復(fù)合函數(shù)教學(xué)課件（經(jīng)典實(shí)用）

1、復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)里，深化函數(shù)概念、提高運(yùn)用函數(shù)思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題能力的重要工具，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，也是歷年高考常考不衰的熱點(diǎn)。但高中數(shù)學(xué)教材未作介紹，而其他教輔資料上也僅給出描述性的非嚴(yán)格定義，因此，高一數(shù)學(xué)教學(xué)與高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，介紹有關(guān)內(nèi)容很有必要。 一、復(fù)合函數(shù)的概念我們常見(jiàn)的復(fù)合函數(shù)的描述性定義是：如果是的函數(shù)，而又是的函數(shù)，即，那么關(guān)于的函數(shù)叫做函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，叫做中間變量。例如它與不同，不是基本初等函數(shù)，而是由三角函數(shù)和一次函數(shù)經(jīng)過(guò)“復(fù)合”而成的一個(gè)函數(shù)。由于上述定義中對(duì)“復(fù)合”的定義沒(méi)有明確界定，因而很多同學(xué)對(duì)復(fù)合函數(shù)的概念似是而非，含混不清，為此，我們精讀

2、這個(gè)定義，字斟句酌，糾錯(cuò)補(bǔ)缺，以使我們正確理解復(fù)合函數(shù)的概念。 1、由字面理解“復(fù)合”本來(lái)是指“合在一起，結(jié)合起來(lái)”的意思，但在復(fù)合函數(shù)的定義中，對(duì)復(fù)合步驟的方式有特殊的約定。它不是泛指把幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)隨意地結(jié)合在一起，例如用四則運(yùn)算把它們結(jié)合起來(lái)，得到的形如或的函數(shù)，而是專(zhuān)指把幾個(gè)映射，像工廠中的生產(chǎn)流水線，依先后順序合在一起，對(duì)同一自變量逐次映射，構(gòu)作的一個(gè)復(fù)合映射確定的函數(shù)。這里的幾個(gè)映射可以相同，也可以不同，但只能是常數(shù)與基本初等函數(shù)間進(jìn)行的冪運(yùn)算、指數(shù)運(yùn)算、對(duì)數(shù)運(yùn)算、三角運(yùn)算、反三角運(yùn)算等。自變量像被加工的零件依次通過(guò)第一個(gè)映射后到第二個(gè)映射，一直到通過(guò)全部映射。例如，復(fù)合函數(shù)是自變量

3、先“乘”（第一次映射），再“取正弦”（第二次映射），最后得到關(guān)于的一個(gè)函數(shù)，因此有人說(shuō)復(fù)合函數(shù)是函數(shù)的函數(shù)。為了敘述和應(yīng)用的方便，我們通常用“層”來(lái)描述上述不同的映射所對(duì)應(yīng)的函數(shù)。從外向內(nèi)看，函數(shù)中，稱(chēng)定義的函數(shù)為外層函數(shù)（外函數(shù)），稱(chēng)定義的函數(shù)為內(nèi)層函數(shù)（內(nèi)函數(shù)），且稱(chēng)函數(shù)為函數(shù)和復(fù)合一次得到。這里外層函數(shù)的映射法則和內(nèi)層函數(shù)的映射法則，構(gòu)作的復(fù)合函數(shù)的映射法則稱(chēng)為復(fù)合映射（注意：不能把讀作“乘”，因?yàn)閺?fù)合映射不具有交換律，即，這是復(fù)合映射很重要的一個(gè)基本特征）。有人形容復(fù)合映射是具有傳遞性的兩個(gè)映射和的鏈條，可以幫助我們理解復(fù)合函數(shù)的內(nèi)涵。2、從函數(shù)定義理解既然函數(shù)可視為函數(shù)和函數(shù)復(fù)合得到

