含絕對值的不等式

1、含絕對值的不等式【學(xué)習(xí)要求（1）理解并掌握解含絕對值的不等式的基本思路是化去絕對值符號，轉(zhuǎn)化為不含絕對值符號的不等式（或不等式組）來解。（2）弄懂去絕對值符號的理論依據(jù)，掌握去絕對值符號的主耍方法，會(huì)解簡單的含有絕對值的不等式。重點(diǎn)難點(diǎn)1. 實(shí)數(shù)絕對值的定義:這是去掉絕對值符號的依據(jù)，是解含絕對值符號的不等式的基礎(chǔ)。2. 最簡單的含絕對值符號的不等式的解。若a0時(shí)，則IXIa O xa注:這里利用實(shí)數(shù)絕對值的幾何意義是很容易理解上式的，即HI可看作是數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)P（x） 到原點(diǎn)的距離。3. 常用的同解變形i f（X）|g（X） O -g（X）f（X）g（X） O f（Xg Cx）:I f（X）

2、I CI 時(shí)）0 （當(dāng) 3=0 時(shí)）-a （當(dāng)go時(shí)）評注：絕對值的概念是分類定義的，因此，在解決這類問題時(shí)，必須要分類討論。例2：型如：xa,（其中a0）不等式的解法。探路：利用不等式的乘方法則或絕對值意義均可。解；當(dāng)a0時(shí)，x|aOO -axa O xa或x0）和ix|a. （a0）的不等式可以利用平方法化為關(guān)于x的二次不等式來解：也可以利用定義法來解.均可求得它們的解集。今后，耍熟記kYa（a0）的解集為一axa或xa是十分重耍的。例 3：由定理一“ a| |b|W a+b W|a| + |b|” 導(dǎo)出定理j |a |b|W ab|Wlal+lbr探路：利用“代換法”證明J 由定理可知a

3、| b W |a+(b) IW |a|十I b| 即 |a| |b| Wabl Wlahlbl評注：關(guān)于和、差、積、商的絕對值與絕對值的和、差、積、商，有下商性質(zhì)。(1)a b| = |a| b :I-.(2) b I 糾，(bHO)；(3)a| b|W a+b W|a| + |bh(4) |a| |b|W ab I I a： + |b|例4：不等式1 尸勺-3 |1的解集是（(A)x 5x16；(B) x|6x18(C)x 7x20；(D) xi8x22探路:根據(jù)不等式的性質(zhì)if Cx）aO af （xXaf （a0）求解。解:I Jx2 3|1 O _1厶 - 2 一310 2x- 24O

4、 4x216 O 6xl&即x 6x故應(yīng)選擇（B評注：本題考查含絕對值不等式的解法。例5：解不等式3x+2| + |x-2t4探路:含多個(gè)絕對值符號的不等式，利用零點(diǎn)、分區(qū)間、討論法。2x=解；由 3x+2=0 得 3 ；由 x-2=0 得 x=2, /-I原式-牛3或 3兀十 2 -（X - 2）4 或3x + 2 + X- 2 4Hi號心Ox-1 或 0xW2 或 x2評注:O x0故原不等式的解集為x】一 1或x0解含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對值符號的不等式，般釆用零點(diǎn)、分區(qū)間、討論法：即先求Hi使每個(gè)含絕對值符號的解析式值等于零的未知數(shù)的值，將這些值依次在數(shù)軸上標(biāo)注出來，它們把序軸分成若干個(gè)

5、區(qū)間，討論每個(gè)絕對值符號內(nèi)解析式在每個(gè)區(qū)間上的符號，去掉絕對值符 號.轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不等式去解。分類討論思想、解關(guān)于X的不等式，若對X討論，所求不等式的解集是各種情況所得解集的并集。第二階梯例h解下列不等式(1) J3;r-2 -2|W3：(2) |x-3x4探路：當(dāng) a0 時(shí)，有!f(X) WaO aWf (xWa： If (xi aO f (x) a 或 f (x)4 或 x3x 0 或 xJ3x+40解 x-3x-40t 得 x4：解 x-3x+4 得 x W 0原不等式的解集是x或x4。評注:依據(jù) a0, xR 時(shí)，有；xia axaO xB或xa可知，去掉絕對值符號的主要方法，為

