時(shí)間序列分析總復(fù)習(xí)

1、精品王茂林一、選擇題1. 已知2000-2006年某銀行的年末存款余額，要計(jì)算各年平均存款余額，該平均數(shù)是：（b ）a.幾何序時(shí)平均數(shù)； b. “首末折半法”序時(shí)平均數(shù)；c.時(shí)期數(shù)列的平均數(shù)；d.時(shí)點(diǎn)數(shù)列的平均數(shù)。2. 某地區(qū)糧食增長量 19901995年為12萬噸，1996 2000年也為12萬噸。那么，19902000年期間，該地區(qū)糧食環(huán)比增長速度（d）a.逐年上升 b.逐年下降 c.保持不變 d.不能做結(jié)論3.某商業(yè)集團(tuán)2000 2001年各季度銷售資料如下：2000 年2001 年123412341.零售額（百萬）40423844485040602.季初庫存額（百萬）202122242

2、52623283.流通費(fèi)用額（百萬）3.83.22.83.23.03.13.14.04.商品流轉(zhuǎn)次數(shù)（次/季）1.9519.51.651.81.882.041.632.03上表資料中，是總量時(shí)期數(shù)列的有（d）a. 1、2、3 b. 1、3、4 c. 2、4 d. 1、34.利用上題資料計(jì)算零售額移動(dòng)平均數(shù)（簡(jiǎn)單，4項(xiàng)移動(dòng)平均），2001年第二季度移動(dòng)平均數(shù)為（a）a. 47.5 b. 46.5 c. 49.5 d. 48.4二、判斷題1. 連續(xù)12個(gè)月逐期增長量之和等于年距增長量。2. 計(jì)算固定資產(chǎn)投資額的年平均發(fā)展速度應(yīng)采用幾何平均法。3. 用移動(dòng)平均法分析企業(yè)季度銷售額時(shí)間序列的長期趨勢(shì)時(shí)

3、，一般應(yīng)取4項(xiàng)進(jìn)行移動(dòng)平均。4. 計(jì)算平均發(fā)展速度的水平法只適合時(shí)點(diǎn)指標(biāo)時(shí)間序列。5. 某公司連續(xù)四個(gè)季度銷售收入增長率分別為9% 12% 20%和18%其環(huán)比增長速度為 0.14%。正確答案：（1）錯(cuò)；（2）錯(cuò)；（3）對(duì)；（4）錯(cuò)；（5）錯(cuò)。二、計(jì)算題:1 .某企業(yè)2000年8月幾次員工數(shù)變動(dòng)登記如下表:8月1日8月11日8月16日8月31日1 2101 2401 3001 270試計(jì)算該企業(yè)8月份平均員工數(shù)。y來表示，則:解：該題是現(xiàn)象發(fā)生變動(dòng)時(shí)登記一次的時(shí)點(diǎn)序列求序時(shí)平均數(shù)，假設(shè)員工人數(shù)用丫 丫2彳2- ynfny=f1f2 fn1210 10 1240 5 1300 15 127031

4、1260（人）該企業(yè)8月份平均員工數(shù)為1260人。2.某地區(qū)“十五”期間年末居民存款余額如下表:（單位：百萬）年份200020012002200320042005存款余額7 0349 11011 54514 74621 51929 662試計(jì)算該地區(qū)“十五”期間居民年平均存款余額。解：居民存款余額為時(shí)點(diǎn)序列，本題是間隔相等的時(shí)點(diǎn)序列，運(yùn)用“首末折半法”計(jì)算序時(shí)平均數(shù)。y=y2- y n-1n-1Yn2703429110 11545 14746 21519296622=15053.60 （百萬）該地區(qū)“十五”期間居民年平均存款余額為15053.6百萬。3. 某企業(yè)2007年產(chǎn)品庫存量資料如下：?jiǎn)?/p>

5、位：件日期庫存量日期庫存量日期庫存量1月1日634月30日509月30日601月31日605月31日5510月31日682月28日886月30日7011月30日543月31日467月31日4812月31日588月31日49試計(jì)算第一季度、第二季度、上半年、下半年和全年的平均庫存量。解：產(chǎn)品庫存量是時(shí)點(diǎn)序列，本題是間隔相等的時(shí)點(diǎn)序列，運(yùn)用“首末折半法”計(jì)算平均庫存量。為Xn1X2. Xn-17計(jì)算公式：2 2 x=n-1x1=63 60 88 46第一季度平均庫存量:第二季度平均庫存量:46X267.50 （件）50 55 7054.33 （件）63 60 88 46 50 55 70上半年平均

6、庫存量：y1=262692（件）6360 . 545870 48 49 60 68 54 58下半年平均庫存：y2 =2257.17 （件）659.04 （件）51.41208.94.25%14152全年的平均庫存量:4. 某企業(yè)20002005年底工人數(shù)和管理人員數(shù)資料如下:單位：人年份工人數(shù)管理人員數(shù)年份工人數(shù)管理人員數(shù)20001 0004020031 2305220011 2024320041 2856020021 1205020051 41564試計(jì)算19912005年該企業(yè)管理人員數(shù)占工人數(shù)的平均比重。 解：本題是計(jì)算相對(duì)數(shù)序時(shí)平均數(shù)。計(jì)算公式：y aby ：管理人員占工人數(shù)的比重；

