新高考)2021屆高中數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)7.4.3圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值與存在性問題學(xué)案

1、7.4.3圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值與存在性問題必備知識精要梳理圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、存在性問題1. 圓錐曲線中定點(diǎn)問題的兩種解法(1) 引進(jìn)參數(shù)法:引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與 參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系，找到定點(diǎn).(2) 特殊到一般法:根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無 關(guān).2. 圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略(1) 求代數(shù)式為定值依題意設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式,代入代數(shù)式、化簡 即可得出定值；(2) 求點(diǎn)到直線的距離為定值利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題 設(shè)條件化簡、變形求得；(3) 求某線段長度為定值利用長度

2、公式求得解析式，再依據(jù)條件對解析式進(jìn)行化簡、 變形即可求得.3解決存在性問題的注意事項(xiàng)存在性問題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則 不存在.(1) 當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)耍分類討論；(2) 當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件；當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法解題很難時(shí)，耍開放思維，采取另外合適的方法. 關(guān)鍵能力學(xué)案突破熱點(diǎn)圓錐曲線中的定點(diǎn)問題【例1】(2020全國/,理20)已知分別為橢圓務(wù)+尸二1(。1)的左、右頂點(diǎn),G為E 的上頂點(diǎn)M GB=S.P為直線*6上的動(dòng)點(diǎn),PA與E的另一交點(diǎn)為C.PB與E的另一交 點(diǎn)為D(1) 求的方程；(2)

3、證明:直線CQ過定點(diǎn).解題心得證明克線或曲線過定點(diǎn)，如果定點(diǎn)坐標(biāo)沒有給出，一般可根據(jù)已知條件表示 出直線或曲線的方程，然后根據(jù)方程的形式確定其過哪個(gè)定點(diǎn);如果得到的方程形如 ./Uy)+2gg)：=0,且方程對參數(shù)的任意值都成立，則令匕筒器 解方程組得定點(diǎn).【對點(diǎn)訓(xùn)練1】（2020山東臨沂二模,21）已知橢圓C:呂+音二1（計(jì)0）的離心率為頁 其左、右焦點(diǎn)分別為鬥用,點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)J1I麗I弓兩 pK=o為坐標(biāo)原 點(diǎn).（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)M為橢圓C的左頂點(diǎn)川.B是橢圓C上兩個(gè)不同的點(diǎn)，直線MAMB的傾斜角分別為Ji證明:直線AB恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).熱點(diǎn)圓錐曲線中的定

4、值問題【例2】（2020山東泰安三模,21）已知橢圓咅+呂二1（說0）的右頂點(diǎn)為人上頂點(diǎn)為B.O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)O到直線AB的距離為晉, OAB的面積為1.(1) 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2) 直線/與橢圓交T C.D兩點(diǎn)，若直線/直線AB.設(shè)直線AC.BD的斜率分別為燈局,證明:hd為定值.解題心得定值問題常見的2種求法(1) 特例法:從特殊入手，求出定值,再證明這個(gè)值與變量無關(guān).(2) 引進(jìn)變量法:其解題流程為變址卜菇招苗詼蘇菇審蠢另巫因G |定值卜;冠畫矗忘藪花鬲，蘇藥漏藥乏風(fēng)【對點(diǎn)訓(xùn)練2】(2020山東淄博一模,21)已知橢圓C:召+咅二l(ab0)的短軸長為厶您左右焦點(diǎn)分別為鬥尺,點(diǎn)B是

5、橢圓上位于第一象限的任一點(diǎn)J1當(dāng)兩耳弓二0時(shí),i(1) 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2) 若橢圓C上點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對稱，過點(diǎn)B作BD垂直于a軸,垂足為D連 接AD并延長交橢圓C 丁另一點(diǎn)M,交y軸于點(diǎn)N.Wa ODN面積的最大值；i正明:直線與斜率之積為定值.熱點(diǎn)圓錐曲線中的存在性問題【例3】(2020山東、22)己知橢圓C:與+決l(ab0)的離心率為次11過點(diǎn)A(2J).(1) 求(7的方程；(2) 點(diǎn)M,N在C上J1AM丄AMAD丄MNQ為垂足證明:存在定點(diǎn)0使得ID0為定值.解題心得有關(guān)存在性問題的求解策略（1）存在性問題通常采用“肯定順推法，將不確定的問題明朗化其步驟為假設(shè)滿足條 件

