非線性方程組求根的牛頓迭代法

1、二元非線性方程組求根的牛頓迭代法摘要:本文根據(jù)一元函數(shù)的taybr公式和求解一元非線性方程的牛頓迭代法之間的關(guān)系,利用多元函數(shù)的taybr公式推導(dǎo)出了二元非線性方程組的牛頓迭代法;在此基礎(chǔ)上,通過ma tlab仿真計(jì)算一個(gè)方程組的根來說明該方法是可行的。關(guān)鍵詞:牛頓迭代法;一元函數(shù);二元函數(shù); taybr公式; matlab0 引言非線性方程的數(shù)值解法有逐步搜索法、區(qū)間二分法、迭代法、牛頓迭代法等, 那么, 對(duì)于對(duì)于非線性方程組,其牛頓迭代法的迭代方程是什么? 本文根據(jù)一元函數(shù)的taybr公式和一元非線性方程牛頓迭代法之間的關(guān)系,利用多元函數(shù)的taybr公式推導(dǎo)出了二元非線性方程組的牛頓迭代法

2、,在此基礎(chǔ)上利用推導(dǎo)出的二元非線性方程組求根的牛頓迭代法通過matlab仿真計(jì)算出一個(gè)方程組的根,檢驗(yàn)了所得方法的有效性。1基本定理、結(jié)論定理1 (一元函數(shù)的taybr公式)如果函數(shù)在含有的某個(gè)開區(qū)間內(nèi)具有直階的導(dǎo)數(shù),則對(duì)任一 ,有其中= ,這里是與之間的某個(gè)值。定理2 (二元函數(shù)的taybr公式)設(shè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且有直到階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 為此鄰域內(nèi)任一點(diǎn),則有 ,. 其中 表示定理3:一元非線性方程求根的牛頓牛頓法設(shè)已知方程f ( x) = 0有近似根 (假定f( ) 0,將函數(shù)f ( x)在點(diǎn)處展開,有f ( x) f ( ) + f( ) ( x -) ,于是方程f ( x) =

3、0可近似的表示為f () + f() ( x - ) = 0這是個(gè)線性方程,記其根為 + 1 ,則 + 1的計(jì)算公式為( k = 0, 1, )2二元函數(shù)的牛頓迭代法設(shè)z = f ( x, y)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且有直到2階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 為此鄰域內(nèi)任一點(diǎn),則有于是方程f ( x, y) = 0可近似的表示為即同理設(shè)z = g ( x, y )在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且有直到2階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 為此鄰域內(nèi)任一點(diǎn),則同樣有其中于是方程g ( x, y) = 0可近似的表示為即于是得到方程組求解這個(gè)方程組:當(dāng)時(shí)x =y =從而:記符號(hào)又可改寫為迭代公式為:通過迭代公式可迭代出當(dāng)k = 1, 2, 時(shí)

4、,的值,當(dāng)為給定的誤差控制項(xiàng))時(shí), 原方程組的根即為。這就是二元函數(shù)牛頓(newton)法。3方法應(yīng)用例給定方程組初始條件取為x = 1, y = 1, 用二元函數(shù)牛頓迭代法求此方程組的根。解:令,計(jì)算其偏導(dǎo)數(shù)如下其代入迭代公式可得:運(yùn)用matlab程序解得此方程組的根為:x = 1. 1572e - 005y = 1. 6094f = 8. 1770e - 006g = 3. 9235e - 005i = 5分析:初始條件取為x = 1, y = 1,可以換其他數(shù)值檢驗(yàn)。說明誤差在允許范圍內(nèi)! 其迭代次數(shù)為5,迭代速度比較快。參考文獻(xiàn): 1 馬東升, 雷永軍. 數(shù)值計(jì)算方法m . 北京: 機(jī)械工業(yè)出版社, 2001. 2 陳傳璋,金福臨,朱學(xué)炎,等. 數(shù)學(xué)分析(上冊(cè)) m . 北京:高等教育出版社, 1983. 3 陳傳璋,金福臨,朱學(xué)炎,等. 數(shù)學(xué)分析(下冊(cè)) m . 北京:高等教育出版社, 1983. 4 李海濤,鄧櫻. matlab程