7、a：管理人員數(shù)；b：工人數(shù)。aia na2an i2 2n 1406443 50526022551.4（人）bn2100012021120 1230 1285251208.9（人）2001 2005年企業(yè)管理人員占工人數(shù)的平均比重為4.25 %5 .某地區(qū)20002005年社會(huì)消費(fèi)品零售總額資料如下：?jiǎn)挝唬簝|元200020012002200320042005社會(huì)消費(fèi)8 2559 38310 98512 23816 05919 710零售總額要求：計(jì)算全期平均增長量、平均發(fā)展速度和平均增長速度，并列表計(jì)算（1）逐期增長量和累積增長量；（2）定基發(fā)展速度和環(huán)比發(fā)展速度；（3）定基增長速度和環(huán)比增長

8、速度；（4）增長1%的絕對(duì)值。解：?jiǎn)挝唬簝|元年度200020012002200320042005社會(huì)消費(fèi)品零售額（yi）8255938310985122381605919710逐期增長量（yiyi 1)11281602125338213651累積增長量（yiy。）112827303983780411455定基發(fā)展速度(yi / y)(%)113.66133.07148.25194.54238.76環(huán)比發(fā)展速度（yi / yi 1）（%）113.66117.07111.41131.22122.73定基增長速度（yj / y01)13.6633.0748.2594.5438.76(%)環(huán) 比 增長

9、速度(yi / yi 11) (%)13.6617.0711.4131.2222.73增長1 %(yi 1/100)的增長量82.5593.83109.85122.38160.5911455平均增長量=2291 （億元）5平均發(fā)展速度=n 5 19710119.01%Vo V 8255平均增長速度=119.01 % 100%= 19.01 %6 .某地區(qū)2006年末人口數(shù)為2000萬人，假定以后每年以9%o的速度增長，又知該地區(qū)2006年GDP為1240億元。要求到 2010年人均GDP達(dá)至U 9500元，試問該地區(qū) 2010年的GDP應(yīng)達(dá)到多少？ 2007年到 2009年GDP的年均增長速度

10、應(yīng)達(dá)到多少？解：2004 年末該地區(qū)人口：2000 （1 0.009）3 = 2054.49 （萬人）2005 年末該地區(qū)人口：2000 （1 0.009）4 = 2072.98 （萬人）2005 年該地區(qū)的平均人口為：（2054.49+2072.98 ） /2=2063.76（萬人）所以，該地區(qū) 2005 年的 GDP 9500 X 2063.76 = 19605625 （萬元）精品2002 2004年該地區(qū) GDP勺年均增長速度:4 ”960.5625:124010.121312.13%精品所以，要使2005年的人均 GDP達(dá)至U 9500元，2002 2005年GDP勺年均增長速度應(yīng)達(dá)到

11、12.13 %。7.某企業(yè)19932007年產(chǎn)品產(chǎn)量資料如表：要求：（1）進(jìn)行三項(xiàng)中心化移動(dòng)平均修勻。（2）根據(jù)修勻后的數(shù)據(jù)用最小二乘法配合直線趨勢(shì)方程，并據(jù)以計(jì)算各年的趨勢(shì)值。（3）預(yù)測(cè)2009年該企業(yè)的產(chǎn)品產(chǎn)量。單位：件年份產(chǎn)量年份產(chǎn)量年份產(chǎn)量199334419984682003580199441619994862004569199543520004962005548199644020015222006580199745020025802007629解：（1）三項(xiàng)中心化移動(dòng)平均修勻:年份19931994199519961997數(shù)據(jù)344416435440450三項(xiàng)移動(dòng)平均398.33430

12、.33441.67452.67年份19981999200020012002數(shù)據(jù)468486496522580三項(xiàng)移動(dòng)平均468483.33501.33532.67367.33年份20032004200520062007數(shù)據(jù)580569548580629三項(xiàng)移動(dòng)平均576.3565.67565.67585.67一（2）直線趨勢(shì)方程：y? ? 紅將修勻后的數(shù)據(jù)代入最小二乘法求參數(shù)的公式:，可得:47122.42 丄 91 6370.97131 28199121347122.42 44596.7913.881826370.971313.88 9113392.93y 392.93 13.88ti最小二

13、乘法計(jì)算表年份時(shí)間變量t i產(chǎn)量yti2t iyi199419851996199719981999200020012002200320042005200612345678910111213398.33430.33441.67452.67468483.33501.33532.67367.33576.3565.67567.67585.67149162536496481100121144169398.33860.661325.011810.6823402899.983509.314261.363305.9757636222.376812.047613.71合計(jì)916370.9781947122.42