6、f(x)|a-af(x)(a0):f(X)iaO f(X)a 或 f (x) 0)例2解下列不等式(1) x9丨 Wx+3；ia (a0)探路：根據(jù)實(shí)數(shù)絕對值的意義，即去掉絕對值符號.再行解之fx-9 0解；原不等式O (I) 1兀2-9卄3或(II八9 0 -(宀9) 3工3不等式組 1) O 卜Ox二一 3 或 3WxW4；-3 0r-x-12 0,2-3 3V4 Ox二一 3 或 2WxW4。原不等式的解集為X x=-3或2WxW4評注:解含絕對值符號不等式的基本方法是去掉絕對值符號.然后再解:去絕對值符號的常用手段有三種，即根據(jù)實(shí)數(shù)絕對值的意義去絕對值符號：根據(jù)不等式性質(zhì):去絕對值符號

7、，在這里不必考慮g(x)的符號問題：也可以根據(jù)ia(aeR),將不等式兩邊平方，此時(shí)耍注意不等式兩邊平方的條件。I宀上Iii)2 2x：探路:fCx) g(x)O f(x)g(x)或f Cx)-g(x)(請同學(xué)們H接使用證明略)解：原不等式O 22x或 2 -2x：宀丄 必誣由 22n,得* 2 或 X 22 1- 2 - 2 + -/sX - 由 2 2xt 得 2x2-2“2 4=苗原不等式的解集為X X 2評注：熟練應(yīng)用f(x)|g(x) f(x)gCx)或f(x)g(x)”解不等式是介紹此法的目的,只求會(huì)用，不必證明。例3：解下列務(wù)不等式探路:利用只2將原不等式化為關(guān)于kl的含絕對值一

8、次不等式,先求出lx!的取值范圉,再求X的取值范圉。解：Vx= x 原不等式o|l訂-2|劑-2卜10-1勻訂-2|兀|-2O 0%|2-2| 引-3Oo0x|+l)(|x|-60 1(|a|-1-72)-(|;v|-1+72)001 +屁|水3原不等式的解集為L3T-QU1 + 3評注：對上面介紹的五種去抻絕對值符號的方法，不要疔目套用，耍分析題目的結(jié)果特征，選擇解題的最佳途徑是我們要培養(yǎng)的基礎(chǔ)功。(ii)| 卄 3|-|兀-3| 3探路：；不等式兩邊均為非負(fù)數(shù)可以利用“平方法”解：；不等式兩邊都是非負(fù)數(shù),不等式兩邊分別平方，得整理得2 + 9 2以2 9(x*3)2 +(天.3)2 -2|

9、 工-9|9,又此不等式兩邊都是非負(fù)數(shù),兩邊分別平方，得(2兀2+9)2 4(F9)整埋，得 4?3x| X 或;C 原不等式化為丨-X-3+X-313丁此不等式恒成立，Ax-3(iii)當(dāng)-3x3,x X 或;c )求(i)、(ii)、(iii)的并集，得原不等式的解集為22第三階梯?pr-1A = xx-a 2, 0=x|L_Ll例1：設(shè)集介天+ 2若A B,求實(shí)數(shù)a的取值范探路：分別解絕對值不等式，分式不等式，化簡集介A, B,再將集介的包含關(guān)系轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的不等式組，求a的取值范圉。注意此時(shí)應(yīng)包抬端點(diǎn)。J JT 2張 2 ?解：ixa|C2O -2x-a2a-2xa+2,2x- 12

10、入-1x-3AA=x a-2xa+2; x +JV 十 2 -j/oO x + 2OO (x+2) (x-3)0-2x3AB=x -2x-2TAUB,評注:本題考查的方向是求滿足條件實(shí)數(shù)a的収值范圉：考査的知識點(diǎn)為：絕對值不等式，分式不等式的解法以及集合的知識：考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，必須扌禺11的是集合的包介關(guān)系，可 恵觀地解釋為數(shù)軸上區(qū)間的覆蓋關(guān)系，從而將集合的包含關(guān)系轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的不等式組，求得a的取值范圉。例2：求證：樹，仏詢用綜合法不易得手時(shí)，可從結(jié)論分析入手，逐步尋找使前個(gè)不等式成立的充分條件或充要條件。證明：原不等式=(J1+/ -亦孑？ ( -&)=2+2 +厶2 -27(1