6、的元素（點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù)）存在并設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程（組），若方程（組） 有實(shí)數(shù)解,則元素（點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù)）存在;否則，元素（點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù)）不存在.（2）反證法與驗(yàn)證法也是求解存在性問題的常用方法.（3）解決存在性問題時(shí)要注意解題的規(guī)范性，一般先作出結(jié)論，后紿出證明（理由）.【對點(diǎn)訓(xùn)練31 （2020山東泰安二模,21）已知橢圓C召+獸l（db0）的離心率e滿足2F-3屈+2二0,以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，橢 圓C的長軸長為半徑的圓與直線2r-y+4V5=0相切.（1）求橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)P（0,l）的動(dòng)直線/（直線/的斜率存在）與橢圓C相交于A.B兩點(diǎn)，問在y軸上是

7、否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)0,使得器=嚴(yán)恒成立?若存在，求出定點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存IQ6 sbpq在,請說明理由.7.4.3圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值與存在性問題關(guān)鍵能力學(xué)案突破【例11解由題設(shè)得A(w,O),%,O),G(O,l).則忌*,1)而=(a,l).由走麗=8 得圧1=&即心.所以E的方程為+/=1.證明設(shè)C(xi1),(X2,V2),P(6,r).若岸0,設(shè)直線CD的方程為x=my+n,由題意可知 -3ni(X2-3)=y2(A-i +3).由二警 + yi = 1,故疋二衛(wèi)2馬(人2-3),可得 27yij2=-(i+3)(x2+3),即(27+*)$1力+心+3)()訂+)2)+(”+

8、3)2=02將 x=my+n 代入-+y2= 1 得(m2+9)y2+2mny+n2-9=0.所以警為,)“2二篇為.代入式得(27+m2)(n2-9)-2m(n+3n+(n+3)2(m2+9)=0.匸0,則直線CD的方程為尸0,過點(diǎn)(|,0).綜上，直線CD過定點(diǎn)(|,0).對點(diǎn)訓(xùn)練1解設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(xojo),Fi(-c,O),F2(c,O),則PF=(-c-Ao,-yo),PF2 =(c-xo,-yo),由題意得解得宀3、仝.又心討宇, a=2. Z/?2=6/2-c2=1,Z所求橢圓 C 的方程為-+y2=.(2)設(shè)直線AB方程為y=kx+m,點(diǎn)、A、B的坐標(biāo)分別為 畑】)0(兀2曲由

9、方程組(%2 2 _4 9 得(4疋+1 )疋+8如1+4卩4=0,y = kx + mf8km4m2-4山+2喬7產(chǎn)心E又由a+0冷Ztana tan=l.設(shè)直線MAMB斜率分別為b,念則kki=y話為二1即(xi+2)(x2+2)=yy2,(x +2)(X2+2)=(Axi +m)(kx2+m). : (Q 1 )心也+伙“2)(X +X2)+m2-4=0, -: (2-1)4m2-44k2+1伽 J)(-船)+啟4二0,化簡得 20k2-16km+3tn2=Q.得“匸2化或7/?=yZr.當(dāng)m=2k時(shí),y=kx+2k,過點(diǎn)(-2,0),不合題意(舍去)，當(dāng)匸罟 時(shí),)+敦，過點(diǎn)(-，0)