14、（件）&某市集市2004-2007年各月豬肉銷售量（單位：萬公斤）如下表：1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月20044050413945536873504843382005435245414865798664604541200640645856677484957668565220075572626070869810887786358試分別用同期平均法和移動(dòng)平均剔除法計(jì)算季節(jié)指數(shù)。 解：（1）用同期平均法中的比率平均法計(jì)算季節(jié)指數(shù)第一、計(jì)算各周期月平均數(shù)：1 12yj，得:12 j=1y.|= 49, y2= 55.75 , y3= 65.83 , y4= 74.75第二、計(jì)

15、算各指標(biāo)值的季節(jié)比率和季節(jié)比率的平均數(shù):季節(jié)比率：竺年份19941995199619971998趨勢(shì)值406.81420.69434.57448.45462.33年份19992000200120022003趨勢(shì)值476.21490.09503.97517.85531.73年份2004200520062007趨勢(shì)值545.61559.49573.37587.25根據(jù)方程計(jì)算各年的趨勢(shì)值，得到如下數(shù)據(jù):（3）根據(jù)配合的方程，對(duì) 2009年企業(yè)的產(chǎn)品產(chǎn)量進(jìn) 行預(yù)測(cè)。2002 年時(shí)，t = 15,所以預(yù)測(cè)值為：y 392.93 13.88 15601.13Yi季節(jié)比率平均數(shù):A1，結(jié)果如下:計(jì)算季節(jié)比

16、率和季節(jié)比率平均數(shù)(最后一行是季節(jié)比率平均數(shù)，其余是季節(jié)比率)月年12345678910111219980.821.020.840.80.921.081.391.491.020.980.880.7819990.770.930.810.740.861.171.421.541.151.080.810.7420000.610.970.880.851.021.121.281.441.151.030.850.7920010.740.960.830.80.941.151.311.441.161.040.840.78Sj0.730.970.840.800.931.131.351.481.121.030.84

17、0.77第三，計(jì)算季節(jié)指數(shù)：Q* 12Sj 二 pSjj 112首先計(jì)算Sj之和：Sj = 12j 1所以，各時(shí)期的季節(jié)比率等于其季節(jié)指數(shù)。(2)用移動(dòng)平均剔除法計(jì)算季節(jié)指數(shù)豬肉銷售中心化移動(dòng)平均季節(jié)比季節(jié)比率的平均年月量數(shù)率數(shù)40200415024133944555366849.131.3841.3677349.331.481.4785049.581.0081.0894849.830.9631104350.040.8590.81113850.670.750.73124351.630.8330.76年月豬肉銷售量中心化移動(dòng)平均數(shù)季節(jié)比率季節(jié)比率的平均數(shù)2005. 11.015252.630.9

18、8820.874553.750.83730.824154.830.74840.954855.420.86651.156555.631.1696Si 127955.631.42786561.53686457.041.12296058.211.031104559.630.755114160.790.674124061.380.6522006. 16461.961.03325862.830.92335663.670.8846764.461.03957465.381.13268466.461.26479567.421.40987667.921.11996868.250.996105668.540.81

19、7115269.170.752125570.250.7832007. 17271.381.00926272.380.85736073.250.819457073.960.94668674.51.15479881089871078由于Sj 12，所以，季節(jié)指數(shù)等于季節(jié)平均數(shù)。19929.某地區(qū)1998年到2007年的GDF如下表，請(qǐng)選擇最適合的a值，并用一次指數(shù)平滑模型預(yù)測(cè)年2001年的GDP（單位：億元）。年份19981999200020012002GDP216266345450577預(yù)測(cè)值275.67344.31448.94575.72年份20032004200520062007GDP679

20、7488168951036預(yù)測(cè)值677.97747.3815.31894.21034.58解：本 年份GDP年份GDP19982162003679始值So為1999266200474820003452005816和2000年20014502006895平均數(shù)，200257720071 036275.67。按照均方根誤差最小的原則選取的值。具體過程略，最后選定題取平滑初1998、 1999GDP的算術(shù)S01)=0.99，預(yù)測(cè)值如下所示:一、隨機(jī)過程(Stochastic Process)定義 設(shè)(Q ,F,P )是概率空間，T是給定的參數(shù)集，如果對(duì)于任意 t T,都有一定義在(Q ,F ,P )

21、 上的隨機(jī)變量X(t, 3 )與之對(duì)應(yīng)，則稱隨機(jī)變量 族X(t, 3 ),t T為隨機(jī)過程。簡(jiǎn)記為X(t,),t T或Xt,t T 或 Xt離散參數(shù)的隨機(jī)過程也稱為隨機(jī)序列或(隨機(jī))時(shí)間序列。上述定義可簡(jiǎn)單理解成：隨機(jī)過程是一簇隨機(jī)變量Xt,t T，其中T表示時(shí)間t的變動(dòng)范圍，對(duì)每個(gè)固定的時(shí)刻t而言，Xt是一普通的隨機(jī)變量，這些隨機(jī)變量的全體就構(gòu)成一個(gè)隨機(jī)過程。當(dāng)t=0, 1, 2,時(shí)，即時(shí)刻t只取整數(shù)時(shí)，隨機(jī)過程Xt,t T可寫成如下形式，Xt,t=0, 1, 2,。此類隨機(jī)過程 X是離散時(shí)間t的隨機(jī)函數(shù)，稱它為隨機(jī)序列或時(shí)間序列。對(duì)于一個(gè)連續(xù)時(shí)間的隨機(jī)過程的等間隔采樣序列，即Xt ,t=0

