初中數(shù)學(xué)拋物線與幾何專題訓(xùn)練及答案

1、全國各地中考試題壓軸題精選講座拋物線與幾何問題【知識縱橫】拋物線的解析式有下列三種形式： 1、一般式：y ax2 bx c(a工0； 2、頂點式：y =a(x h) 2-+ k; 3、交點式：y=a(x x i)(x x 2 )，這里 x 1、x 2 是方程 ax 2 +bx+c=O 的兩 個實根。解函數(shù)與幾何的綜合題，善于求點的坐標(biāo)，進(jìn)而求出函數(shù)解析式是解題的基礎(chǔ)；而 充分發(fā)揮形的因素，數(shù)形互動，把證明與計算相結(jié)合是解題的關(guān)鍵?！镜湫屠}】(0, t),點 Q (t, b)。平移(需站聽)【例1】(浙江杭州)在直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點A 次函數(shù)y tx2的圖象，得到的拋物線F滿足兩個條件：

2、頂點為Q ;與x軸相交于B , C兩點(I OB I I OC I ),連結(jié) A, B。(1 )是否存在這樣的拋物線F,OA0B| |0C ?請你作出判斷，并說明理由；3(2) 如果 AQ / BC,且tan/ ABO= ，求拋物線 F2對應(yīng)的二次函數(shù)的解析式。2【思路點撥】(1)由關(guān)系式 OA OB |OC來構(gòu)建關(guān)于t、b的方程；(2)討論 t的取值范圍，來求拋物線F對應(yīng)的二次函數(shù)的解析式?！纠?】(江蘇常州)如圖，拋物線y x2 4x與x軸分別相交于點 B O,它的頂點為A,連接AB,把AB所的直線沿y軸向上平移，使它經(jīng)過原點 0,得到直線I,設(shè)P是直線I上一 動點（1）求點A的坐標(biāo)；（2

3、）以點A、B、O P為頂點的四邊形中,有菱形、等 腰梯形、直角梯形，請分別直接寫出這些特殊四邊形的頂點P的坐標(biāo)；（3）設(shè)以點A、B、O P為頂點的四邊形的面積為 S,點P的橫坐標(biāo)為x,當(dāng)46.2 S 6 8.2時，求x的取值范圍【例3】（浙江麗水）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,已知點A坐標(biāo)為（2, 4）,直線x 2【思路點撥】（3）可求得直線I的函數(shù)關(guān)系式是y=-2x， 所以應(yīng)討論當(dāng)點 P在第二象限時，x0這二種情況。與x軸相交于點B，連結(jié)0A，拋物線y x2從點0沿0A方向平移，與直線 x 2交于點P，頂點M到A點時停止移動.（1）求線段0A所在直線的函數(shù)解析式；（2）設(shè)拋物線頂點 M的橫坐標(biāo)為

4、m , 用m的代數(shù)式表示點P的坐標(biāo)； 當(dāng)m為何值時，線段 PB最短；（3） 當(dāng)線段PB最短時，相應(yīng)的拋物線上是否存在點 Q，使 QMA的面積與厶PMA的面積相等，若存在，請求出點 Q的 坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【思路點撥】（2）構(gòu)建關(guān)于PB的二次函數(shù)，求此函數(shù)的最小值；（3）分當(dāng)點Q落在直線0A的下方時、當(dāng)點 Q落在直線0A的上方時討論?！纠?】（廣東省深圳市）如圖1 ,在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)2y ax bx c(a 0)的圖象的頂點為 D點，與y軸交于C點，與x軸交于A、B兩點，1A點在原點的左側(cè)， B點的坐標(biāo)為(3, 0), OB = OC , tan/ ACO = 3(1) 求

5、這個二次函數(shù)的表達(dá)式.(2) 經(jīng)過C、D兩點的直線，與x軸交于點E,在該拋物線上是否存在這樣的點F,使以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.(3) 若平行于x軸的直線與該拋物線交于 M、N兩點，且以MN為直徑的圓與x 軸相切，求該圓半徑的長度.(4) 如圖2，若點G (2, y)是該拋物線上一點，點 P是直線AG下方的拋物線上 一動點，當(dāng)點P運動到什么位置時， APG的面積最大？求出此時 P點的坐標(biāo)和 APG的最大面積【思路點撥】(2)可先以A C E、F為頂點的四邊形為平行四邊形時，求 F點的坐 標(biāo)，再代入拋物線的表達(dá)式檢驗。 (3)討

