平面向量的綜合應(yīng)用教學(xué)講義

1、2.若直線I的方程為Ax+ By + C= 0,貝U向量(A, B)與直線I垂直，向量(-B, A)與直線I平平面向量的綜合應(yīng)用教學(xué)講義5知識梳理9雙基自測)ZHI SHI SHU LI知識梳理1. 向量在平面幾何中的應(yīng)用（1）用向量解決常見平面幾何問題的技巧:問題類型所用知識公式表示線平行、點共線等問題共線向量定理a / b? a =?b? xiy2 X2yi，其中 a = (xi,yi), b =(X2, y2), bz 0垂直冋題數(shù)量積的運算性質(zhì)a丄 b? a b = 0? X1X2+ y1y2= 0,其中 a= (X1, y1), b = (X2, y2)，且 a, b 為非零向量夾角

2、問題數(shù)量積的定義a bcos 0= 麗（B為向量a, b的夾角），其中a, b為非零向量長度問題數(shù)量積的定義lal=V?=Qx2 + y2,其中 a= (x, y), a 為非零向量用向量方法解決平面幾何問題的步驟：平面幾何問題一設(shè)皂向量問題一運算解決向量問題一還邑解決幾何問題.2. 向量在解析幾何中的應(yīng)用向量在解析幾何中的應(yīng)用， 是以解析幾何中的坐標為背景的一種向量描述. 它主要強調(diào)向量 的坐標問題，進而利用直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的相關(guān)知識來解答，坐標的運算是考查的主體.3. 向量與相關(guān)知識的交匯平面向量作為一種工具，常與函數(shù) （三角函數(shù)）、解析幾何結(jié)合，常通過向量的線性運算與數(shù) 量積，向

3、量的共線與垂直求解相關(guān)問題.ZHONG YAO JIE LUN重要結(jié)論1. 若G是厶ABC的重心，則GA + GB+ GC = 0.行.SHUANG JI ZI CE .雙基自測)11.(文)(2018河南八市測評)設(shè)向量a= (cos 0, 2), b = ( 1, sin 0)，若a丄b,貝U tan B=4 (理)(2018 河南八市測評)設(shè)向量 a = (cos 0 2), b= ( 1, sin 0),若 a丄b,貝U sin2 0=丁.解析(文)=(cos 0 2) , b= ( 1, sin 0),且 a丄b.1a 卡cos 0+ 2sin 0= 0, /-tan 0= 2 (理

4、)va = (cos 0, 2) , b= ( 1 , sin 0)，且 a丄b. = cos 0+ 2sin 0= 0, /.tan 0= |./sin2 0=2sin 9cos 0sin2 0+ cos2 02tan 0tan2 0+ 145.2. (2018 東茂名聯(lián)考)如圖，正六邊形 ABCDEF的邊長為2,則AC BD =(A. 2C. 6B. 3D. 12 _ -解析ACBD = (AB+BC)AD AB)= (AB+ BC) BC AB)= 2|BC|2+BC AB |AB|2= 8 +2X 2 X 扌4= 6.1 1 3. (2018吉林長春一模)已知在正方形 ABCD中，AE

5、= ?AB, AF = ：AD,則CE在CF方向上的225投影為(A )A. 4C. 2 .5CF 二(-4,CL解析設(shè)正方形ABCD的邊長為4,建立如圖所示的平面直角坐標系,則由已知可得 C(4,4)，E(2,0)，F(xiàn)(0,1)，所以 CE= (-2, - 4),-3），則CE在Cf方向上的投影為 4,故選A .|cF| 54. 平面四邊形 ABCD 中，AB + CD = 0, （Ab- AD） ac= o,則四邊形 abcd 是（C ）A .矩形B .正方形C.菱形D .梯形解析因為AB+ CD = 0,所以AB =- CD = DC,所以四邊形 ABCD是平行四邊形又（AB-AD） A

6、C= DB AC = 0,所以四邊形對角線互相垂直，所以四邊形ABCD是菱形.謝互動探究EJlO CIJklM T1J 陽 HL! bOMG IAM J MJ考點1向量與平面幾何一一師生共研例1（文）（2018天津，8）在如圖的平面圖形中， 已知0M = 1,0N = 2，/ MON = 120 BM = 2IMA, CN = 2NA,貝U BC 0M 的值為(D )A. - 15C.- 6D . 0（理）（2018天津，8）如圖，在平面四邊形 ABCD中，AB丄BC, AD丄CD，/ BAD = 120 AB 解法一：連接 OA. -/BC = AC-AB = 3AN- 3AM = 3(ON

7、 OA)-3(OM OA) = 3(ON OM),AC.2516 BC OM = 3(ON- OM) OM = 3(ON OM - |OM|2)= 3 X (2 X 1 X cos120 - 12)= 3 X (- 2)=- 6.解法二：在 ABC中，不妨設(shè)/ A= 90 取特殊情況 ON丄AC,以A為坐標原點，AB, AC所MON = 120 ； ON = 2, OM在直線分別為x軸，y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，因為/=1，所以 O(2, 23), C(0, 零),M(5, 0), B(l|, 0).2，1(-故BC OM =(-芋(理)本題主要考查數(shù)量積的綜合應(yīng)用.解法一：如圖，以