22、, 1, 2,就是一個(gè)離散隨機(jī)序列。二、時(shí)間序列的概率分布和數(shù)值特征1、時(shí)間序列的概率分布一個(gè)時(shí)間序列便是一個(gè)無限維的隨機(jī)向量。一個(gè)無限維隨機(jī)向量 X=(,X-1,X0,X1,)/的概率分布應(yīng)當(dāng)用一個(gè)無限維概率分布描述。根據(jù)柯爾莫哥夫定理，一個(gè)時(shí)間序列的概率分布可以用它有限維分布簇來描述。時(shí)間序列所有的一維分布是：，F(xiàn)-1( ) , F0( ) , F1( ),所有二維分布是：Fij( , ) , i , j=0, 1, 2,(i 豐 j) 一個(gè)時(shí)間序列的所有有限維分布簇的全體，稱為該序列的有限維分布簇。2、時(shí)間序列的均值函數(shù)一個(gè)時(shí)間序列的均值函數(shù)是指：EXtXdFt(X)其中EXt表示在t固

23、定時(shí)對(duì)隨機(jī)變量 Xt的求均值，它只一維分布簇中的分布函數(shù)Ft( )有關(guān)。3、時(shí)間序列的協(xié)方差函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)與隨機(jī)變量之間的協(xié)方差相似，時(shí)間序列的協(xié)方差函數(shù) 定義為：(t,s) E(Xt t) Xs s(X t) Yss dFt&(X,Y)其中Ft,s(X,Y)為(Xt, Xs)的二維聯(lián)合分布。類似可以定義時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)，即：(t,s)(t,s)A (t,t) (s,s)時(shí)間序列的自協(xié)方差函數(shù)有以下性質(zhì)：(1) 對(duì)稱性：(t,s)(s, t)(2) 非負(fù)定性：對(duì)任意正整數(shù)m和任意m個(gè)整數(shù)ki, k 2,。km,方陣k1,k1k1,k2 卅k1 ,k mkzKkzh U1k2,kmm II

24、I III 1Hlkm,k1km,k21km,k為對(duì)稱非負(fù)定矩陣。時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)同樣也具有上述性質(zhì)且有p (t,t)=1。三、平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)時(shí)間序列是時(shí)間序列分析中一類重要而特殊的隨機(jī)序列，時(shí)間序列分析的主要內(nèi)容是關(guān)于平穩(wěn)時(shí) 間序列的統(tǒng)計(jì)分析。(一) 兩種不同的平穩(wěn)性定義：1、嚴(yán)平穩(wěn)：如果對(duì)于時(shí)間t的任意n個(gè)值ti,t2,|,tn和任意實(shí)數(shù)，隨機(jī)過程Xt的n維分布滿足關(guān)系式:Fn MM |Xn；ti，t2，| 卜Fn ,X2j|Xn；t1,t2，| J則稱Xt為嚴(yán)平穩(wěn)過程。2、寬平穩(wěn)：若隨機(jī)過程Xt,t T的均值(一階矩)和協(xié)方差存在，且滿足(1) E Xt at T(2) E Xt

25、k a Xt a k t,t k T則稱 Xt,t T為寬平穩(wěn)隨機(jī)過程。通常說的平穩(wěn)是指寬平穩(wěn)。二者的聯(lián)系：(I) 嚴(yán)寬：因?yàn)閷捚椒€(wěn)要求期望和協(xié)方差存在，而嚴(yán)平穩(wěn)要求概率分布存在，而不能斷言二階矩存在。(n)寬嚴(yán)，這是不言而喻的。(川)嚴(yán)平穩(wěn)+ 二階矩存在寬平穩(wěn)。但反過來一般不成立。(W)對(duì)于正態(tài)過程來說，有：嚴(yán)平穩(wěn)寬平穩(wěn)(二) 平穩(wěn)時(shí)間序列自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)為了敘述方便，常假定平穩(wěn)時(shí)間序列Xt的均值為零，即 E Xt 0。當(dāng)EXt 0時(shí)用以下記號(hào)表示平穩(wěn)序列Xt的自協(xié)方差函數(shù)，即k E Xt k EXt k XtEXtEXtXt k相應(yīng)地，Xt的自相關(guān)函數(shù)用以下記號(hào)k k：0平穩(wěn)序列X

