均值不等式的證明方法

1、m話會視也要A*真令冊=X,兒=兀；兀泊=兀心=，9E+勺+7、a柯西證明均值不等式的方法by zhangyuong （數(shù)學(xué)之家）本文主要介紹柯西對證明均值不等式的一種方法，這種方法極其重要。一般的均值不等式我們通?？紤]的是觀G/一些大家都知道的條件我就不寫了X +；G + + 心 i= 步 ，兀r我曾經(jīng)在兒個重要不等式的證明中介紹過柯西的這個方法，現(xiàn)在再次提 二維已證，四維時：a + h + c + d = (a + h) + (c + d) 2y + 2yf 4J Jabd = 4劉abed 八維時：(a + h + c + d) + (e + f + g + h) 4劉 a bed +

2、4 冷 efgh Sabedefgh這樣的步驟重復(fù)門欠之后將會得到Xy+X+ . + X.2-= 咿宀叫貢內(nèi)9S山這個不等式有2”A = A +（2 j）A 玄心兀a = g心兀尹A即得到匕+Xr +心I= *兀吃J這個歸納法的證明是柯西首次使用的，而且極其重要，下面給出兒個競賽題 的例子例/： 1 ”若0 a- 7t-i 1一4-.-1一(吧氣)。例2： In若斤1(/ = 12丿)證明nJ-I K + 1i +(u這2個例子是在量在不同范W時候得到的結(jié)果，方法正是運用柯西的歸納 法:給出例/的證明:ny0(1 Ja“)(2 -6/, 一 a J 2(1 q )(1 偽)1-6 1-6 1-

3、7i殳 =a, +3 =禹石O(l-q)(2-)2(l-p + 2)O p-2q + pq 2q O /?(! + q) 2?(q + l) O 2q,而這是2元均值不等式 因此1H1N 2(, H/1 _ q 1 - “2 1 _ 1 _ “41 - Jag 1 - Jag將此過程進行下去1_ “2導(dǎo)42 1心1 一 41 Z廬1-(叩2幻)因此乞 令“心=4“2 =匕2 =(0禺2角) =G2 1 1 有y!+(2”-)一!一Z幺1_41-G掃丄 1-G1-(G”G 嚴)-例M：已知5個實數(shù)斥d fi都 1(1 M f),記/?=丄工/jyS =-y 5r = lyz,.,c/ = iy,

4、v=-yvp求證下述不等式成立:嚴加+1 n嚴W+1!$ 網(wǎng)S - r RSTUV -1n要證明這題，其實看樣子很像上面柯西的歸納使用的形式其實山均值不等式，以及函數(shù)/（x） = ln是在左上單調(diào)遞減 ，-1因此RSTUV 蝦蝦軒?打?=（巾皿3 i/ri怡也片+1阿UV + 5 陽RSTUV-V _征pH也片一 1我們要證明： fj （伯也嶺+ 1） 協(xié)曲3 +-心莎6證明以下引理：h斗（徑2）”m話會視也真“ =2時，0（4）（匕）織怛+召 一1 *2 1 丁牡-1令A(yù) = &血 e A（X|X +1 + %, + A ） +（A| +X, + 1 +）-2A（X也 +X| +X + 1）

5、 A（X,X, +1-X| -A） + （l + X|A -X, -X,）+2A（XX +1-X, 一xjo （A- + 1）（X,A +1） 2A（xx, +1）顯然成立因呦汙斜f2-flGG 丁2Gph -貢內(nèi)9SG + fG-r” x+l 環(huán)+ 因此 riT）n（+）八滬所以原題U也證畢了這種歸納法威力十分強大，用同樣方法可以證明如如八XJ + /E）*（土竺I）,則四維:2/（和 +/g） +/（勺）+/（耳）n 2/（號I） + 2/（筈3 2 4/（匕寧一直進行J 欠有心）+他）+.+心*嚴”七22”人%1 +X, +兀（一小9/n 八hU 一鼻一一 Z12有 g + .） + （2J0） X 八半二鳴=/所以得到 /（州）+ /（勺）+/（&）/（兀1+勺+兀所以基本上用知則證明的題B都可以