4、，因此它們都必須符合函數(shù)的定義，這才是復(fù)合函數(shù)定義的關(guān)鍵所在。除前面對(duì)復(fù)合映射結(jié)構(gòu)特征的分析外，我們還須從定義域和值域都是非空的數(shù)集出發(fā)，考察復(fù)合函數(shù)定義的相應(yīng)要求。設(shè)函數(shù)的定義域是，值域是；再設(shè)的定義域是，值域是，則都是非空的數(shù)集。從“復(fù)合”中我們發(fā)現(xiàn)，內(nèi)層函數(shù)具有兩重性：一方面它是自變量為的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則有；另一方面它又是函數(shù)的自變量，當(dāng)時(shí)，則有。要使仍然是函數(shù)，就要求的值域和的定義域必須有交集（非空數(shù)集）。是復(fù)合函數(shù)的一個(gè)必要但不充分的條件，也就是說(shuō)，函數(shù)的定義域，既受到外層函數(shù)的映射法則的制約，又受到內(nèi)層函數(shù)的值域的限定。只看一面，不看另一面就會(huì)犯概念的錯(cuò)誤。有的同學(xué)不加分析地認(rèn)為，任

5、何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)，事實(shí)卻不然，例如，等都不是復(fù)合函數(shù)，因?yàn)槭菍?duì)數(shù)函數(shù)，定義域必須符合，但,而，因此,于是可得,故不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)。同理，也不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)（它們都不是函數(shù)）。據(jù)此，反思前面給出的定義，我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)定義是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模鲆暳藰?gòu)造復(fù)合函數(shù)過(guò)程中，各層子函數(shù)及它們復(fù)合后的整體都必須適合函數(shù)的定義。為此，我們把定義補(bǔ)充為：如果是的函數(shù)，而又是的函數(shù)，且對(duì)于值所對(duì)應(yīng)的值，函數(shù)是有定義的，即，則關(guān)于的函數(shù)叫做和的復(fù)合函數(shù)。3、從結(jié)構(gòu)特征理解除最內(nèi)層函數(shù)允許對(duì)自變量施行加、乘運(yùn)算外，每一次復(fù)合都是把內(nèi)層函數(shù)的整體，作為自變量施行新的映射，這樣，像穿衣服一樣，從內(nèi)到外逐次添加映

6、射，直至構(gòu)造出所需函數(shù)。這一獨(dú)特的發(fā)生過(guò)程，不僅給出了復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，使我們能迅速判斷已知函數(shù)式是不是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，而且也使我們明白了，復(fù)合函數(shù)不是一類(lèi)新的獨(dú)立的基本初等函數(shù)，而是幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的特殊構(gòu)造，因次，我們可以先分析參與復(fù)合的簡(jiǎn)單函數(shù)的性態(tài)，來(lái)研究復(fù)合函數(shù)的相應(yīng)屬性。4、從穿脫原理理解穿脫原理是復(fù)合函數(shù)與簡(jiǎn)單函數(shù)相互轉(zhuǎn)化的工具，由它可將簡(jiǎn)單函數(shù)構(gòu)造成復(fù)合函數(shù)，也可將復(fù)合函數(shù)分拆為簡(jiǎn)單函數(shù)。先看復(fù)合，例如由，欲得到復(fù)合函數(shù)，可從外層函數(shù)開(kāi)始，逐次代換添加映射，每代換一次增加一個(gè)映射，即，最后得到關(guān)于的復(fù)合函數(shù)。一般地，由，的復(fù)合過(guò)程可記為 。再看分拆，例如函數(shù)可以從外層函數(shù)開(kāi)始逐層分

7、拆為簡(jiǎn)單函數(shù)，每拆一層，設(shè)一個(gè)中間變量，即最外層函數(shù)記為，第二層記為，第三層記為，第四層記為。上述多次令中間變量進(jìn)行的代換，叫做連續(xù)代換或鎖鏈代換，實(shí)質(zhì)上是換元法。 穿脫原理從發(fā)生過(guò)程深化了復(fù)合函數(shù)的概念，在復(fù)合函數(shù)的性態(tài)研究中，具有重要作用。例如求復(fù)合函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、極值、反函數(shù)時(shí)都需要它，一些重要運(yùn)算，如求導(dǎo)、微分等更要依靠它。 二、復(fù)合函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)在中學(xué)，我們可以探討復(fù)合函數(shù)的哪些性質(zhì)呢？和常見(jiàn)的基本初等函數(shù)一樣，我們可以探討復(fù)合函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、極值與最值。探討過(guò)程中，最關(guān)鍵的是要注意復(fù)合映射的多層制約，是否使復(fù)合函數(shù)仍有定義，研究它的每