26、t的自協(xié)方差函數(shù)列和自相關(guān)函數(shù)列具有以下性質(zhì):(1) 對(duì)稱性：k k, k(2) 非負(fù)定性：對(duì)于任意正整數(shù)m，Rmm-1m-2為非負(fù)定對(duì)稱方陣;(3)k 0， k 1 (三) 平穩(wěn)序列的樣本統(tǒng)計(jì)量(1) 樣本均值時(shí)間序列無法獲得多重實(shí)現(xiàn)，多數(shù)時(shí)間序列僅包含一次實(shí)現(xiàn)，對(duì)于一個(gè)平穩(wěn)序列用時(shí)間均值代替總體均值。即Xt上式的估計(jì)是無偏的。(2) 樣本自協(xié)方差函數(shù)kxt XXt kXtXt k第一式是有偏估計(jì)，第二式是無偏估計(jì)，但有效性不如第一式。其它概率性質(zhì)和偏自相關(guān)函數(shù)的定義將在以后章節(jié)介紹。四、幾類特殊的隨機(jī)過程(序列)：1、純隨機(jī)過程：隨機(jī)過程如果是由一個(gè)不相關(guān)的隨機(jī)變量的序列構(gòu)成的，則稱其為純

27、隨機(jī)過程。2、 白噪聲序列(White noise ):如果時(shí)間序列 Xt滿足以下性質(zhì)：(1)E Xt 0(2)E XtXs2t,s式中，當(dāng)t豐s時(shí),t,s 0, t,t 1。稱此序列為白噪聲序列，簡(jiǎn)稱白噪聲。白噪聲是一種最簡(jiǎn)單的平穩(wěn)序列。(3) 獨(dú)立同分布序列：如果時(shí)間序列 Xt,t T中的隨機(jī)變量 X,t=0, 1, 2,為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，而且X具有相同的分布，稱這樣的時(shí)間序列Xt ,t T為獨(dú)立同分布序列。獨(dú)立同分布序列是一種最簡(jiǎn)單的嚴(yán)平穩(wěn)序列。一般說，白噪聲序列與獨(dú)立同分布序列是不同的兩種序列，當(dāng)白噪聲序列為正態(tài)序列時(shí)，它也是獨(dú)立 同分布序列，此時(shí)稱之為正態(tài)白噪聲序列。(4)獨(dú)立增

28、量隨機(jī)過程：對(duì)于任意正整數(shù)n,任意ti T i 1,2, ,n乙t2tn，隨機(jī)變量Xt2 Xti, Xt3 Xt2,川Xtn Xtn 1相互獨(dú)立。簡(jiǎn)單地講，就是任意兩相鄰時(shí)刻上的隨機(jī)變量之差(增量)是相互獨(dú)立的。(5)二階矩過程：若隨機(jī)過程Xt，t T對(duì)每個(gè)t T, Xt的均值和方差存在，則稱之為二階矩過程。(6)正態(tài)過程：若Xt ,t T的有限維分布都是正態(tài)分布，則稱Xt ,t T為正態(tài)隨機(jī)過程。主要介紹三種單變量模型：自回歸( AR模型、移動(dòng)平均(MA模型和自回歸移動(dòng)平均(ARMA模型。第一節(jié)自回歸模型一、一階自回歸模型 AR(1)如果時(shí)間序列獨(dú)立，就是說事物的后一時(shí)刻的行為主要與其前一時(shí)

29、刻的行為毫無關(guān)系。這樣的資料所 揭示甲統(tǒng)計(jì)規(guī)律就是事物獨(dú)立地隨機(jī)變動(dòng)，系統(tǒng)無記憶能力。如果情況不是這樣，資料之間有一定的依存 性。后一時(shí)刻的行為主要與前一時(shí)刻的行為有關(guān)，而與其前一時(shí)刻以前的行為無直接關(guān)系，即已知Xt-1 ；X主要與X-1相關(guān)。用記憶性來說，就是最短的記憶，即一期記憶，也就是一階動(dòng)態(tài)性。描述這種關(guān)系的 數(shù)學(xué)模型就是一階自回歸模型。即XtiXt i at記作AR( 1)。其中X零均值平穩(wěn)序列，a t為隨機(jī)擾動(dòng)。1、一階自回歸模型的特點(diǎn)X對(duì)Xt-1有線性相關(guān)關(guān)系a t為獨(dú)立正態(tài)同分布序列EgXtj)0, j 1,2,2、AR( 1)與普通一元線性回歸的關(guān)系精品兩個(gè)變量，Y為隨機(jī)變量

30、，X為確定性變量； 一個(gè)變量，Xt為隨機(jī)變量E( i)0 ；COV( Ij)0 i jvar( i)2；cov( X ii)0 ；iN0,2at為白噪聲序列，E(aJ 0 ;E(atX)0, j 1,2,.；還可假定at為正態(tài)分布。精品主要區(qū)別：(1) 普通線性回歸模型需要一組確定性變量值和相應(yīng)的觀測(cè)值；AR( 1)模型只需要一組隨機(jī)變量的觀測(cè)值。(2) 普通一無線性回歸表示的是一隨機(jī)變量對(duì)另一個(gè)確定性變量的依存關(guān)系；而AR( 1)表示的是一個(gè)隨機(jī)變量對(duì)其自身過去值的依存關(guān)系。(3) 普通線性回歸是在靜態(tài)的條件下研究的；AR( 1)是在動(dòng)態(tài)的條件下研究的。(4) 二者的假定不同。(5) 普通回

