探索相似三角形相似的條件 知識講解(提高）

1、探索相似三角形相似的條件(提高)責編：常春芳【學習目標】1.相似三角形的概念.2.相似三角形的三個判定定理.3.黃金分割.4. 進一步探索相似三角形的判定及其應用，提高運用“類比”思想的自覺性，提高推理能力.【要點梳理】要點一、相似三角形的概念相似三角形：三個角分別相等，三邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形.要點詮釋： (1)書寫兩個三角形相似時，要注意對應點的位置要一致，即，則說明點a的對應點是a，點b的對應點是b，點c的對應點是c；(2)對于相似比，要注意順序和對應的問題，如果兩個三角形相似，那么第一個三角形的一邊和第二個三角形的對應邊的比叫做第一個三角形和第二個三角形的相似比.當相似比為

2、1時，兩個三角形全等.要點二、相似三角形的三個判定定理定理：兩角分別相等的兩個三角形相似. 兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似. 三邊成比例的兩個三角形相似.要點詮釋：（1）要判定兩個三角形是否相似，只需找到這兩個三角形的兩個對應角相等即可，對于直角三角形而言，若有一個銳角對應相等，那么這兩個三角形相似.（2）此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來判定兩個三角形相似，應用時必須注意這個角必需是兩邊的夾角，否則，判斷的結果可能是錯誤的.要點三、相似三角形的常見圖形及其變換：要點四、黃金分割1.定義： 一般地，點c把線段ab分成兩條線段ac和bc兩段,如果,那么線段ab被點c黃金分割，點c叫做線段a

3、b的黃金分割點，ac與ab的比叫做黃金比.要點詮釋：0.618ab(0.618是黃金分割的近似值，是黃金分割的準確值).2.作一條線段的黃金分割點：如圖，已知線段ab，按照如下方法作圖：（1）經過點b作bdab，使bd=ab.（2）連接ad，在da上截取de=db.（3）在ab上截取ac=ae.則點c為線段ab的黃金分割點.要點詮釋：一條線段的黃金分割點有兩個. 【典型例題】類型一、相似三角形的概念1、買西瓜為什么挑大個？思馳是一個好奇心很強的女孩，凡事都喜歡問個為什么一天，思馳跟爸爸上街買西瓜見爸爸選中的全是大個西瓜，她的小腦袋瓜又轉開了：買西瓜為什么挑大個？“你這個沈老師的得意門生，能用學

4、過的數學知識解決嗎？”，爸爸“將”了思馳一軍回到學校，思馳就找來遠兮一起商量兩人便開始了一番精彩對話思馳：西瓜可以近似看成球體，可以應用球的體積公式遠兮：大西瓜和小西瓜的皮厚幾乎相等思馳：人們買瓜是為了吃瓤遠兮：瓤的體積在整個西瓜體積中占的比越大越好思馳：兩者的體積比如何求呢？經過一段時間的商討，她們提出了解決方案：設瓜瓤（視為球體）的半徑為r，瓜皮厚度為a，則瓤和整個瓜的體積比為：1當a一定時，r值越大，（的值越接近于1，即西瓜越大，瓤與整個瓜的體積比越接近于1思馳把解決方案講給父親聽后，父親充滿了贊許之意，但父親同時又提出了：你能用你正在學習的相似圖形知識解決問題嗎？等你學完圖形的相似這一

5、章后，我相信你還能找出新的方法的問題：你認為生活中還有哪些與它類似的情形？【思路點撥】通過選西瓜的方法學會分析解決生活中簡單的實際問題，將西瓜沿球心所在直線切開，得到瓤和皮兩個圓，根據相似形的性質，計算其半徑的比，得到面積比，從而得出正確結果【答案與解析】解：如圖，設西瓜外徑為r，西瓜內徑為r，瓜皮厚度為a，于是兩圓面積比為，當r越大時，sr：sr越接近與1，故西瓜越大越合算與此類似，買雞蛋也應挑大個的【總結升華】此題是一道材料分析題，通過題目信息所給出的研究方法，進行探究是解答此類題目的基本思路類型二、相似三角形的三個判定定理2.（2015湖州模擬）如圖，在正方形abcd中，e、f分別是邊a