8、一層映射對(duì)復(fù)合函數(shù)性質(zhì)的影響。1、求定義域 因?yàn)槎鄬訌?fù)合映射結(jié)構(gòu)復(fù)雜，所以使得求復(fù)合函數(shù)定義域的題型形式多樣，現(xiàn)列舉主要題型如下。（1）已知復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式，求復(fù)合函數(shù)的定義域。將已知復(fù)合函數(shù)正確地拆成幾個(gè)常見(jiàn)的簡(jiǎn)單函數(shù)，根據(jù)使函數(shù)解析式有定義的要求，由外到內(nèi)，列出所有限制條件對(duì)應(yīng)的不等式，所得不等式組的解集就是復(fù)合函數(shù)的定義域。 求函數(shù)的定義域。解：要使函數(shù)有意義，須滿(mǎn)足 （使根式有意義），（使對(duì)數(shù)有意義），（使對(duì)數(shù)有意義），解得或，故所求函數(shù)的定義域?yàn)椤?（2）已知函數(shù)的定義域，求復(fù)合函數(shù)的定義域。因?yàn)榇硗挥成?，只需用代換法則，先將原函數(shù)的定義域?qū)懗傻牟坏仁?，再將換成中間變量，解所得不

9、等式即可。 已知函數(shù)的定義域是，求函數(shù) 的定義域。解：由題設(shè)知，即 ，或，。故函數(shù)的定義域是。 （3）已知復(fù)合函數(shù)的定義域，求外層函數(shù)的定義域。實(shí)質(zhì)是從已知復(fù)合函數(shù)中的取值范圍，求出這個(gè)復(fù)合函數(shù)的中間變量的范圍（或內(nèi)層函數(shù)的值域）。已知函數(shù)的定義域是，求函數(shù)的定義域。解：由得， ， ，故函數(shù)的定義域是。2、求函數(shù)表達(dá)式 中學(xué)階段，求復(fù)合函數(shù)表達(dá)式大致可歸納為兩種題型，一是已知各層子函數(shù)的映射法則，求復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式；二是已知復(fù)合函數(shù)適合的函數(shù)方程，求復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式。（1）已知中間變量，求復(fù)合函數(shù)用代換法則像求函數(shù)值一樣，從內(nèi)向外逐次將內(nèi)層函數(shù)的表達(dá)式，代換外層函數(shù)的自變量解出。每次代換只看一

10、層，只代換一個(gè)中間變量。函數(shù)的映射法則是對(duì)自變量單定義的，故復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式最終也須將表達(dá)式用單的運(yùn)算表示。 已知函數(shù)，求函數(shù)的表達(dá)式。解：， （2）已知復(fù)合函數(shù)，求原函數(shù)關(guān)鍵是溝通中間變量與復(fù)合函數(shù)表達(dá)式間的映射關(guān)系，找到原函數(shù)，用中間變量的整體作自變量的映射法則，常用配湊法、換元法、待定系數(shù)法等。已知，求。解：令，則，所以；，即，故，。 （3）已知復(fù)合函數(shù)適合的函數(shù)方程，求復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式中學(xué)只涉及簡(jiǎn)單的函數(shù)方程，因此，關(guān)鍵是將所求復(fù)合函數(shù)看作未知變量，根據(jù)函數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征，采用代換方法建立方程組，消元解之。已知，其中，為奇數(shù)，求函數(shù)。 解：由題意可知，令，由于為奇數(shù)，故有 ； 結(jié)合已知