31、歸模型實(shí)質(zhì)是一種條件回歸，而AR( 1)是無條件回歸。主要聯(lián)系：固定時(shí)刻t-1，且觀察值Xt-1已知時(shí)，AR( 1)就是一個(gè)普通的一元線性回歸。二、AR (1)模型的特例一隨機(jī)游動(dòng)1、隨機(jī)游動(dòng)模型Xt Xt 1 at2、模型的特性(1) 系統(tǒng)具有極強(qiáng)的一期記憶性，系統(tǒng)在t-1和t時(shí)刻的響應(yīng)，除隨機(jī)擾動(dòng)外，完全一致，差異完全是由擾動(dòng)引起的。(2) 在時(shí)刻t-1時(shí)，系統(tǒng)的一步超前預(yù)測(cè)就是系統(tǒng)在t-1時(shí)的響應(yīng)X-1，即乂 Xt 1。(3) 系統(tǒng)行為是一系列獨(dú)立隨機(jī)變量的和，即Xtat jj0三、一般自回歸模型 AR(n)XtiXti2Xt2 . nXt n可其中：引為白噪聲，丘佝Xt j) 0, j

32、 1,2,。第二節(jié) 移動(dòng)平均模型一、一階移動(dòng)平均模型 MA( 1)如果系統(tǒng)的響應(yīng) Xt僅與其前一時(shí)刻進(jìn)入系統(tǒng)的擾動(dòng)at存在一定的相關(guān)關(guān)系，則有 MA( 1)模型：Xt atiat i其中：at為白噪聲。MA( 1)模型的基本假設(shè)為：(1)系統(tǒng)的響應(yīng)X僅與其前一時(shí)刻進(jìn)入系統(tǒng)的擾動(dòng)at有一定的依存關(guān)系；(2) at 為白噪聲。二、一般移動(dòng)模型ma( m模型的形式：Xt at 1at 1 1at 2 . mat m其中：(1) Xt僅與t 1 , t 2，t m有關(guān)，而與 t j (j=m+1,m+2,)無關(guān)；(2) t為白噪聲。第三節(jié)自回歸移動(dòng)平均(ARMA模型一、 ARMA(2， 1)模型1 、

33、ARMA(2， 1 )模型的形式：Xt 1Xt 12 Xt 2 t 1 t 1其中：Xt與Xt 1 Xt 2和t1有相關(guān)關(guān)系，t白噪聲。2、ARMA(2， 1)模型的結(jié)構(gòu)：ARMA( 2， 1)模型是由一個(gè) AR( 2)和一個(gè) MA( 1)兩部分構(gòu)成。3、ARMA( 2, 1)與 AR( 1)的區(qū)別從模型形式看，ARM(2, 1)比AR( 1)的項(xiàng)數(shù)多；從模型的動(dòng)態(tài)性看，ARMA(2, 1 )比AR (1)具有更長的記憶；從計(jì)算t所需的資料看，ARMA(2, 1)需要用t期以前的t 1， t 2，這需要從初期開始遞歸地計(jì)算出來，0通常取零；從參數(shù)估計(jì)來看，ARMA(2, 1 )比AR( 1)困

34、難。二、ARMA(n，n-1 )模型Xt1 Xt 1 .n Xt n t 1 t 1 . n 1 t n 1ARMAn,n-1 )模型的基本假設(shè)為：t獨(dú)立于t j (j=n,n+1,),從而t獨(dú)立于 Xt j (j=n+1,n+2,)三、ARMA(n，n-1) 模型的合理性為什么我們以 ARMA(n，n-1) 模型為一般形式來建立時(shí)序模型呢 ?難道一個(gè) ARMA(n，n-1) 模型總可以描 述一個(gè)時(shí)間序列嗎 ?對(duì)于平穩(wěn)系統(tǒng)來說，這是毫無疑問的。之所以以ARMA(n，n-1) 為基本模型是因?yàn)橄率隼碛桑旱谝?，AR、MA ARMA(n m)模型都是ARMA(n n-1)模型的特殊情形。第二，理論依

35、據(jù)：用 Hilbert 空間線性算子的基本理論可以證明，對(duì)于任何平穩(wěn)隨機(jī)系統(tǒng)，我們都可以用一個(gè)ARMA(n n-1)模型近似到我們想要達(dá)到的程度；用差分方程的理論也可以證明，對(duì)于n階自回歸,MA模型的階數(shù)應(yīng)該是 n-1。第三，從連續(xù)系統(tǒng)的離散化過程來看，ARMA(n n 1)也是合理的。在一個(gè) n階自回歸線性微分方程和任意階的移動(dòng)平均數(shù)的形式下，如果一個(gè)連續(xù)自回歸移動(dòng)平均過程在一致區(qū)間上抽樣，那么，這個(gè)抽樣過 程的結(jié)果是 ARMA(n，n-1) ?！菊鹿?jié)實(shí)驗(yàn)】利用 Eviews軟件生成AR序列、MA序列和ARMA序列。第三章 ARMA模型的特性本章為本書重點(diǎn)之一，主要掌握三類模型的格林函數(shù)形式