6、d、cd上的點，連接ef并延長交bc的延長線于點g（1）求證：abedef；（2）若正方形的邊長為4，求bg的長【思路點撥】（1）利用正方形的性質，可得a=d，根據已知可得，根據有兩邊對應成比例且夾角相等三角形相似，可得abedef；（2）根據平行線分線段成比例定理，可得cg的長，即可求得bg的長【答案與解析】（1）證明：abcd為正方形，ad=ab=dc=bc，a=d=90，ae=ed，df=dc，abedef；（2）解：abcd為正方形，edbg，又df=dc，正方形的邊長為4，ed=2，cg=6，bg=bc+cg=10【總結升華】此題考查了相似三角形的判定、正方形的性質、平行線分線段成比

7、例定理等知識的綜合應用，解題的關鍵是數形結合思想的應用舉一反三【變式】如圖，已知在abc與def中，c=54，a=47，f=54，e=79，求證：abcdef【答案】解：在abc中，b=180-a-c=79，在abc和def中，abcdef3、（2015大慶模擬）如圖，abc中，ab=5，bc=3，ca=4，d為ab的中點，過點d的直線與bc交于點e，若直線de截abc所得的三角形與abc相似，則de的長為多少？【答案與解析】解：d為ab的中點，bd=ab=，dbe=abc，當dbe=acb時，bdebac時，如圖1，則=，即=，解得de=2；當bde=acb時，如圖2，de交ac于f，daf

8、=cab，adfacb，bdebca，=，即=，解得de=，綜上所述，若直線de截abc所得的三角形與abc相似，則de=2或【總結升華】此題主要考查了相似三角形的判定與性質，注意分類討論思想在本題的應用，避免漏解舉一反三【變式】如圖，在abc于ade中,，要使abc于ade相似，還需要添加一個條件，這個條件是_【答案】b=e4、如圖，方格紙中每個小正方形的邊長為1，abc和def的頂點都在方格紙的格點上（1）判斷abc和def是否相似，并說明理由；（2）p1，p2，p3，p4，p5，d，f是def邊上的7個格點，請在這7個格點中選取3個點作為三角形的頂點，使構成的三角形與abc相似（要求寫出

9、2個符合條件的三角形，并在圖中連接相應線段，不必說明理由）【思路點撥】（1）首先根據小正方形的邊長，求出abc和def的三邊長，然后判斷它們是否對應成比例即可（2）只要構成的三角形與abc的三邊比相等即可（答案不唯一）【答案與解析】解：（1）abc和def相似； 根據勾股定理，得ab=2 ，ac= ，bc=5；de=4 ，df=2 ，ef=2 ；,abcdef （2）答案不唯一，下面6個三角形中的任意2個均可；dp2p5，p5p4f，dp2p4，p5p4d，p4p5p2，fdp1【總結升華】此題主要考查的是相似三角形的判定方法：如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似（sss）

10、舉一反三【變式】如圖，已知每個小正方形的邊長均為1，abc與def的頂點都在小正方形的頂點上，那么def與abc相似的是（） 【答案】b.由勾股定理求得各三角形的三邊長，然后根據三組對應邊的比相等的兩個三角形相似，即可求得答案注意排除法在解選擇題中的應用類型三、黃金分割折紙與證明-用紙折出黃金分割點：第一步：如圖（1），先將一張正方形紙片abcd對折，得到折痕ef；再折出矩形bcfe的對角線bf第二步：如圖（2），將ab邊折到bf上，得到折痕bg，試說明點g為線段ad的黃金分割點（aggd）【思路點撥】連接gf，設正方形的邊長為1，由折紙第一步，可知df=，在rtbcf中，根據勾股定理得出bf

11、，在rtagf和rtdgf中，根據勾股定理由gf不變列出關于ag的方程，解方程求出ag的長，即可說明點g是ad的黃金分割點【答案與解析】證明：如圖，連接gf，設正方形abcd的邊長為1，則df=在rtbcf中，bf=，則af=bf-ba=-1設ag=ag=x，則gd=1-x，在rtagf和rtdgf中，有af2+ag2=df2+dg2，即(-1)+x2=()2+(1-x)2，解得x=，即點g是ad的黃金分割點（aggd）【總結升華】本題考查黃金分割的概念：把線段ab分成兩條線段ac和bc（acbc），且使ac是ab和bc的比例中項（即ab：ac=ac：bc），叫做把線段ab黃金分割，點c叫做線段ab的黃金分割點舉一反三：【變式】（2012恩施州）如圖，用紙折出黃金分割點：裁一張正