10、,：直線AB恒過定點(diǎn)(罟0).ab ?字.因?yàn)?OAB【例2】解(1)直線A3的方程為寸+魯二1,即bx+ay-ab=0，則卩飛 的面積為1,所以彷=1，即=2,解得a=2,b=l,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為|+r=L(2)直線AB的斜率為士設(shè)直線/的方程為尸*+f,C(M,yi),D(X2j2),與令+尸=1聯(lián)立，消去X,得2)亠2+-1二0,則+$2=人陽2二羅,所以k伙2二彳士 葺=上呼,所以%2 xlx2x2MX22x2=4(/嚴(yán))(卜刃)4(卜 y2)=4/2-/|+y2)+yiy2f+y2=4(yi+y2)(yi+y2)(yi+y2)+yiy 2-(yi +y2)+yi =4(yiV2-

11、yi)-所以嵌今,為定值. 2 2對點(diǎn)訓(xùn)練2解設(shè)F2(c,0),由麗瓦可=0,得BF2丄F1F2,將x=c代入$ + g=l,得 尸L,即1521= = |，由b=/3,解得“二2,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為？ + -=1.aa Z43(2)設(shè)則 A(-xi,-yi),D(xi,O).易知ON為 ABD的中位線，所以N(0,今),所以 Sa ODNX- I =IXil-lil=XiV|.又滿足手+芻=1所以 +y =弓尋，得iyi V5,故5a oDN=xy亨,當(dāng)且僅當(dāng)# =務(wù)=亭時(shí)，即xi=V2,yi=時(shí)取等號， 所以O(shè)DN面積的最大值為字.I己直線AB斜率為k二扌伙0),則直線AD的斜率為僉諾

12、所以直線2的 方程為y=x-x由y = ow），消去”整理得(3+k2)x2-2k2xix+k2xl-12=0,由韋達(dá)定理得(m)+X2二近耳，所以X2二近辛+XI二仝學(xué).代入直線AD的方3+k3+k3+k?xy3程，得妒籌，于是，直線就斜率為翳=松廠二毘則n (喘)滲所以 直線與斜率之積為定值-|.2【例3】解由題設(shè)得召+擊二1$ = 解得宀6,丄3,所以C的方程為 + T=l-(2)設(shè) M(x j),N(X2J2)2m2-6若直線MN與x軸不垂直,設(shè)直線MN的方程為尸戀+心代入號+罟二1得 (1 + 22)%2+4kmx+2/7?2-6=0.工 s ,4Mn、疋W花嚴(yán)二存由AM丄AN知前

13、麗=0,故（2）（兀22）+（1）（戶1）=0,可得(Q+ 1 )X1X2 +伙 M2)(xi +X2)+ (2 1 )+4=0整理得(2k+3加+1)(2*+滬1)=0.因?yàn)锳(2,l)不在直線MN上,所以2+處1丸,故 2+37+1=0,好1于是MN的方程為y=/x-|）首（好1）.所以直線MN過點(diǎn)H|,申若直線MN與x軸垂直，可得M-Vh-yi）.由麗麗二0 得（x1-2）（xI-2）+（yi-l）（-yI-l）=0.又羊 + y= 1,可得 3xf -8xi+4=0.解得 xi =2（舍去）ki =|.此時(shí)直線MN過點(diǎn)P（|,-|）.令0為AP的中點(diǎn)，即Q（怨）若D與P不重合，則由題設(shè)知AP是RtA ADP的斜邊，故1）01二扌14円二攀若D 與 P 重合，則DQ=AP.綜上,存在點(diǎn)。（?扌），使得QQI為定值.對點(diǎn)訓(xùn)練3解由題意知2“=穿件.：（匸2.由2宀辰+2=0,解得芋或 e=V5（舍），即彳=舟，:c二近,：/?二竝橢圓C的方程為+ y=l-假設(shè))，軸上存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q,使得溜=泮恒成立.IQ6 Ubpq設(shè) C(O,/n)(/771 )4(A1 I),B(x2J2),直線/的方程為 y=kx+l.%2 y2由 T + T 4 可(2k2 +1 )7+4-2=0, - S xi +xi=,x