11、+0)(1a-2ab+b=J(l + a2)(i + b2)1 恤=0十衛(wèi))(1十滬)十2必十衛(wèi)耳 2ab5屮*滬2妙成立原不等式成立。評注:本題考査用分析法證明不等式，是對課本。例4,證明方法的挖潛，；每個(gè)不等式都是前個(gè)不等式成立的充分條件或充箜?xiàng)l件，W而相鄰兩個(gè)不等式之間要用反向單箭頭（農(nóng)示后個(gè)不等式是前個(gè)不等式成立的充分條件，或用雙向箭頭（農(nóng)示后個(gè)不等式是前個(gè)不等式成立的充要條件）連結(jié)。也可以用需證”、即證”等語句連結(jié)。通過練習(xí)，落實(shí)數(shù)學(xué)思想和方法。例3：已知a I 1, I b |試比較i a+b + | a-b 與2的人小。探路:要比較人小的對彖含有絕對值符號，.可聯(lián)想算術(shù)平方根，對

12、其進(jìn)行變形，再利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行放縮處理。解.4|a+b|+|a-&|如+糾 + |糾)2 松2 +2耳 +22 初 |(i)當(dāng)IQ 21 糾時(shí),/ = J2? +易2 十2? -2滬=/5盯=2| Q | 2;(ii)當(dāng)I a |糾時(shí)，/ = J2/ +2滬 +2滬-2屮= 2|h| 2; 故|a+糾+ B-創(chuàng)2成立.評注:對于含有絕對值符號的比較人小問題，可視為絕對值不等式的證明，要結(jié)合絕對值不聲式的性質(zhì)，利用放縮等方法解決問題。探路：本題也可以按a與ab的符號分類討論，解答問題。解:Ci)當(dāng)a+b與a-b同號時(shí)，有山|2|糾時(shí),蟲.丿2/ + 2&2+2?-202 7.2|aK 2,C

13、ii)當(dāng)a+b與a-b異號時(shí)，有|幺|9|時(shí)乂 =丿22 +22 +2/)2 -22 = V = 2|i| 2;(iii)當(dāng)a+b與a-b至少者為零時(shí).結(jié)論顯然綜上所述：1 a+b I + |a-b |2評注.I a 1=1 I + |糾O 血 2 0I dB FI 3 I + I b |O 3h 0僅供參考.不必深完。例 4：設(shè) a0,且 aHl,解關(guān)于 x 的不等式I bg/S - 2 |-| log X-21 2探路：利用同底法”。log log “ log 占log 屆= 2 log M解:原不等式 O| 21ogx-2|-|log,x-2|2Ci)當(dāng) Oa 3(2-21ogjr) +

14、 Clog,x-2)2或(H)(2 log a X - 2) - Qog - 2) 2 Joe或(III) (21ogaX-2)-(Qg4X-2) 2C? x 5- 解不等式組（I）,得 ;解不等式組（II）,得l 時(shí)原不等式0(1)1(2 - 21og/) + Qog/-或（II）(21og,x-2)-Cog,-2)2或(III)絹山 - 2) - QogM-?K2- X l來決定對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性：在對數(shù)不等式變換為代數(shù)不等式時(shí)，決定不等號的方向是否改變；一是決定 所得代數(shù)不等式的解集，還需指出的是，對數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)镽的制約作用也不可忽視。第四階梯例解不等式|xMx-l|4解：-4s+4x

15、-l-4片24敢*30卜 一3或0卜2 +敢-$0 o(火XC 0-5伙-3或-心0O-3xl 或 x3 Oxl 或 x3。即原不等式的解集（-8, 1） u 3, +8）。2x*3例3.解不等式1ICl|2*3|-1|(2)解:or小。(2) Oi2x+3| 運(yùn)O (2計(jì) 3 產(chǎn)(x-L)運(yùn) 0 O (2 寸卜寸 1) (2計(jì)31) WO2O(X+4) (3x+2)W0, O4WxW- 3(3) OxHl2原不等式的解集為-4, - 3 例4解不等式|x+l| + |x-2| （2, +8）從而可將不等式化為三個(gè)不等式組。求它們的解集的并集即可解:將不等式化為三個(gè)不等式組k-l(I) lX(