11、條件，可解得， 又因?yàn)椋瑸槠鏀?shù)，故。 （4）已知復(fù)合函數(shù)，求與外層函數(shù)映射法則相同的另一復(fù)合函數(shù) 先由已知的復(fù)合函數(shù)求原函數(shù)，再由原函數(shù)求另一復(fù)合函數(shù)。已知，求函數(shù)。 解：設(shè),則，有， ； 故。3、求值域 在復(fù)合函數(shù)定義域內(nèi)，先求出最內(nèi)層函數(shù)的值域，再用它作為中間函數(shù)的“自變量”，求出中間函數(shù)值域，依次外推直至求出最外層函數(shù)的值域。求函數(shù)，的值域。解：， ；又是減函數(shù)， 故所求函數(shù)的值域是。4、判斷函數(shù)奇偶性 通常方法是根據(jù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷，容易產(chǎn)生的一類(lèi)負(fù)遷移是：認(rèn)為構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的每層簡(jiǎn)單函數(shù)都要有奇偶性時(shí)，復(fù)合函數(shù)才有奇偶性，這是錯(cuò)誤的。例如函數(shù)，可拆成，易知外層函數(shù)不具有奇偶性，但內(nèi)

12、層函數(shù)是偶函數(shù)，由定義可知是偶函數(shù)。當(dāng)復(fù)合函數(shù)各層子函數(shù)都有奇偶性時(shí)，可用下列法則判斷它的奇偶性。 定理 當(dāng)內(nèi)層函數(shù)為偶函數(shù)時(shí)，復(fù)合函數(shù)為偶函數(shù)（此時(shí)可為任意函數(shù)），簡(jiǎn)記為“內(nèi)偶則偶”。 定理 當(dāng)內(nèi)層函數(shù)為奇函數(shù)時(shí)，若外層函數(shù)為奇函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)為奇函數(shù)；若外層函數(shù)為偶函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)為偶函數(shù)，簡(jiǎn)記為“內(nèi)奇外奇則為奇”、“內(nèi)奇外偶則為偶”。5、判斷函數(shù)單調(diào)性 通常做法仍然是由函數(shù)單調(diào)性的定義判斷，但若其中某層中間變量沒(méi)有單調(diào)性時(shí)，則復(fù)合函數(shù)無(wú)單調(diào)性。只有復(fù)合函數(shù)的各層子函數(shù)在定義域上均為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)時(shí)，復(fù)合函數(shù)才具有單調(diào)性，并可用下列法則判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性。定理 當(dāng)，均為增函數(shù)時(shí)，則復(fù)合函數(shù)

13、為增函數(shù)；當(dāng)，均為減函數(shù)時(shí)，則復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)，簡(jiǎn)記為“同向?yàn)樵觥?。定?當(dāng)為增函數(shù)，為減函數(shù)，或?yàn)闇p函數(shù)，為增函數(shù)時(shí)，則復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)，簡(jiǎn)記為“異向?yàn)闇p”。以上定理可推廣至層復(fù)合函數(shù)，即： 定理 若有限次復(fù)合函數(shù)的每層子函數(shù)均有意義且嚴(yán)格單調(diào)，則減函數(shù)的層數(shù)為偶數(shù)時(shí)，復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；減函數(shù)的層數(shù)為奇數(shù)時(shí)，復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)。 6、求函數(shù)周期性 （1）由周期函數(shù)的定義易知，關(guān)鍵是最內(nèi)層函數(shù)是否有周期性，當(dāng)最內(nèi)層函數(shù)為周期函數(shù)時(shí)，復(fù)合函數(shù)必為周期函數(shù)，但最小正周期可能改變。例如函數(shù)，由，復(fù)合得到，內(nèi)層函數(shù)為周期函數(shù)，則仍為周期函數(shù)，但。若外層函數(shù)為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是以為周期的函數(shù)，并且有

