概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題及答案__第一章

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題及答案第一章1 寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間及下列事件中的樣本點(diǎn)：( 1)擲一顆骰子，記錄出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù). A 出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn) ；( 2)將一顆骰子擲兩次，記錄出現(xiàn)點(diǎn)數(shù). A 兩次點(diǎn)數(shù)之和為 10， B第一次的點(diǎn)數(shù)，比第二次的點(diǎn)數(shù)大2；(3)一個(gè)口袋中有 5 只外形完全相同的球，編號(hào)分別為 1,2,3,4,5 ；從中同 時(shí)取出 3 只球，觀察其結(jié)果， A 球的最小號(hào)碼為 1；(4)將a,b兩個(gè)球，隨機(jī)地放入到甲、乙、丙三個(gè)盒子中去，觀察放球情況，A 甲盒中至少有一球 ；( 5 )記錄在一段時(shí)間內(nèi)，通過某橋的汽車流量，A 通過汽車不足 5 臺(tái)，B 通過的汽車不少于 3 臺(tái)。解 (1)S

2、 乳鮎倉, qg其中e 出現(xiàn)i點(diǎn)i 1,2,L ,6，A e1 ,e3,e5 。(2) S (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) ;A (4,6),(5,5),(6,4);B (3,1),(4,2),(5,

3、3),(6,4)。3)S(1,2,3),(2,3, 4),(3,4,5),(1,3,4), (1,4,5),(1,2,4), (1,2,5)(2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)A(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4), (1,3,5),(1,4,5)4)S(ab, ,), ( ,ab,), ( ,ab), (a,b, ), (a,b), (b,a, ),(b, ,a), ( ,a, b,), ( ,b,a)，其中表示空盒;A (ab, , ), (a,b, ), (a, ,b), (b,a, ), (b, ,a)。(5) S 0,1,2,L, A 0,1,2,

4、3,4, B 3,4,L。2 設(shè)A, B,C是隨機(jī)試驗(yàn)E的三個(gè)事件，試用 A, B,C表示下列事件:(1 )僅A發(fā)生；(2) A, B,C中至少有兩個(gè)發(fā)生；(3) A, B,C中不多于兩個(gè)發(fā)生；(4) A, B,C中恰有兩個(gè)發(fā)生；(5) A, B,C中至多有一個(gè)發(fā)生。解(1) ABC(2) ABUACUBC 或 ABC U ABC U ABC U ABC ；(3) AUB UC 或 ABC U ABC U ABC U ABC U ABC U ABC U ABC ；(4) ABC U ABC U ABC ；(5) AB U AC U BC 或 ABC U ABC U ABC U ABC ；3 一

5、個(gè)工人生產(chǎn)了三件產(chǎn)品，以a (i 1,2,3)表示第i件產(chǎn)品是正品，試用A表示下列事件：(1)沒有一件產(chǎn)品是次品；(2)至少有一件產(chǎn)品是次品；(3) 恰有一件產(chǎn)品是次品；(4)至少有兩件產(chǎn)品不是次品。解 (1) A1 A2 A3 ； (2) A U A，U A3 ； (3) A A2As u a( Aa3 u a( aA3 ；(4) A1 A2 U A! Aj U A2As。在電話號(hào)碼中任取一個(gè)電話號(hào)碼，求后面四個(gè)數(shù)字全不相同的概率。設(shè)A 任取一電話號(hào)碼后四個(gè)數(shù)字全不相同，則R4 126P(A)三0.5041042505 .一批晶體管共40只，其中3只是壞的，今從中任取 5只，求(1) 5只全

6、是好的的概率；(2) 5只中有兩只壞的的概率。解(1)設(shè)A 5只全是好的，貝Uc37P(A) 37 B0.662 ；C40(2)設(shè)B 5只中有兩只壞的，貝yC2C3P(B) c3ClB0.0354.C406 袋中有編號(hào)為1到10的10個(gè)球，今從袋中任取 3個(gè)球，求(1) 3個(gè)球的最小號(hào)碼為 5的概率；(2) 3個(gè)球的最大號(hào)碼為 5的概率.解(1)設(shè)A最小號(hào)碼為5，則C2P(A) C3C10(2)設(shè)B最大號(hào)碼為P(B)咅 205 則.(1)教室里有r個(gè)學(xué)生，求他們的生日都不相同的概率； 房間里有四個(gè)人，求至少兩個(gè)人的生日在同一個(gè)月的概率(1)設(shè)A 他們的生日都不相同，貝UprP(A)嚴(yán);365r

7、(2) 解設(shè)B至少有兩個(gè)人的生日在同一個(gè)月C 2c1 p2 c2c2 c3p2 c 1412 114124 1212P(B)124，則41 ；96 ；P：41P(B) 1 P(B) 1 12496 .設(shè)一個(gè)人的生日在星期幾是等可能的，求 期中的某兩天，但不是都在同一天的概率.解 設(shè)A生日集中在一星期中的某兩天，但不在同一天C；(26 2)6個(gè)人的生日都集中在一個(gè)星，則P(A)0.01107.為什么769 將C,C,E,E,I,N,S等7個(gè)字母隨機(jī)地排成一行，那么恰好排成英文單置中占兩個(gè)位置，共有Cs種占法, 共3!種，故基本事件總數(shù)為 C；詞SCIENCE的概率是多少解i設(shè)A 恰好排成SCIE

