DF2=(AB-AF)2+DF2=AB2-2ABAF+AF2+DF2=AB2-2ABAF+AD2=AB2-2ABBE+BC2.AC2+BD2=2(AB2+BC2).圖3方法二:如圖3.以AB所在直線為x軸,A為坐標原點建立直角坐標系.設(shè)B(a,0),D(b,c),則C(a+b,c).|AC|2=(a+b)2+c2=a2+2ab+b2+c2,|BD|2=(a-b)2+(-

7、c)2=a2-2ab+b2+c2.|AC|2+|BD|2=2a2+2(b2+c2)= 2(|AB|2+|AD|2).用向量方法推導(dǎo)了平行四邊形的兩條對角線與兩條鄰邊之間的關(guān)系.在用向量方法解決涉及長度、夾角的問題時,常?？紤]用向量的數(shù)量積.通過以下推導(dǎo)學(xué)生可以發(fā)現(xiàn),由于向量能夠運算,因此它在解決某些幾何問題時具有優(yōu)越性,它把一個思辨過程變成了一個算法過程,學(xué)生可按一定的程序進行運算操作,從而降低了思考問題的難度,同時也為計算機技術(shù)的運用提供了方便.教學(xué)時應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生體會向量帶來的優(yōu)越性.因為平行四邊形對角線平行且相等,考慮到向量關(guān)系=-,=+,教師可點撥學(xué)生設(shè)=a,=b,其他線段對應(yīng)向量用它們表

8、示,涉及長度問題常?？紤]向量的數(shù)量積,為此,我們計算|2與|2.因此有了方法三.方法三:設(shè)=a,=b,則=a+b,=a-b,|2=|a|2,|2=|b|2.|2=(a+b)(a+b)=aa+ab+ba+bb=|a|2+2ab+|b|2. 同理|2=|a|2-2ab+|b|2. 觀察兩式的特點,我們發(fā)現(xiàn),+得|2+|2=2(|a|2+|b|2)=2(|2+|2),即平行四邊形兩條對角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍.至此,為解決重點問題所作的鋪墊已經(jīng)完成,向前發(fā)展可以說水到渠成.教師充分讓學(xué)生對以上各種方法進行分析比較,討論認清向量方法的優(yōu)越性,適時引導(dǎo)學(xué)生歸納用向量方法處理平面幾何問題的一般

9、步驟.由于平面幾何經(jīng)常涉及距離(線段長度)、夾角問題,而平面向量的運算,特別是數(shù)量積主要涉及向量的模以及向量之間的夾角,因此我們可以用向量方法解決部分幾何問題.解決幾何問題時,先用向量表示相應(yīng)的點、線段、夾角等幾何元素.然后通過向量的運算,特別是數(shù)量積來研究點、線段等元素之間的關(guān)系.最后再把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系,得到幾何問題的結(jié)論.這就是用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”,即(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題;(2)通過向量運算,研究幾何元素之間的關(guān)系,如距離、夾角等問題;(3)把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.討論結(jié)果:能.能想

10、出至少三種證明方法.略.（三）應(yīng)用示例圖4例1 如圖4, ABCD中,點E、F分別是AD、DC邊的中點,BE、BF分別與AC交于R、T兩點,你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的關(guān)系嗎?活動:為了培養(yǎng)學(xué)生的觀察、發(fā)現(xiàn)、猜想能力,讓學(xué)生能動態(tài)地發(fā)現(xiàn)圖形中AR、RT、TC之間的相等關(guān)系,教學(xué)中可以充分利用多媒體,作出上述圖形,測量AR、RT、TC的長度,讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)AR=RT=TC,拖動平行四邊形的頂點,動態(tài)觀察發(fā)現(xiàn),AR=RT=TC這個規(guī)律不變,因此猜想AR=RT=TC.事實上,由于R、T是對角線AC上的兩點,要判斷AR、RT、TC之間的關(guān)系,只需分別判斷AR、RT、TC與AC的關(guān)系即可.又因為AR、RT

11、、TC、AC共線,所以只需判斷與之間的關(guān)系即可.探究過程對照用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”很容易地可得到結(jié)論.第一步,建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用向量表示問題中的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題;第二步,通過向量運算,研究幾何元素之間的關(guān)系;第三步,把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系:AR=RT=TC.解:如圖4,設(shè)=a,=b,=r,=t,則=a+b.由于與共線,所以我們設(shè)r=n(a+b),nR.又因為=-=a-b,與共線,所以我們設(shè)=m=m(a-b).因為,所以r=b+m(a-b).因此n(a+b)=b+m(a-b),即(n-m)a+(n+)b=0.由于向量a、b不共線,要使上式為0