8、D為原點，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，則 A(1,0), B(|, 23), C(0 ,打)，令 E(0 , t) , t 0 , ；3,t t33233AEBE= (- 1, t) -2, t-I)2-虧t + 2,0 ,3,32x3t t當t =- 2 X 1 = 時，AE BE取得最小值，VAE = AD + DC ,/BE = BA+ Ae = BA+ AD + 入DC 又 AD DC = 0, AE BE= (AD + 入 DQ BA+ AD + 入 DC=AD BA + |AD|2+ 入TDCA+ f|DC|232 1 21 , 當 273=4時，a

9、e be取得最小值 花故選a .方法總結(jié)向量的最值問題常用數(shù)形結(jié)合的方法和函數(shù)的思想方法求解，建立函數(shù)關(guān)系時, 可用平面向量基本定理，也可利用向量的坐標運算.名師點撥 ？平面幾何問題的向量解法（1）坐標法：把幾何圖形放在適當?shù)淖鴺讼抵?，就賦予了有關(guān)點與向量具體的坐標，這樣就能進行相應(yīng)的代數(shù)運算和向量運算，從而使問題得到解決.（2）基向量法：適當選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系， 利用向量共線構(gòu)造關(guān)于設(shè)定未知量 的方程來進行求解.變式訓(xùn)練1（文）（2018四川宜賓期中）已知 ABC中AC= 4, AB = 2,若GABC的重心，貝U AG BC=（C ）A. 8C. 4CE = yCA, x0,

10、（理）（2018安徽皖南八校聯(lián)考）在邊長為1的正三角形 ABC中，BD = xBA, y0,且x+ y= 1,則CD BE的最大值為（B ）解析（文）解法一：連AG并延長交BC于D，貝U D為CB的中點.2- 2 1 - -由 G 為ABC 的重心知 AG = 3AD = 3(AC+ AB),又BC = AC AB,.AG BC= (AC+ AB) A( AB) = 3(|AC|2 - |AB|2)= 4，故選 C.解法二：(特殊化)不妨設(shè)AC丄AB,如圖建立平面直角坐標系, 由題意知AD = (1,2),2 4又 G 為ABC 的重心， AG = (3, 3)，- -24又 BC = ( 2

11、,4),.AG BC = 2 X 3 + 4 X 4,故選 C.(理)由題意可知 Cd = AD AC = (1 x)AB AC,BE = AE AB = (1 y)AC AB,又 x+ y= 1, 1 BE = AB + xAC,又 |AB|= |AC|= 1, AB AC = ?,CD BE= (1 x)AB AC AB + xAC)x2+ x 123-8(當且僅當x = 2時取等號)故選B .x22考點2平面向量與三角函數(shù) 一一師生共研L例 2 已知向量 a = (2cosx, sin2x), b = (2sinx, m).(1) 若m= 4，求函數(shù)f(x) = a 的單調(diào)遞減區(qū)間；若向

12、量a, b滿足a b= (2, 0), x (0, 2)，求實數(shù)m的值.n分析由向量數(shù)量積公式求出f(x),將其化為Asin(3X+O)+ B的形式，由空+ 2kn3x+3 n皆+ 2knk Z)求減區(qū)間；(2) 由向量坐標減法，求出a b的坐標求解.解析 Ta= (2cosx, sin2x), b = (2sinx,4),2/f(x) = a 卡 4sinxcosx+ 4sin2x=2si n2 x 2cos2x + 2=2 ,2sin(2x-+ 2.nn 3 n由2 + 2kn 2x 4W + 2kn, k Z,3 n7 n得8 + knW x + kn, k Z ,3 n7 n函數(shù)f(x

13、)的單調(diào)遞減區(qū)間為8 + kn 8 + kn Z)； m= si n2x ,由題意知 a b= (2cosx 2sinx ,sin2x m)= (f , 0) -cosx1sinx= 522| |兒又(cosx+ sinx) + (cosx sinx) = 2 且 x (0 , 刁,cosx+ si nx= 739由可得 sinx= 5,.m =云.名師點撥 ？向量與三角函數(shù)綜合題的解法解決平面向量與三角函數(shù)的交匯問題的關(guān)鍵：準確利用向量的坐標運算化簡已知條件，將其 轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的問題解決.變式訓(xùn)練2(2018 山東淄博實驗中學(xué)診斷)已知向量m = (cos|, 1), n= 3sin|,

14、cos2?,函數(shù)f(x)=mn 1.(1) 若x n, n,求f(x)的最小值及對應(yīng)的 x的值;n11(2) 若 x 0 , 2, f(x) = 10,求 sinx 的值.解析(1)f(x) = 3s in 2cos2 - cos% + 131 + cosx311= 2 sinx2+ 1 = 2 sinx 2cosx+ 2=sin (x n + 2,.X 6= 6 n, 即 x= n 時，f(x)min = 1.11加n111(2)f(x)=而即 sin(x 6)+ 2= 10，得 sin(x=3，nn nn 4g xw 2，. 6= x 6= 3 cos(x 6)= 5,n nnsi nx=