6、論當(dāng)直線 MN在 x軸上方時、當(dāng)直線 MN在 x 軸下方時二種情況。(4)構(gòu)建S關(guān)于x的二次函數(shù)，求它的最大值?！纠?】(山東濟南)已知：拋物線y ax2 bx c (a工0)頂點C (1,3)，與x軸交于 A、B 兩點，A( 1,0).(1) 求這條拋物線的解析式.(2) 如圖，以AB為直徑作圓，與拋物線交于點 D，與拋物線對稱軸交于點E,依次連接A、D、B、E，點P為線段AB上一個動點(P與A、B兩點不重合)，過點P作PM丄AE于M ,PN丄DB于N,請判斷PM 空 是否為定值？若是，請求出此定值；若不是，請說明理由.BE ADFG分別與邊過點 S作FG丄EP ,(3) 在的條件下，若點

7、S是線段EP上一點，立.若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.AE、BE相交于點F、G(F與A、E不重合，G與E、【思路點撥】(2)證厶APMTA ABE竺BE ABPN pb同理：(3)證 PH=BH且厶 APMb PBHAD AB再證 MEPA EGF可得。【學(xué)力訓(xùn)練】S 111、(廣東梅州)如圖所示，在梯形 ABCD中，已知 AB / CD , AD 丄 DB, AD=DC = CB, AB=4 .以AB所在直線為X軸，過D且垂直于AB的直線為y 軸建立平面直角坐標(biāo)系.(1) 求/ DAB的度數(shù)及 A、D、C三點的坐標(biāo)；(2) 求過A、D、C三點的拋物線的解析式及 其對稱軸L.(3)

8、 若P是拋物線的對稱軸 L上的點，那么使PDB為等腰三角形的點 P有幾個？(不必求點P的坐標(biāo)，只需說明理由)2、(廣東肇慶)已知點A( a, yJ、B(2a,y2)、C (3a, y3)都在拋物線y 5x2 12x 上.(1、求拋物線與x軸的交點坐標(biāo)；(2、當(dāng)a=1時，求 ABC的面積；(3、是否存在含有y1、y2、y3，且與a無關(guān)的等式？如果存在，試給出一個，并加 以證明；如果不存在，說明理由 .3、(青海西寧)如圖，已知半徑為 1的e O1與x軸交于 切線，切點為M ,圓心01的坐標(biāo)為(2,0)，二次函數(shù)y 占A, B兩點，0M為e O1的 bx c的圖象經(jīng)過A，B兩(1)(2)(3)八、

9、 求二次函數(shù)的解析式；求切線0M的函數(shù)解析式；線段0M上是否存在一點P，使得以P，0, 為頂點的三角形與 OO!”相似若存在，請求出所有 符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.4、(遼寧12市)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y 3x 3與x軸交于點A，與y軸交于點C，物線y ax22 3 x c(a 0)經(jīng)過A B， C三點.3(1、求過A, B，C三點拋物線的解析式并求出頂點F的坐標(biāo)；(2) 在拋物線上是否存在點 P，使 ABP為直角三角形， 若存在，直接寫出 P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3) 試探究在直線 AC上是否存在一點 M ,使得 MBF的周長最小，若存在，求出M點的坐標(biāo)

10、；若不存在，請說明理由.5、(四川資陽)如圖，已知點 A的坐標(biāo)是(一1, 0),點 B的坐標(biāo)是(9, 0),以AB為直徑作O 0,交y軸的負(fù)半軸于 點C,連接AC、BC,過A、B、C三點作拋物線.(1) 求拋物線的解析式；(2) 點E是AC延長線上一點，/ BCE的平分線 CD交O 0 于點D，連結(jié)BD，求直線BD的解析式；(3) 在(2)的條件下，拋物線上是否存在點 P,使得/ PDB =Z CBD?如果存在，請求出點 P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.6、(遼寧沈陽)如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABOC的邊BO在x軸的負(fù)半軸上，邊 OC在y軸的正半軸上，且 AB 1，OB ,3，矩形