12、,必須解得n=m=.所以=,同理=.于是=.所以AR=RT=TC.點評:教材中本例重在說明是如何利用向量的辦法找出這個相等關(guān)系的,因此在書寫時可簡化一些程序.指導(dǎo)學(xué)生在今后的訓(xùn)練中,不必列出三個步驟.變式訓(xùn)練圖5如圖5,AD、BE、CF是ABC的三條高.求證:AD、BE、CF相交于一點.證明:設(shè)BE、CF相交于H,并設(shè)=b,=c,=h,則=h-b,=h-c,=c-b.因為,所以(h-b)c=0,(h-c)b=0,即(h-b)c=(h-c)b.化簡得h(c-b)=0.所以.所以AH與AD共線,即AD、BE、CF相交于一點H.圖6例2 如圖6,已知在等腰ABC中,BB、CC是兩腰上的中線,且BBC

13、C,求頂角A的余弦值.活動:教師可引導(dǎo)學(xué)生思考探究,上例利用向量的幾何法簡捷地解決了平面幾何問題.可否利用向量的坐標運算呢？這需要建立平面直角坐標系,找出所需點的坐標.如果能比較方便地建立起平面直角坐標系,如本例中圖形,很方便建立平面直角坐標系,且圖形中的各個點的坐標也容易寫出,是否利用向量的坐標運算能更快捷地解決問題呢？教師引導(dǎo)學(xué)生建系、找點的坐標,然后讓學(xué)生獨立完成.解:建立如圖6所示的平面直角坐標系,取A(0,a),C(c,0),則B(-c,0),=(0,a),=(c,a),=(c,0),=(2c,0).因為BB、CC都是中線,所以=(+)=(2c,0)+(c,a)=(),同理=().因

14、為BBCC,所以=0,a2=9c2.所以cosA=.點評:比較是最好的學(xué)習(xí)方法.本例利用的方法與例題1有所不同,但其本質(zhì)是一致的,教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生仔細體會這一點,比較兩例的異同,找出其內(nèi)在的聯(lián)系,以達融會貫通,靈活運用之功效.變式訓(xùn)練圖7 如圖7,在RtABC中,已知BC=a.若長為2a的線段PQ以點A為中點,問:的夾角取何值時,的值最大?并求出這個最大值.解:方法一,如圖7.,=0.,=-a2-+=-a2+(-)=-a2+=-a2+a2cos.故當cos=1,即=0,與的方向相同時,最大,其最大值為0.圖8方法二:如圖8.以直角頂點A為坐標原點,兩直角邊所在的直線為坐標軸,建立如圖所示的平面直

15、角坐標系.設(shè)|AB|=c,|AC|=b,則A(0,0),B(c,0),C(0,b),且|PQ|=2a,|BC|=a.設(shè)點P的坐標為(x,y),則Q(-x,-y).=(x-c,y),=(-x,-y-b),=(-c,b),=(-2x,-2y).=(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x2+y2)+cx-by.cos=cx-by=a2cos.=-a2+a2cos.故當cos=1,即=0,與的方向相同時, 最大,其最大值為0.（四）知能訓(xùn)練圖91.如圖9,已知AC為O的一條直徑,ABC是圓周角.求證:ABC=90.證明:如圖9.設(shè)=a,=b,則=a+b,=a,=a-b,|a|=|b|.因為=(a+b

16、)(a-b)=|a|2-|b|2=0,所以.由此,得ABC=90.點評:充分利用圓的特性,設(shè)出向量.2.D、E、F分別是ABC的三條邊AB、BC、CA上的動點,且它們在初始時刻分別從A、B、C出發(fā),各以一定速度沿各邊向B、C、A移動.當t=1時,分別到達B、C、A.求證:在0t1的任一時刻t1,DEF的重心不變.圖10證明:如圖10.建立如圖所示的平面直角坐標系,設(shè)A、B、C坐標分別為(0,0),(a,0),(m,n).在任一時刻t1(0,1),因速度一定,其距離之比等于時間之比,有=,由定比分點的坐標公式可得D、E、F的坐標分別為(at1,0),(a+(m-a)t1,nt1),(m-mt1,n-nt1).由重心坐標公式可得DEF的重心坐標為().當t=0或t=1時,ABC的重心也