36、、 平穩(wěn)性和可逆性條件、AFC和PAFC的形式 和特點(diǎn)。第一節(jié) 線性差分方程一、后移 (Backshift) 算子 :1. 定義：后移算子B定義為BXt Xt 1，從而BmXt Xt m。2. 后移算子的性質(zhì)：(1) 常數(shù)的后移算子為常數(shù)： Bc c(2) 分配律： (Bm Bn)Xt BmXt BnXt Xt m Xt n 結(jié)合律：BmBnXt Bm(BnXt) BmXtn Xtmn1(4)后移算子B的逆為前移算子 B Xt Xt iX對(duì)于 1，無限求和得(1 B2B23B3)Xt 1 B前面的MA(m濮型、AR(n)模型和ARMA(n小模型可分別表示為：Xt(B)at(B)Xt at(B)

37、Xt(B)at其中：(B)11B2B2IIInBn(B) 11B2B2IIImm B二、線性差分方程Xt1Xt 12Xt 2IIInXtnat1at 12at 2 川mat可將寫成(B)Xt(B)at這里(B) 11B2B2IIInBn(B) 11B2B2IIIm m B差分方程通解為:Xt C(t) I(t)這里，C (t)是齊次方程解，I (t)是特解。三、齊次方程解的計(jì)算無重根考慮齊次差分方程(B)Xt 0其中(B)(1 G1B)(1 G2B)|(1 GnB)假定G, G,，G是互不相同，則在時(shí)刻 t的通解:Xt AG； A2G；卅 AnGn其中A為常數(shù)（可由初始條件確定）。重根 設(shè)（B

38、）0有d個(gè)相等的根Go1，可驗(yàn)證通解為Xt （Ao At A?川 Ad ；td ；）G0對(duì)一般情形，當(dāng) （B）的因式分解為(1 GB)(1 G2B)(1G(B)(1GB)dd 1齊次方程解便是Ck(t) G0Ajtjj 0n/DiG；i 1因此，齊次方程解是由衰減指數(shù)項(xiàng)G、多項(xiàng)式tj、衰減正弦項(xiàng)Dsi n(2n f t+F)，以及這些函數(shù)的組合混合生成的。上述過程中計(jì)算 Gi并不方便，通常通過解方程nn 11n 22n0得到其根為：i,i 1,2,., n。由于 n1 n 1n22n 0的根與11B2B2 HlnBn 0的根互為倒數(shù)，因此i Gi。非齊次方程的特解通常情況下不容易得到，沒有一個(gè)

39、“萬能鑰匙”，需要具體問題具體分析，只能對(duì)一些具有特殊形式非齊次項(xiàng)的方程進(jìn)行討論。此處叢略。第二節(jié) 格林函數(shù)（Green s function） 和平穩(wěn)性（Stationary）一、格林函數(shù)（Green s function）1、定義：設(shè)零均值平穩(wěn)序列 Xt,t 0, 1, 2,.能夠表示為Xt Gjat j（ 1）j 0則稱上式為平穩(wěn)序列 Xt的傳遞形式，式中的加權(quán)系數(shù) Gj稱為格林（Green）函數(shù)，其中G0 1。2、格林函數(shù)的含義：格林函數(shù)是描述系統(tǒng)記憶擾動(dòng)程度的函數(shù)。式（1）可以記為Xt G B at(2)其中G B式(1)表明具有傳遞形式的平穩(wěn)序列xt可以由現(xiàn)在時(shí)刻以前的白噪聲通過系

40、統(tǒng)“G BGjBj ”j 000精品的作用而生成，Gj是j個(gè)單位時(shí)間以前加入系統(tǒng)的干擾項(xiàng) at j對(duì)現(xiàn)實(shí)響應(yīng)Xt的權(quán)，亦即系統(tǒng)對(duì)at j的“記憶”。AR( 1)系統(tǒng)的格林函數(shù)由AR (1)模型XtXt 1atXt1Xt1(a t 1)at即: Xt1at j則AR(1)模型的格林函數(shù) Gj。如右11，則Gj隨著j的增大而緩慢減小，表明系統(tǒng)的記憶較強(qiáng)；相反，若 10，則Gj隨著j的增大而急劇減小，表明系統(tǒng)的記憶較弱例：下面是參數(shù)分別為0.9、0.1和-0.9的AR( 1)系統(tǒng)對(duì)擾動(dòng) t的記憶情況(三個(gè)序列由同一正態(tài)白噪聲序列模擬生成)：-22030VI*60570W80Xt 0.9Xt iatX