11、ABOC繞點O按順x時針方向旋轉(zhuǎn)60后得到矩形EFOD 點A的對應(yīng)點為點E , 點B的對應(yīng)點為點F，點C的對應(yīng)點為點D ,拋物線2y ax bx c 過點 A, E, D .(1) 判斷點E是否在y軸上，并說明理由；(2) 求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(3 )在x軸的上方是否存在點P ,點Q ,使以點O, B, P, Q為頂點的平行四邊形的面積是矩形ABOC面積的2倍，且點P在拋物線上，若存在，請求出點 P，點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.7、(蘇州市) 如圖，拋物線 y= a(x+ 1)(x 5)與x軸的交點為 M、N.直線y= kx+ b 與x軸交于P( 2, 0)，與y軸交于C .若A、B兩

12、點在直線 y= kx+ b上，且AO=BO=.,2 , AO丄BO . D為線段 MN的中點，OH為RtAOPC斜邊上的高.(1) OH的長度等于; k=, b =;是否存在實數(shù)a,使得拋物線y= a(x+ 1)(x 5)上有一點E,滿足以D、N、E為頂 點的三角形與 AOB相似？若不存在，說明理由；若存在，求所有符合條件的拋物線的解 析式，同時探索所求得的拋物線上是否還有符合條件的E點(簡要說明理由)；并進(jìn)一步探索對符合條件的每一個 E點，直線NE與直線AB的交點G是否總滿足PB PG V 10. 2 , 寫出探索過程.拋物線與幾何問題的參考答案【典型例題】【例1】(浙江杭州)(1 )平移y

13、tx2的圖象得到的拋物線F的頂點為Q,拋物線F對應(yīng)的解析式為：y t(x t)2 b.拋物線與x軸有兩個交點， tb 0.令 y 0,得 OB tb，OC t . b， |OB| |OC| |(tb )( t J)l ” ”| t2 OA2 ,即t2 b t2,所以當(dāng)b 2t3時，存在拋物線F使得|OA|2 | OB | | OC |.- 2分2/ AQ / BC , t b,得 F ： y t (x t) t ,解得 X! t 1, x2 t 1 .在Rt AOB中，1)當(dāng) t 0時,由 | OB | |OC |,得 B(t 1, 0),當(dāng)t 10時，由ta nABO|OA| |OB|占，解

14、得t 3,此時，二次函數(shù)解析式為3x218x24 ；當(dāng)t 10時，由ta nABO|OA| |OB|解得t此時，二次函數(shù)解析式為21848+ x + 251252)當(dāng) t 0時，由 |OB | |OC |,將t代t,可得tt 3,35（也可由 x代x , y代y得到）所以二次函數(shù)解析式為y 3 x25+25x -125或y3x218x 24.【例2】(江蘇常州)(1)： y x2 4x (x 2)24二 A(-2,-4)(2) 四邊形ABRO為菱形時，Pi(-2,4)24四邊形ABOR為等腰梯形時，Pi (土 -)5 54 8四邊形ABP3O為直角梯形時，Pi(,)5 56 12四邊形ABOP

15、為直角梯形時，Pi(,)55(3)2由已知條件可求得AB所在直線的函數(shù)關(guān)系式是y=-2x-8,所以直線I的函數(shù)關(guān)系式是 y=-2x 當(dāng)點P在第二象限時，x0,過點A、P分別作x軸的垂線，垂足為 A、P 則四邊形POA A的面積設(shè)OA所在直線的函數(shù)解析式為kx，【例3】（浙江麗水）（1）y當(dāng)x 2時,2 2y (2 m) 2m m 2m 4 (0 m 2)解得洛 2, X22，即點Q (2, 3).y軸于點C ,點P的坐標(biāo)是(2, m2 2m 4) T PB = m2 2m 4 = (m 1)2 3 ,又t 0 m 0),貝U N (R+1, R),a b c 0將A、B、C三點的坐標(biāo)代入得 9

