全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試試題

1、精品文檔2013 年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試試題一填空題：本大題共8 小題，每小題8 分，共 64 分。1.設(shè)集合 A2,0,1,3 ，集合 BxxA,2x2A ，則集合 B 中所有元素的和為2.在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，點(diǎn) A、 B 在拋物線 y24x 上，滿足 OA OB4 ，F(xiàn) 是拋物線的焦點(diǎn)，則 S OFASOFB=3.在 ABC 中，已知 sin A 10 sin B sin C ,cos A10 cos B cosC ，則 tan A 的值為4.已知正三棱錐P ABC 的底面邊長(zhǎng)為1，高為2 ，則其內(nèi)切球半徑為5.設(shè) 、為實(shí)數(shù)，函數(shù) f ( x)axb 滿足：對(duì)任意x 0,1 ，有f

2、 ( x)1，則 ab 的最大a b值為6.從 1,2,20 中任取5 個(gè)不同的數(shù)，其中至少有2 個(gè)是相鄰數(shù)的概率為7.若實(shí)數(shù) x， y 滿足 x4 y 2xy ，則 x 的取值范圍是8.已知數(shù)列an 共有 9 項(xiàng)，其中 a1a91，且對(duì)每個(gè) i1,2, ,8 均有 ai12,1,1 ，ai2則這樣的數(shù)列的個(gè)數(shù)為二解答題：本大題共3 小題，共56 分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。9.（本題滿分 16 分）給定正數(shù)數(shù)列 xn滿足 Sn2Sn 1 , n2,3, , 這里 Sn x1xn .證明：存在常數(shù)C 0,使得xn C 2n ,n1,2,10.（本題滿分20分）在平面直角坐標(biāo)系x

3、Oy中，橢圓的方程為x2y21(ab 0) ，a2b2A1 , A2 分別為橢圓的左、 右頂點(diǎn)， F1 , F2 分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，P 為橢圓上不同于A1和 A2的任意一點(diǎn) .若平面中有兩個(gè)點(diǎn) Q, R 滿足 QA1PA1, QA2PA2 , RF1PF1, RF2PF2,試確定線段 QR 的長(zhǎng)度與 b 的大小關(guān)系，并給出證明。11（.本題滿分20 分）設(shè)函數(shù) f ( x)ax 2b ，求所有的正實(shí)數(shù)對(duì)(a, b) ，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)x, y均有 f ( xy)f (xy)f ( x) f ( y).精品文檔2013 年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽加試試題一（本題滿分40 分）如圖， AB 是圓的一

4、條弦， P 為弧 AB 內(nèi)一點(diǎn)， E、F 為線段 AB 上兩點(diǎn)，滿足AE =EF =FB .連接 PE、 PF 并延長(zhǎng)，與圓分別項(xiàng)交于點(diǎn)C、 D.求證：EF CDAC BD(解題時(shí)請(qǐng)將圖畫在答卷紙上)二（本題滿分40 分）給定正整數(shù)u、v.數(shù)列an 的定義如下：a1uv ，對(duì)整數(shù) m1，a2mamu,a2m 1amv.記 Sm a1 a2am (m 1,2, ) .證明：數(shù)列 Sn中有無窮多項(xiàng)是完全平方數(shù)。三（本題滿分50 分）一次考試共有m 道試題， n 個(gè)學(xué)生參加，其中 m,n 2為給定的整數(shù).每道題的得分規(guī)則是：若該題恰有x 個(gè)學(xué)生沒有答對(duì)，則每個(gè)答對(duì)蓋提的學(xué)生得x 分，未答對(duì)的學(xué)生得0

5、 分 .每個(gè)學(xué)生的總分為其 m 道題的得分總和 .將所有的學(xué)生總分從高到低排列為 p1 p2pn ，求 p1 p2 的最大可能值。四（本題滿分50 分）設(shè) n, k 為大于 1 的整數(shù)， n2k.證明：存在 2k 個(gè)不被 n 整除的整數(shù)，若將他們?nèi)我夥殖蓛山M，則總有一組有若干個(gè)數(shù)的和被n 整除。.精品文檔五2013 年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽一試試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說明：1.評(píng)閱試卷時(shí)，請(qǐng)依據(jù)本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)。填空題只設(shè)8 分和 0 分；其他各題的評(píng)閱，請(qǐng)嚴(yán)格按照本標(biāo)準(zhǔn)評(píng)分檔次給給分，不要增加其他中間檔次。2.如果考生的解答和本解答的不同，只要給合理的思路、步驟正確，在評(píng)卷時(shí)可參考本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔

6、次評(píng)分，解答題中第9 題 4 分為一個(gè)檔次.第 10、 11 小題 5 分為一個(gè)檔次，不要增加其他中間檔次.一填空題：本大題共8 小題，沒小題8 分，共 64 分 .1.答案： -5【解答】易知 B2,0, 1,3.當(dāng) x2,3時(shí)，2x22, 7，有 2x2A ；而當(dāng) x0, 1時(shí)， 2x22,1，有 2x2A.因此，根據(jù) B 的定義可知 B2,3.所以，集合 B 中所有元素的和為 -5.2.答案： 2【解答】點(diǎn) F 的坐標(biāo)為（1,0） .設(shè) A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，則 x1y12, x2y22，故444 OA OB = x1x2y1 y21 ( y1 y2 )