16、igo2xr(II)-1a2(III) (Ir2C5 o2x3。原不等式的解集為（-2廠Du-b2U（2,3）,即（-2, 3） 例5.解不等式|x+1| + Ix-2!1 (x+l)-(x-2) 1=3. ：原不等式無解。說明:本題沒有采用例4的解法.而是利用三和形不等式總接判斷出結(jié)果.它提示我們今后 解這類問題，應(yīng)先判斷。例 6.已知:|a| |b|lc 求證：證法1：欲證只需證丨1*必11,只需證I a+bI 11+ab ,只需證(a+b)(l+ab) 只需證(a+b)-(l-ab)0,只需證(a+b-ab-l) 0,只需證-(a-l) Cb-l) 0a|l, |b|lo Aal,HP

17、a-l0, b-KOo 式成立,A原不等式成立。證法2：欲證，只需證只需證d + b(15+1(1 51) 0,只需證- +1)(6+ 1)(4 7)(6-1)只需證a *40)20,只需證-2Q 如0a|l, |b| /. 0,1+出0, a * 1)0 * ”2)NO。X215-XIX2XIlUL 汶，即 112 N lUL設(shè) x：=|a+b|,x；= a| + |b| If 糾參考練習(xí):1.解不等式|x訂3x-8 WlO。2.解不等式Ix+7I- x-2丨3。3.解不等式4.解不等式Iog5xl+ logs(3-x)丨 Ml。sinx + 35. 求嚴(yán)血X-2的值域。6設(shè) f(x)=x+

18、ax+b 是整系數(shù)二次三項(xiàng)式，求證:if(l)| 2,f(2)| 2 , |f(3)| 2 ,不可能同時(shí)成立。S7.已知|x| 3 ty| 懇|z|0) 求證：Ix+2y3z| C 參考答案:I. -6, -2 U -1 S；2. (-8, -1)；23. 3 , 2) U (6, +8):4.提示:首先求定義域（0, 3） O其次求出二零點(diǎn)1, 2。分三個(gè)區(qū)間（0, 1,（1, 2,9（2, 3）解即可。解集（0,4）u 4 , 3o2尸律3725.提示:可用反解法解出sinx二7 則解不等式 IiWi 得 ywl, -3。6提示:用反證法略證:假設(shè);1+a+bI25B. x 2 或 x-

19、25C. x-2D. x52 C. -5x73解關(guān)于X的不等式x-2ax-a+l()WxWa4. 解不等式2=2 或 13C.1X3=-25,解不等式：3Sb-2x|C9A.21 或 4S7B.-2xlC.4x0 就可以了。2分析J百先尋找零點(diǎn)，就是X-2R利X+2U0,得到x=2和x=-2。然后分x-2和-2WxW2和2幺三個(gè)區(qū)間分別去抻絕對值符號求解。注：也可取特殊值代入驗(yàn)證：0滿足不等式.所以解集中應(yīng)該有0,扌II：除A、D：再代入-5 驗(yàn)證。3分析：原不等式等價(jià)于x-2ax+aWl。/原不等式的解集為aTWxWa+1。4分析：原不等式0-陽2）宀4卄2宀4-（天+ 2）宀x-60I-2

20、a3 =1*1 今x| X -滅1入35分析：原不等式03傘5（90-925-域325-2 vxl或4x7絕對值不等式內(nèi)容歸納U含有絕對值的不等式的性質(zhì)(1) |a|-| b I W |a*b I W |a|*b|證明：T -aiaIaL Tb|WbW|bh/ (la *;b )WabW(|a|”b|),a+bIWla +b|又 a=a+b-b, |-b|=|b|/由得 I a I = I a+b-b | W !a-bK|-b|.即 laFIbl W |a+b|由得 |a|Tb| W| a+bl W |a| + |b|由以上定理很容易推得以下的結(jié)論:(2) IaI-!b I |a-b | W

21、|a|+ b|(3) ! ai+a；+as I | a： + aa | + i as2幾個(gè)基本不等式的解集(1) |x|aO -ax0)(2) |x|aO xa 或 x-a(a0)(3) I x-m ； 0) O -ax-ma O iii-axa(a0) O xna 或 x-m-a Oxm+a 或 x 0) 0(fl = 0)fl亠由定義可知：|ab|=|a| IbL “114絕對值不尊式的解法（1）解含有絕對值不等式的基本思路，絕對值符號的存在是解不等式的人障礙。W此如何去押i絕對值符號使其轉(zhuǎn)化為等價(jià)的不含絕對值符號的不等式是解決這類問題的關(guān)鍵，常采取劃分 區(qū)間逐段討論，從而去掉絕對值符號轉(zhuǎn)化為般不等式，或利