16、a 3b c 0c 3a 1解得：b 2c 3所以這個二次函數(shù)的表達(dá)式為：y x2 2x 3（2）存在，F(xiàn)點的坐標(biāo)為（2, 3）易得D （1 , 4）,所以直線CD的解析式為：y X 3 E點的坐標(biāo)為（一3, 0）以A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形 F點的坐標(biāo)為（2, 3）或（一2 , 3 ）或（一4, 3）代入拋物線的表達(dá)式檢驗，只有（2, 3）符合存在點F，坐標(biāo)為（2, 3）（3）如圖，當(dāng)直線 MN在x軸上方時，設(shè)圓的半徑為當(dāng)直線MN在x軸下方時，設(shè)圓的半徑為r （r0）,則 N (r+1 , - r),代入拋物線的表達(dá)式，解得r1.172圓的半徑為1H或衛(wèi)2 2(4) 過點P作y

17、軸的平行線與 AG交于點Q, 易得G ( 2， 3)，直線AG為y x 1 .(x.x2 2x 3),則 Q (x,x 1), PQAPGS APQ S GPQ1 z 21(xx 2) 312時， APG的面積最大此時1P點的坐標(biāo)為 一2,154apg的最大值為27【例5】(山東濟南)(1) 設(shè)拋物線的解析式為將A( 1, 0)代入：0拋物線的解析式為y a(x 1)232a( 1 1)33 2y -(x 1)3，即:43 239yxx424(2)是定值,PM PNBE AD/ AB 為直徑， / AEB=90 , / PM 丄 AE,. PM / BE APMABE ,PMAPBEABPN

18、PB PMPNAPPB冋理：+:1AD ABBEADABAB(3)v直線EC為拋物線對稱軸， EC垂直平分AB EA=EB/ AEB=90 AEB為等腰直角三角形./ EAB= / EBA=45 7 分PAPMPBBHPAPMPMPBPHMEX J LRt AOD , OA=1 , OD= 3 ,A (-1 , 0), D (0,x;，3 ), C (2,3 ).如圖，過點P作PH丄BE于H ,由已知及作法可知，四邊形PHEM是矩形， PH = ME 且 PH / ME在厶APM和厶PBH中/ AMP=Z PHB=90 ,/ EAB=/ BPH=45 PH=BH2a- (5a2+12a) =4

19、5a2+36a.42x（2）過點M作MF x軸，垂足為 F Q OM是e O1的切線，M為切點，O1M OM （圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑）在 Rt OO1M 中，sinO1OMO1MOO1Q O1OM為銳角,OiOM30oOM OOi gcos30o在 RtA MOF 中，OFOM gcos30o.32MF OM gsin30 3 -2設(shè)切線OM的函數(shù)解析式為 ykx(k0），由題意可知線OM的函數(shù)解析式為y（3）存在.過點A作AR x軸,與OM交于點R .可得 Rt ARO s Rt MO1O（兩角對應(yīng)相等兩三角形相似）RA OAgta n AORtan 30oR 1,過點A作AP2 O

20、M，垂足為P2，過F2點作F2H OA，垂足為H .可得Rt AR2O s Rt QMO （兩角對應(yīng)相等兩三角開相似）在 Rt OR2A 中，QOA 1,OR2OAgcos30o在 Rt OP2H 中，OHOF2gcosAOP23 、3F2H OP2gsin AOP2P2符合條件的P點坐標(biāo)有1,2 3,24、（遼寧12市）解：（1） Q 直線 y 、,3x.3與x軸交于點A，與y軸交于點C .A( 1,0) , C(0,Q點A, C都在拋物線上,2応0 ac3.3 c拋物線的解析式為x2頂點F 1,4、33（2）存在 r（o, 73）b（2,妁（3）存在理由：解法一：延長BC到點B，使BC B

21、C，連接BF交直線AC于 點M，則點M就是所求的點.過點B作BHAB于點H .Q B點在拋物線.3 22、3x3x 13 上，B(3,0)3x在 RtA BOC 中，tanOBCOBC 30o,BC2 3 ,在 RtA BBH 中，BH丄BB3 ，2 .34 333k bk bBH 一 3BH 6 , OH 3, B( 3, 23)設(shè)直線B F的解析式為y kx bk仝解得 6 _K3/3b3 /3x解得y3710 3在直線AC上存在點M，使得 MBF的周長最小，此時 M 3,775、（四川資陽） T以AB為直徑作O O,交y軸的負(fù)半軸于點 C,/ OCA+ / OCB=90 , 又/ OCB