8、NCE將7個(gè)字母排成一列的一種排法看作基本事件，所有的排法：2字母C在7個(gè)位置中占兩個(gè)位置， 共有C7種占法，字母E在余下的5個(gè)位 字母I, N,C剩下的3個(gè)位置上全排列的方法2P(A)1c2 Cf 3!1260C5 3!1260，而A中的基本事件只有一個(gè)，解2七個(gè)字母中有兩個(gè) E, 元素的全排列。一般地，設(shè)有兩個(gè)C，把七個(gè)字母排成一排，稱為不盡相異 n個(gè)元素，其中第一種元素有 m個(gè)，第二種元素稱為不盡相異元素的全排列。不同的排列總數(shù)為 n!nJn1 ! n2 !L對(duì)于本題有1P（AJL2!2!10 從0,1,2丄,9等10個(gè)數(shù)字中，任意選出不同的三個(gè)數(shù)字，試求下列事三個(gè)數(shù)字中不含 0或5 A

9、347!11260件的概率：A 三個(gè)數(shù)字中不含 0和5,a2三個(gè)數(shù)字中含0但不含5.715.解 P(A)P(A2)C3G30CG30C；314P(A2)P(A3)Ci301 PgC827Ci3015c；14G3015，G3。3011將n雙大小各不相同的鞋子隨機(jī)地分成堆各成一雙的概率.n堆，每堆兩只，求事件解 n雙鞋子隨機(jī)地分成n堆屬分組問題,不同的分法共（2n）!2!2! L 2!(2n)!(2!)每堆各成一雙共有 n!種情況，故P(A)12 設(shè)事件 A與B互不相容,2n n!(2n)!P(A) 0.4, P(B) 0.3，求 P(AB)與P(AU B)B，于是解 P(AB) 1 P(AU B

10、) 1 P(A) P(B) 0.3 因?yàn)榇鶥不相容，所以AP(AU B) P(A) 0.613 若 P(AB) P(AB)且 P(A) P，求 P(B).解 P(AB) 1 P(AUB) 1 P(A) P(B) P(AB) 由 P(AB) P(AB)得P(B) 1 P(A) 1 p14 .設(shè)事件A, B及AU B的概率分別為p,q,r，求P(AB)及P(AU B)解 P(AB) P(A) P(B) P(AUB) p q rP(AU B) P(A) P(B) P(AB) P(A) 1 P(B) P(A) P(AB)1 q p q r 1 p r .15 設(shè)P(A) P(B) 0.7，且A, B僅

11、發(fā)生一個(gè)的概率為，求A,B都發(fā)生的概率。解1由題意有0.5 P(AB AB) P(AB) P(AB)P(A) P(AB) P(B) P(AB)0.7 2P(AB)，所以P(AB) 0.1 .解2 A, B僅發(fā)生一個(gè)可表示為 AUB AB，故0.5 P(AU B) P(AB) P(A) P(B) 2P(AB),所以P(AB) 0.1 .16 設(shè) P(A) 0.7, P(A B) 0.3, P(B A) 0.2，求 P(AB)與 P(AB).解 0.3 P(A B) P(A) P(AB) 0.7 P(AB)，所以P(AB) 0.6 ；P(AB) 0.4，0.2 P(B)P(AB) P(B) 0.4

12、.所以P(B) 0.6P(AB) 1P(AU B) 1 P(A)P(B)P(AB)0.117設(shè) AB C，試證明P(A) P(B)P(C)1證因?yàn)锳BC，所以P(C) P(AB) P(A) P(B) P(AU B)P(A)P(B) 1故證畢.P(A) P(B) P(C) 1 .18 .對(duì)任意三事件 A,B,C，試證P(AB) P(AC) P(BC) P(A). 證 P(AB) P(AC) P(BC) P(AB) P(AC) P(ABC)P(ABU AC) P A(BUC) P(A).證畢119 .設(shè) A,B,C 是三個(gè)事件，且 P(A) P(B) P(C) , P(AB) P(BC) 0,41

13、P(AC),求A,B,C至少有一個(gè)發(fā)生的概率。8P(AUBUC)P(A) P(B) P(C) P(AB) P(AC) P(BC) P(ABC)因?yàn)?0 P(ABC)P(AB) 0,所以 P(ABC) 0，于是20P(AU B UC)隨機(jī)地向半圓3 154 880 y . 2ax x1 2 ( a為正常數(shù))內(nèi)擲一點(diǎn)，點(diǎn)落在園內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比,求原點(diǎn)與該點(diǎn)的連線與 x軸的夾角小于/4的概率.解：半圓域如圖由幾何概率的定義A的面積(丿半園的面積設(shè)A原點(diǎn)與該點(diǎn)連線與 x軸夾角小于/4 1 2 1 2 a a42解2設(shè)三段長分別為 x, y, z，則0 x a, 0 y a, 0 z

14、a且a，不等式確定了三維空間上的有界平面域A發(fā)生 x yS.y z不等式確定S的子域A，所以A的面積P(A) S的面積1,試求x與22 隨機(jī)地取兩個(gè)正數(shù) x和y，這兩個(gè)數(shù)中的每一個(gè)都不超過y之和不超過1,積不小于的概率.解 0 x 1, 0 y 1，不等式確定平面域S.A x y 1, xy 0.09充要條件為0 x y 1, 1等式確定了S的子域A，故A的面積 0.9(1S的面積 o.1 P(A)0.40.181 n3 0.223.(蒲豐投針問題)在平面上畫出等距離則A發(fā)生的xy 0.09 不0.9x )dxxa(a 0)的一些平行線，向平面上隨機(jī)地投擲一根長丨(1 a)的針，求針與任一平行線相交的概率解 設(shè)A 針與某平行線相交，針落在平面上的情況不外乎圖中的幾種,設(shè)x為針的中點(diǎn)到最近的一條