三角形中的邊角關(guān)系

1、三角形中的邊角關(guān)系 Prepared on 21 November 2021 三 角 形 基 礎(chǔ) 知 識(shí) 說明：AABC中，角A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c, p為三角形周長的 一半，r為內(nèi)切圓半徑，R為外接圓半徑，）hs hb, h分別為a, b, c邊上 的高Sgc表示面積。 1. 三角形的定義：三條線段首尾順次連結(jié)所組成的圖形，其中各條線段叫 做三角形的邊，每兩條邊組成的角叫做三角形的內(nèi)角（簡稱三角形的 角）. 2. 三角形的元素：三角形的邊、角、中線、高線、角平分線、周長、面積 等都叫三角 形的元素. 3. 確定三角形的條件：在三角形的元素中，邊和角叫做三角形的基本元 素，其

2、中角確定三角形的形狀（定形），邊確定三角形的大?。ǘ?量），三角形具有穩(wěn)定性.確定三角形的條件是：已知三角形的三邊 （SSS）或兩邊及其夾角（SAS）或兩角及其公共邊（ASA）或兩角與其中 一角的對(duì)邊（AAS）,這也是判斷兩個(gè)三角形全等的主要方法，全等三角 形的對(duì)應(yīng)元素都相等.只知三角形的三角大小，不能確定三角形，具有 相同大小的三個(gè)角的兩個(gè)三角形是相似關(guān)系. 4. 三角形的“線”與“心”: （1）高線、垂心. （2）中線、重心及其的性質(zhì)、坐標(biāo)公式、向量公式及其物理意義、中線 長定理. （3）中垂線、外接圓、外心. （4）內(nèi)角平分線、內(nèi)切圓、內(nèi)心、內(nèi)角平分線定理. （5）外角平分線、旁切圓、旁

3、心、外角平分線定理. （6）中位線、中位線定理、中點(diǎn)三角形及其性質(zhì). 5. 三角形的分類： （1）按邊的相等情況分：三邊不等的三角形、等腰三角形、等邊三角 形。 （2）按最大角的情況分：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。 6. 等腰三角形的判定與性質(zhì)、四線合一 7. 等邊三角形的判定與性質(zhì)、四心合一（中心） 8. 三角形元素之間的關(guān)系： （1）角與角的關(guān)系： 內(nèi)角和定理、 外角定理 角的性質(zhì)：范圉、關(guān)系. 最大角、最小角. 銳角三角形中任兩角的和 （2）邊與邊的關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三 邊.（“三胞胎”） （3）邊與角的關(guān)系：（“三胞胎”） 對(duì)邊與對(duì)角的大小關(guān)系：在三角形中

4、，大邊所對(duì)的角也較大，相 等兩邊所對(duì)的角也相等，反之也真. 正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦之比都相 等，都等于該三角形外接圓的直徑. 余弦定理：在一個(gè)三角形中，任何一邊的平方都等于其他兩邊的 平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的乘積的二倍. 射影定理：在一個(gè)三角形中，任何兩邊在第三邊上的射影之和都 等于第三邊. （4）直角三角形的性質(zhì)： 勾股定理 兩個(gè)銳角的關(guān)系 銳角的三角函數(shù)（邊與角的聯(lián)系）. 含30o角的直角三角形的性質(zhì) 斜邊上的中線長等于斜邊長的一半. 9. 解三角形：根據(jù)三角形中已知的元素求其它未知的元素，叫解三角形. 10. 三角形面積公式： (1) Sy =譏=処=九

5、 = Jp(P_a)(P_b)(p_c)=豊 (2)若 AB =(西,x), AC = (x2,y2),則 SBC =1 xxx2 一yy21. (3) 若 AB = c,AC=b ,則 Swc = 1j|2|c|2(c)2 . 2 tan(A + B) = tanC (2) sin( A + B. 2 C =cos 2 ；Cos(t) = sill 2 2 tan(A) = _tan 2 2 1.正弦定理： = 2/?(/?為AABC外接圓半徑)。 sin A sin B sinC 2.余弦定理：a1 2 3 =b2 +c2 - 2bccosA ； b =a2 +c2 -2accosB : 3.射影定理：a =bcosC + ccosB : b = acosC + ccosA : c = acosB + bco