22、+ / OBC=90 ,/ OCA= / OBC , 又/ AOC= / COB=90 , AO8 COB, OA OCOC OB 又 A( -1, 0), B(9 , 0),1OCOC9，解得OC=3（負(fù)值舍去）.- C(0, 43),設(shè)拋物線解析式為y=a(x+1)(x -9),圖10 g(0+1)(0 -)，解得 a=,3二次函數(shù)的解析式為y= - (x+1)(x -9),即 y= 1 x2 8 x -3.333(2) T AB 為 O的直徑，且 A( - , 0), B(9 , 0), OO =4, O (4 0),點E是AC延長線上一點，/ BCE的平分線 CD交O O于點D,11

23、/ BCD= / BCE= 90 45 2連結(jié) O D 交 BC 于點 M,則/ BO D=2/ BCD=Z 45 =90 00 =4, O D=1 AB=52二 D(4, -5).設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b (k0).9k b 0,解得 k 1, 4k b 5.b 9.直線BD的解析式為y=x -9.(3) 假設(shè)在拋物線上存在點P,使得/ PDB= / CBD ,設(shè)射線DP交O O于點Q,則?Q Cd .分兩種情況(如答案圖1所示):O (4 0), D(4 , -5), B(9 , 0), C(0 ,-).把點C、D繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90使點D與點B重合，則點 與點Q1重合，因此，點Q

24、1(7 , -4)符合BQ Cd , D(4 , -5), Q1(7, -4),用待定系數(shù)法可求出直線DQ1解析式為y= 1 x -19 解方程組圖10答案圖1119x331 2 8 x x33得3.33y19-.41229416X2y29412294129 石2941 )不符合題意,6點 P1坐標(biāo)為（941 ,皀 41）,坐標(biāo)為（941 ,2 6 2 舍去. Q1（7 , -4）,點Q1關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為 Q2(7 , 4)也符合BQ Cd . D(4 , -5) , Q2(7 , 4).用待定系數(shù)法可求出直線DQ2解析式為y=3x -17.y3x17 ,1 28得x1yxx3.y13

25、3解方程組3 X214 ,8； y225.點P2坐標(biāo)為(14 , 25),坐標(biāo)為(3 ,七)不符合題意，舍去.符合條件的點P有兩個：P1(941 , 自 41 ) , P2(14 , 25).2 66、(遼寧沈陽)(1)點E在y軸上理由如下：連接 AO ,如圖所示，在 Rt ABO 中，Q AB 1, BO 3 , AO 21sin AOB 2， AOB 300由題意可知：AOE 60BOEAOB AOE 30 60 90Q點B在x軸上，點E在y軸上.（2）過點D作DM x軸于點MQOD 1 , DOM 30在 RtA DOM 中，DMQ點D在第一象限,點D的坐標(biāo)為 由（1）知EO AO 2，

26、點E在y軸的正半軸上點E的坐標(biāo)為（0,2）點A的坐標(biāo)為（,3,1）Q拋物線y ax2 bx c經(jīng)過點E，c 2由題意，將A（丿31）， D ，代入y ax? bx 2中得2 23a . 3b 218 a95方b93a b 21422解得所求拋物線表達(dá)式為：y8 2 5.3-xx9 92（ 3）存在符合條件的點 P，點Q . 10分理由如下：Q矩形ABOC的面積 ABgBO 3以O(shè), B, P, Q為頂點的平行四邊形面積為2.3 .由題意可知0B為此平行四邊形一邊,又Q 0B30B邊上的高為2依題意設(shè)點P的坐標(biāo)為（m,2）Q點P在拋物線y8 253xx9 98m25 3m 2299解得，mi 0， m2P(0,2)，P2538Q以0, B, P, Q為頂點的四邊形是平行四邊形,PQ / OB , PQ OB 、3 ,當(dāng)點R的坐標(biāo)為（0,2）時,點Q的坐標(biāo)分別為Q1 ( . 3,2) , Q2( 3,2)；當(dāng)點F2的坐標(biāo)為時,點Q的坐標(biāo)分別為 Q3旦3,2 , Q4 二,2 .8 87、（蘇州市） OH = 1; k=手,b = 甘;33設(shè)存在實數(shù)a，是