7、2y1 y2即 1 ( y1 y2168)20 ，故 y1 y2816S OFAS OFB(1 OFy1 ) ( 1 OFy2 ) =2y1 y2 =21 OF2243.答案： 11【解答】由于 sin Acos A10(sin B sin Ccos B cosC )10 cos(BC )10 cos A ，所以 sin A 11cos A ，故 tan A1124.答案：6【解答】如圖，設(shè)球心O 在面 ABC 與面 ABP 內(nèi)的攝影分別為H 和 K，AB 中點(diǎn)為 M，內(nèi)切球半徑為 r,則 P、 K 、 M 共線，PHMPKO，2且 OHOKr , POPHOH2r , MH3 AB366.P

8、MMH2PH 2= 215 3,于是1262解得： r65.答案： 14【解答】易知 af (1) f (0), bf (0)，則ab f (0)( f (1)f (0)( f (0)1f (1) 22當(dāng) 2 f (0)f (1)1 即 a1b時(shí)， ab2精品文檔rOKMH12 rsinKPO5POPM1 ( f (1) 21 ( f (1) 2144411，故 ab 的最大值為442326.答案323【解答】設(shè) a1a2a3 a4a5 取自 1,2, ,20 .若 a1, a2 ,a3 , a4 ,a5互不相鄰，則1 a1a21 a32 a43 a5 4 16由此可知從 1,2,20 中取

9、5 個(gè)互不相鄰的數(shù)的選法與從1,2, ,16 中取 5 個(gè)不同的數(shù)的選法相同，即 C165 種.所以從 1,2,20 中任取 5 個(gè)不同的數(shù)，其中至少有2 個(gè)是相鄰的概率為：C205C1651C165232C205C2053237.答案： 04,20【解答】 令ya, x y b(a,b 0) ，此時(shí) xy( x y)a2b2，且條件中等式化為 a2b24ab ，從而 a, b 滿足方程： (a 2) 2(b1) 25( a, b0).精品文檔如圖所示，在 aOb 平面內(nèi)，點(diǎn) (a, b) 的軌跡是以(1,2) 為圓心，5 為半徑的圓在 a, b0 的部分，即點(diǎn) O 與弧 ACB 的并集，因此

10、a2b20 2,25 ，從而x a 2b20 4,208.答案： 491.【解答】令 biai 1(1i8) ，則對(duì)每個(gè)符合條件的數(shù)列88ai 1a91aian ，有biaia1i1i 1且 bi2,1, 1（ 1i8 ）2反之，由符合條件的8 項(xiàng)數(shù)列 bn可能唯一確定一個(gè)符合題設(shè)條件的9 項(xiàng)數(shù)列 an。記符合條件的數(shù)列bn的個(gè)數(shù)為 N，顯然 bi (1 i 8)1，即 2k 個(gè)1中有偶數(shù)個(gè)2；繼2而有2k個(gè) 2，4k個(gè) 1.當(dāng)給定 k 時(shí)，bn2k2k種，易見 k 的可能值只有： 0,1,28的取法有 C8 C8 2 k所以 N1 C82C62C84C441 281570 1 491因此，根

11、據(jù)對(duì)應(yīng)原理，符合條件的數(shù)列an 的個(gè)數(shù)為 491.二解答題：本大題共3 小題，共56 分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。9.【解答】當(dāng) n2 時(shí)， Sn2Sn 1 等價(jià)于xnx1xn 1對(duì)常數(shù) C1 x1 ，用數(shù)學(xué)歸納法證明：xnC2n , n1,2,4n1 時(shí)結(jié)論顯然成立 .又 x2x1 C22對(duì) n3 ，假設(shè) xkC 2k , k1,2, n 1，則由式可知xnx1( x2xn 1) x1(C 22C 2n 1) = C 2n.精品文檔所以，由歸納法可知上式成立。10.【解答】令 ca2b2 ，則 A1( a,0) ， A2 ( a,0) ， F1 (c,0) ， F2 (c,0

12、) .設(shè) P(x0 , y0 ) ，Q( x1, y1 ), R( x2 , y2 ) ，其中x02y021 ， y00 .由 QA PA1 , QA2PA2可知：a2b2A1Q A1P(x1a)( x0a)y1 y00 A2Q A2 P( x1a)( x0a)y1 y00將、相減得：2(x1x0)0 ，即x1x0，將其代入可得：x2a2y y 0a01故 y1x02a2，于是 Q(x0 , x02a2)y0y0根據(jù) RF1PF1, RF2PF2 ,同理可得 R(x0 , x02c2)y0因此 QRx02a2x02c 2b2y0y0y0由于 y0(0,b ，故 QRb （其中等號(hào)成立的充分必要