41、t 0.1Xt 1 atXt 0.9Xt 1 at比較前后三個(gè)不同參數(shù)的圖，可以看出:(1) 1取正值時(shí)，響應(yīng)波動(dòng)較平坦。(2) i取負(fù)值時(shí)，響應(yīng)波動(dòng)較大。(3) i越大，系統(tǒng)響應(yīng)回到均衡位置的速度越慢，時(shí)間越長。由于 Xt1jatj at1at 1:at2.at1at 12at 2.其中1jj ,因此 AR( 1)模j 0型可用一個(gè)無限階 MA來逼近，這說明 AR模型是一種長效記憶模型。三、AR系統(tǒng)的平穩(wěn)性1、由平穩(wěn)性的定義求 AR(1)系統(tǒng)的平穩(wěn)性條件將AR ( 1)模型Xt1Xt 1 at兩邊平方再取數(shù)學(xué)期望，得到E(Xt2) E( 1Xt1 at)212E(Xt21) E(at2) 2

42、 1E(Xat)12e(x：)a如果序列Xt是平穩(wěn)的，則有E(Xt2) E(X：)，由上式可得(112)E(Xt2)2E(Xt2)a(112)由于E(Xt2)是非負(fù)的，所以a12)0，從而11，這就是AR( 1)模型的平穩(wěn)性條件。利用滯后算子B, AR( 1)模型可以寫為(B)Xt at式中(B)1 iB ,那么平穩(wěn)性條件,1就等價(jià)于(B)0的根在單位圓外(或()i 0的根落在單位圓內(nèi))。上述平穩(wěn)條件可以推廣到 AR(n)模型，即(B)Xt at其中：(B) 1 iB 2B2川nBn的平穩(wěn)性條件為：(B) 0的根在單位圓外(或()n 1 n 12 n2川n 0的根在單位圓內(nèi))。2、由格林函數(shù)求

43、 AR(1)模型的平穩(wěn)性條件對(duì)于AR(1)系統(tǒng)來說，其平穩(wěn)性條件也可以由格林函數(shù)得出。如果系統(tǒng)受擾后，該擾動(dòng)的作用漸漸減小，直至趨于零，即系統(tǒng)響應(yīng)隨著時(shí)間的增長回到均衡位置，那么，該系統(tǒng)就是平穩(wěn)的。相對(duì)于格林函數(shù)來說，就是隨著j fa,擾動(dòng)的權(quán)數(shù) Gj 0，由于Gj = 1故必有j T8, 10 ,顯然，這就是AR(1)系統(tǒng)平穩(wěn)性條件。反過來，若1，則稱AR(1)為漸近穩(wěn)定的，也必是平穩(wěn)的。1 時(shí)，Gj =1；當(dāng) 1 =1 時(shí),Gj =(-1) J1 =-1 時(shí)這時(shí)，雖然響應(yīng)不回到其均衡位置，但仍是有界的,這時(shí)系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定的，系統(tǒng)可能存在某種趨勢(shì)例:解:或季節(jié)性。1時(shí)，j *, Gj fa,

44、任意小的擾動(dòng)只要給定足夠的時(shí)間，就會(huì)使系統(tǒng)響應(yīng)正負(fù)趨于無窮，永遠(yuǎn)不會(huì)回到其均衡位置，這時(shí)系統(tǒng)便是不穩(wěn)定的，當(dāng)然是非平穩(wěn)的。求AR( 2)模型的平穩(wěn)域120的根1根據(jù)AR模型的平穩(wěn)性的條件1(i1,2)2)由于因此1,2是實(shí)數(shù),2必同為實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù),精品1*1-1 、fl/ /由于1( 1,2),特征方程()故AR( 2)模型的平穩(wěn)域?yàn)樗?、格林函?shù)與 Wold 分解(Wold s Decomposition)所謂Wold分解也叫正交分解，其核心就是把一個(gè)平穩(wěn)過程分解成不相關(guān)的隨機(jī)變量的和。由于這一思想是由Wold引入(1938年)到時(shí)序分析中的，故叫做 Wold分解。他認(rèn)為可以用線性空間來解釋

45、 ARMA莫型 的解。在n維線性空間Ln中，n個(gè)線性無關(guān)的向量 a1,a2,.an稱為空間的一組 基。設(shè) 可由線性表示:k?a2 kn a精品其中ki由向量 和ai唯一確定，ki稱為向量關(guān)于基ai的坐標(biāo)。如果用線性空間的觀點(diǎn)來看AR(1)模型的解Xt1 at jj 0由于at j是相互獨(dú)立的，可看作線性空間的基j (或無限維坐標(biāo)軸)，顯然Xt可由at j線性表示，其系數(shù)Gj就是Xt對(duì)于at j的坐標(biāo)，Xt就是Gj at j的正交向量的和。因而上式也叫做Wold分解式，其系數(shù)叫Wold系數(shù)。Wold系數(shù)是線性空間格林函數(shù)和 Wold系數(shù)是同一客體從不同角度觀察的結(jié)果，二者是完全一致的。解釋，格林函數(shù)是系統(tǒng)解釋。五、ARMA模型格林函數(shù)的通用解法ARMA (n ,m模型(B)Xt(B)且Xt G(B)at則(B)G(B)(B)