推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式

1、十二種點(diǎn)到直線距離公式證明方法用高中數(shù)學(xué)知識推導(dǎo) 點(diǎn)到直線的距離公式 的方法.已知點(diǎn)P（Xo, Yo直線I: Ax+By+C=0 （A、B均不為0）,求點(diǎn)P到直線I的距離。（因?yàn)樘厥庵本€很容易求距離，這里只討論一般直線）1.用定義法推導(dǎo)點(diǎn)P到直線I的距離是點(diǎn)P到直線I的垂線段的長，設(shè)點(diǎn) P到直線I的垂線為垂足為 Q,由I垂直I可知I的斜率為B/A1iYP、 b1 7;二F的萬程儀-唧寫F聯(lián)立解得交點(diǎn)0 I衛(wèi)図弟醬笆.Avo-ABBC)|PQJ=(戲嗤驚叢& FcJt/ A 筑一AB冷 BC=jAJxp ABvnAC Jpr 曲 從 B，r AlA也十 By0CB |AXc+ByQ+CF2，用設(shè)

2、而不求法推導(dǎo)過巨知點(diǎn)F&%）作已和直線血 Ax + By+C=O的垂線.沒垂足為Olx,Yh 則1V血_A),-1X-和 B ,化聞潯Ax+By+C-0Ax-*x()J+BlyAxo+Byg+C由上式絢：(A+(y-yJ7)(Ax*+Bv04CP 二d=QF匚棉J氣爭吁|vW衛(wèi)3,用目標(biāo)函數(shù)法推導(dǎo)點(diǎn)P(Q到直線Z:Ax+By+C=O上任悪一點(diǎn)魁建褲的最小值就是隱P到宣線J的建離在f上甌任意點(diǎn)械匕沖)用兩點(diǎn)的超離公式有尸刨衍於訐皆$為了利用條畔Ax+BrCP,將上式變形一下，配對姻理海：(AffUte-xJfv-ydl=AJ X-Xc?4 B 的-yJMy-yJJ+B5 (ac+bd)2 ,當(dāng)且

3、僅當(dāng) ad=bc,即 a/c=b/d 時(shí)等號成立?！睂?shí)為柯西不等式的最簡形式，用它可以非常方便地推出點(diǎn)到直線的距離公式。設(shè)點(diǎn) M (右)75 Ax+By+C-0 上任意一點(diǎn)，圧憊點(diǎn)P(x0fy0)到直線/的 世罔為dr Rll t|PM| = VSxJly-yol7a HB羽Ph1f“A0B譏少帶* 4Bz Ax-A)k+ By- ByJt-Ax-ByC 廠用切氣B爭血，當(dāng)且(X當(dāng)艮時(shí)等兮啦.5 用解直角三角形法推導(dǎo)WZGPH= SKGPH =180-a,在 兩JP情況下都育 酋 GPH =爐i令崔-(. COS L GP H = * -：-2. -.-VT+tg5*d=|PH|=|PG|co

4、sZ GPU 網(wǎng)縱增必十LJJ5L輕回ML/A?+0rVA75設(shè)直線I的傾斜角為，-，過點(diǎn)P作PM / y軸交I于G(Xi , yi)，顯然X=x。，所以_ Axq+C6，用三角形面積公式推導(dǎo)期點(diǎn)間臣禺公式的推導(dǎo)辺桎使弔 降維思想捋造直角三角形受此啟示.當(dāng) A BO時(shí)過點(diǎn)POdM師臨條貢線力別 托平行于條直線分別交頁 ffi/tAx+Sy+C-o 于點(diǎn) M （-日譽(yù) 血 N飩廠答 ）,則|彌咋|如先嚴(yán)t |NP|=|y0+-C |. -.-MP 丄NF&- S Rt占們中由直曲*角形的面積公 式得：？ |MP卜|N鬥二一；山|尸-晦丄一V|PMp+iPRp_ lAXp+Byp+CIVA+B7