14、最小正周期，則復(fù)合函數(shù)是周期函數(shù)，并且有最小正周期。 （2）當(dāng)內(nèi)層函數(shù)無(wú)周期性，外層函數(shù)有周期性時(shí)，應(yīng)由周期函數(shù)的定義判斷。特殊情形可由下列定理判斷：定理 若外層函數(shù)是以為周期的函數(shù)，且則復(fù)合函數(shù)是周期函數(shù)，周期為。定理 若外層函數(shù)為周期函數(shù)，且函數(shù)為偶函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)是周期函數(shù)。7、求函數(shù)的最值（1）已知復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式，求復(fù)合函數(shù)的最值若外層函數(shù)是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)有最值時(shí)，內(nèi)層函數(shù)的最值點(diǎn)就是復(fù)合函數(shù)的最值點(diǎn)；若外層函數(shù)有最值時(shí)，外層函數(shù)的最值點(diǎn)就是復(fù)合函數(shù)的最值點(diǎn)。若外層函數(shù)與內(nèi)層函數(shù)都是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)時(shí)，復(fù)合函數(shù)的值域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間，則復(fù)合函數(shù)無(wú)最值；值域?yàn)殚]區(qū)間，則復(fù)合函數(shù)既有最大值，

15、也有最小值；值域?yàn)榘腴_(kāi)半閉區(qū)間，則復(fù)合函數(shù)只有最大值而無(wú)最小值，或只有最小值而無(wú)最大值。 已知，求函數(shù)的最值。解： ，令，由知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。 （2）已知復(fù)合函數(shù)，求原函數(shù)的最值 先由復(fù)合函數(shù)求得原函數(shù)，再求原函數(shù)的最值。已知，求函數(shù)的最值。解：令，則，于是得，；即 ，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因，故，且當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),。8、求反函數(shù) 當(dāng)復(fù)合函數(shù)的各層子函數(shù)均為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)時(shí)，有反函數(shù)。一般先逐層求出各層子函數(shù)的反函數(shù)，然后復(fù)合為原函數(shù)的反函數(shù)，或用穿脫原則從外到內(nèi)依次取原映射的逆映射。注意由原函數(shù)的值域?qū)懗鏊姆春瘮?shù)的定義域。 例題 求函數(shù)的反函數(shù)。解:，故，又， 故所求反函數(shù)為，。三、復(fù)合函數(shù)的圖象

16、作復(fù)合函數(shù)的圖象一般都比較復(fù)雜，這里僅介紹用圖象變換法作復(fù)合函數(shù)的圖象。當(dāng)復(fù)合函數(shù)可視為由常見(jiàn)的簡(jiǎn)單函數(shù)經(jīng)過(guò)平移、伸縮、對(duì)稱(chēng)等變換得到時(shí)，可由簡(jiǎn)單函數(shù)的圖象施行圖象變換作出復(fù)合函數(shù)的圖象。例題 作函數(shù)的圖象。解：原函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)下列變換得到： 。圖象 略。四、復(fù)合函數(shù)的符號(hào)語(yǔ)言對(duì)復(fù)合函數(shù)的符號(hào)語(yǔ)言，應(yīng)從函數(shù)定義與函數(shù)符號(hào)出發(fā)，準(zhǔn)確理解，不可誤讀誤寫(xiě)誤用。 （1）的區(qū)別 是簡(jiǎn)單函數(shù)的記號(hào)，而則為復(fù)合函數(shù)的記號(hào)，由，復(fù)合而成。 （2）與的區(qū)別由于復(fù)合映射不具有交換律，即，所以它們是兩個(gè)不同的復(fù)合函數(shù)，不是同一個(gè)復(fù)合函數(shù)。因此與也不是同一個(gè)函數(shù)；比如,這里的表示函數(shù)值域中的任一個(gè)值，而，這里的卻表示函數(shù)定義域中的任一個(gè)值。例如，；，。 （3）的區(qū)別函數(shù)是復(fù)合函數(shù)的反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)。而函數(shù)不是的反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線不對(duì)稱(chēng)，嚴(yán)格地說(shuō)它們是關(guān)于中間變量成反函數(shù)關(guān)系，它們的圖象應(yīng)由外層函數(shù)的反函數(shù)關(guān)