15、 si n(x舌+ 占)=si n(x 舌)3n 1 + cos(x & 23、，34、，13 3+ 452 + 5210-考點3平面向量與解三角形 師生共研例3已知角A, B, C是厶ABC的內(nèi)角，a, b, c分別是其所對邊長，A AAsin, cos2，)，n = (cos, 2)，且 m丄n.(1)求角A的大小；若a = 2, cosB = 亍，求b的長.f- AA A廠解析(1)已知 m丄 n,所以 mn = (23sin, cos：) (cgs 2) = V3sinA向量m= (2 . 3(cosA+ 1) = 0,即 3sinA cosA= 1，即 sin(An 16)=2.因為

16、 oa n 所以一nAn5n.所以an= n所以a=n解法一：由余弦定理，得b2= a2+ c2 2accosB.在ABC中,A =扌，a= 2,cosB=sinB =1 - cos2B=1-由正弦定理知a b sinA si nB，所以b= ai nB sinA4 t23名師點撥 ？本例的第(1)小題，利用向量垂直的充要條件將問題轉(zhuǎn)化為三角方程，使問題獲得解決.第(2)小題，利用同角間三角函數(shù)關(guān)系式求出sinB，再利用正弦定理求出邊b，本題主要考查了向量與三角函數(shù)的綜合問題.變式訓(xùn)練3n在厶 ABC 中，a，b，c分別是角 A，B，C 的對邊，向量 m = (2sinB,2-cos2B)，n

17、 = (2sin24B+ 2)，- 1)，且 口丄n.(1) 求角B的大??；若a= . 3，b = 1，求c的值.解析(1) tm 丄 n，.m 尸 0，(2sinB) 2(寸+ B) + (2 cos2B) 1)= 0.n/2sinB cos(2 + B) + cos2B 2 = 0.2s inB + 2si n2B+ (1 2si n2B) 2= 0.1/si nB = 2n ,、5 n.0B1 = b，/B = g.c2 3c+ 2 = 0,.c= 1 或 c= 2.解法二：由正弦定理，得b asinB = sinA1 =11 sinA， sinA =J 2 n0A -2 (AB+ AC

18、)=AM(其中M為BC的中點), |AD|AD|即AP與AM共線，動點P的軌跡一定過 ABC的重心，選名師點撥 ？三角形各心的概念介紹（1）重心：三角形的三條中線的交點；0是厶ABC的重心？ 0A + OB + OC= 0 ；（3）外心：三角形的三條邊的垂直平分線的交點（三角形外接圓的圓心）.O 是厶 ABC 的外心？ |OA|= |OB|= |OC|（或OA2= Ob2= OC2）；（4）內(nèi)心：三角形的三個內(nèi)角角平分線的交點（三角形內(nèi)切圓的圓心）;O是厶ABC的內(nèi)心？OA （- AC）= OB （A-魚）=OC （-墮）=0.|AB| |AC|BA| |BC|CA| |CB|注意:向量譜+|

19、AB|）（入工0）所在直線過 ABC的內(nèi)心（是/ BAC的角平分線所在直線例5（2018駐馬店質(zhì)檢）若O ABC所在平面內(nèi)任一點，且滿足(OB-OC)OB+ OC 2OA） = 0,則厶ABC的形狀為（C ）A 正三角形B 直角三角形C.等腰三角形D .等腰直角三角形分析通過向量運算從算式中消掉O.解析 由題意知 Cb （AB + AC） = 0所以（AB AC） （ + AC）= 0，即 |AB|= |AC|,所以 ABC是等腰三角形，故選C.引申(1)若條件改為“ |OBOC|= |OB+ OC 2OA|”結(jié)果如何?若條件改為“ Ab2= Ab ac + BABC+ ca cb”結(jié)果如何？

20、解析（1）O）B+ OC 20A= OB-OA + OC- OA= AB + AC, OB OC = CB= AB AC, /.|AB+ AC|= |AB - AC|? |AB + AC|2= |AB- AC|2? AB AC= 0,二三角形為直角三角形，故選 B. tAbl Ab Ac + BA bc+ CA Cb ,/.Ab（ab-ac）= bc（BA - CA）,- oAB CB= BC2,BC（bC+ Ab）= o，即 bc Ac=0ff卄nBC丄AC,即卩 C = 2.公BC為直角三角形，故選B .名師點撥 ？三角形形狀的判斷在厶ABC中，若|AB|=|aC|,則厶ABC為等腰三角形；若Ab AC = 0,則厶ABC為直角三 角形；若AB AC0, BA BC0，且CA AB0,則 abc為銳角三角形；若|Ab+ AC|= |Ab-Ac,則厶abc為直角