13、條件是y0b，即點(diǎn) P 的坐標(biāo)是(0, b) ）11.【解答】已知條件可以轉(zhuǎn)化為：對(duì)任意實(shí)數(shù)x, y ，有(ax 2 y 2b)(a( xy) 2b)(ax2b)(ay 2b) 先尋求ab所滿足的必要條件，在中令y0得： b(ax 2b)(ax2b)b、即對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，有： (1b) ax2b(2b)0由于 a0，故 ax 2 可以取到任意大的值，因此必有1b 0 ，即： 0b1在式中再令 yx ，得： (ax4b)b( ax2b) 2 ，即對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有( a a2 ) x42abx2( 2bb2 )0 將 式 的 左 邊 記 作 為 g( x) ， 顯 然 aa20 （ 否 則 ， 由

14、 a0 可 知 a1，此時(shí)g( x)2bx2(2bb2 ) ，其中 b0 ，故 g ( x) 可取到負(fù)值，矛盾） ，于是.精品文檔( a a2 )( x2ab2 ) 2(ab )2b2g( x)22baaa a= (aa2 )( x2b ) 21b(22ab)0對(duì)一切實(shí)數(shù) x 成立，從而必有： a a20 ，1aa即 0 a 1進(jìn)一步考慮到b0 ，再根據(jù)g(bb(22ab)0 ，可得： 2a b 211 a)aa1至此，求得 a,b 滿足的必要條件如下：0 b 1,0 a 1,2a b2 下面證明，對(duì)滿足的任意實(shí)數(shù)對(duì) ( a, b) 以及任意實(shí)數(shù)x, y ，總有成立，即：h( x, y) (a

15、a2 )x 2 y2a(1 b)( x2y2 )2axy(2b b2 )對(duì)任意 x, y 取非負(fù)值。事實(shí)上，在式成立時(shí)，有a(1b)0, aa20,b(22ab)01a再結(jié)合 x2y22xy ，可得：h( x, y) (aa2 ) x2 y2a(1 b)( 2xy)2axy( 2bb2 )= ( aa2 ) x2 y22abxy2bb2= ( a a2 )( xyb )2b (2 2a b) 01a1 a綜上所述，所求的正實(shí)數(shù)對(duì)( a, b)全體為 (a, b) 0b1,0a1,2ab 2.精品文檔2013 年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一【證明】連接 AD , BC ,CF ,

16、 DE.由于AE EFFB從而,BC sinBCEBE2AC sin=AEACE同理可得：AD sinADFAF2BD sinBDFBF另一方面，由于BCEBCPBDPBDFACEACPADPADF故將兩式相乘可得：BC AD4 ，即AC BDBC AD4AC BD由托勒密定理AD BCAC BDAB CD由得：ACCD3AC BD即： EF CD AC BD二【證明】對(duì)正整數(shù)n ，有S2 n 1 1 a1(a2a3 ) ( a4a5 )( a2n 1 2a2n 1 1 )= u v (a1u a1v) ( a2u a2v)(a2n 1 u a2n 1 v)= 2n (u v) 2S2n 1所

17、以 S n12n 1(u v) 2S n 112n 1 (u v) 2( 2n 2 (u v) 2S n 2)2221n 12= 2 2(uv)2 S2 n 2 1= (n1) 2n 1(uv)2n 1 (uv).精品文檔= (u v) n 2n 1設(shè) u v2kq ，其中 k是非負(fù)整數(shù)， q 是奇數(shù) .取 nql 2 ，其中 l 為滿足 lk 1(mod 2)的任意正整數(shù)，此時(shí)S2n1 q2l 22k 1ql 2，注意到 q 是奇數(shù)，故：k 1 ql 2k1l 2k1(k1)2k(k1)0(mod 2)所以， S n1是完全平方數(shù) .由于 l 有無窮多個(gè)，故數(shù)列Sn 中有無窮多項(xiàng)是完全平方數(shù)

18、。2三【解答】對(duì)任意的 k1,2,m, 設(shè)第 k 題沒有答對(duì)者有xk 人，則第 k答對(duì)者有 nxk 人，由得分規(guī)則知，這 nxk 個(gè)人在第 k 題均得到 xk 分 .設(shè) n 個(gè)學(xué)生的得分和為S，則有nmmmxk2piSxk ( n xk ) nxki1k 1k 1k 1因?yàn)槊恳粋€(gè)人在第k 道題上至多得xk 分，故mp1k 1xk由于 p2pn ，故有 pnp2p31pnSp1 ，所以nn1p1 pnp1S p1n 2Sn 2m1mm2n 1p1xk(n xkxk )n 1n 1 n 1 k 1n 1k 1k 1m1m= 2xk1 kxk2k 1n1m1m由柯西不等式可得：xk2(xk )2k 1m k 1m1mxk )2 =1mm(n 1)2于是 p1pm2 xk1)(xkm(n 1)k1m(nk 1m(n 1)k 1m (n1)另一方面，若有一個(gè)學(xué)生全部答對(duì)，其他n1個(gè)學(xué)生全部答錯(cuò)，則mp1pnp1(n1)m(n1)k 1.精品文檔綜上所述， p1 pn 的最大值為 m(n1)四【證明】先考慮 n 為 2