5、.用向量法推導(dǎo)Efi宜找 l 的方程 AxBy+C=O. (A, B 不能同時(shí)為Oh可轉(zhuǎn)育線f的迭向雖為A 展觀原円心曲乍亙線99垂線, 基足為H (xyL則冋SPFf-kn,即 (x*-XoV-yJ CA.BX Bt&I xsXo+AA. y-v=xa目|P彳匸“F二運(yùn)丫書?屮I ，又因?yàn)闆?HX ,yEES& ；上. 所朝就有;Ax 3 By+C =0.即 A(xkA)-MB (V0*XB)+C=0. X (Af+B= (Ax+Bya+C,又頁為 禹,B不同時(shí)為Oi(AxBynC)a2+b2 -/. | PIT |= Vfx.y-yJ5 7住帝=I 一| g鈿即如科|=曲+臉CL.8用向量

6、射影公式推導(dǎo)設(shè)R是匱軌上的任帝一民 設(shè)Rg W*盲紙的方同向屋為-肌Ah則肓線 的法向?yàn)?Pff=(Ar6lfPI?=(x-xFy-yJy空f 0亠 |AxllTB(y-yJ| 瑪|VA+tS7-=lfByj+CLVAr+B2點(diǎn)評:月矍是一種很好的工具用御 SflbS,既邂幵了分裘討論，丈體現(xiàn)了平 向向SffiTMS，金肓事乍功倍的效果日9.利用兩條平行直線間的距離處處相等推導(dǎo)如果過點(diǎn) P|Xa，Va）作 J：Ax+By+CsO 的平行線;加十By-Ax-ByO,那么冒線 r上妊意一點(diǎn)到【的匪罔都專于點(diǎn)f到旨 線/的瞪禺?dāng)豢梢匀位廴↑c(diǎn)，我們應(yīng) 設(shè)迭底這亍點(diǎn)到直戟I的距離容易求紹, 述取亙線r

7、與次軸的烝點(diǎn)g（暫也. O）fiS G世f的垂線連定為比設(shè)八與W 軸相交于點(diǎn)f（_a 容易求帰fg =加學(xué)角律與直純的恢斜角B相等或互補(bǔ)”二 tana* tanp= * r .|sinaj| 土含&屮斗礙卩|= -JAL-從而d=|GH|-|FG|沁|二| 曲埠ML | 回_ - A1 VA3+B510.從最簡單最特殊的引理出發(fā)推導(dǎo)si a :坐標(biāo)原點(diǎn)到有線； Ax+By+CO的險(xiǎn)禺 h.簡證:先鳩眾到HK00離IX特 棘情形入手，設(shè)B t與買陽H釉廿別交 于點(diǎn)EF則點(diǎn)E.F的坐標(biāo)分別惣-務(wù),由三角形面-OE -OF 鋁 h=LQ1.25毎曠由平存餌系求出過應(yīng)P時(shí),如旦與J 平廳旳豈線旳萬稈:

8、Ax +即-加廠2溝=4 設(shè)直線r和廣分劇與咒驪亜?dòng)邳c(diǎn)E.G.KIJ 點(diǎn)曰-q、gS譽(yù)如a由防F得 工二EG 二匹_仕止zP險(xiǎn)疋L丄h OE OE n |A|JCL， |C|- |AxD-By0+C|A| VAr+Bs 円 SK尊11 .通過平移坐標(biāo)系推導(dǎo)】5C黑點(diǎn)P%閑 是坐拆原點(diǎn)曲好了 為此我們師門也 d為原點(diǎn)津立育角 坐標(biāo)系處小A ft 坐新紬疋分別與坐尿逋5平行.設(shè)直線在新塑標(biāo)系中記 為設(shè)任歸G在獅舊坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分gUStx .yhU.yio iJffiO=t5ty +C7?,(xCxotVj+tXpVh /.x=xo*xy-yc+v. 石線l在新坐標(biāo)系中的75程屋:AX林卄3 2 +卄C=0 P 60 Ax，-FBy,Axc+Syo+C = OJ 點(diǎn)o*到直線r的距雋就是原p嶺記到 旨線r的祖離，由引理可得：g %rByE【12 , 由直線與圓的位置關(guān)系推導(dǎo)】當(dāng)以點(diǎn)PIXckVo)為圓 沁的圓與直線/： Ax+By+CstO 相切時(shí)，IE 的半徑就是點(diǎn)PUo,yJ到 直線 I: Ax-t-By+C=O 的距 罔，于是，問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)以點(diǎn)P(&,y