中學(xué)數(shù)學(xué)教師必備的高等數(shù)學(xué)知識(shí)中學(xué)數(shù)學(xué)教師必備的高等數(shù)學(xué)知識(shí)空間的曲線和曲面0001

1、第七節(jié)曲面及其方程一、曲面方程的概念像在平面解析幾何中把平面曲線當(dāng)作動(dòng)點(diǎn)的軌跡一樣，在空間解析幾何中，任 何曲面都看作動(dòng)點(diǎn)的幾何軌跡。這樣，在空間直角坐標(biāo)系中，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律 可建立起關(guān)于的方程1 o定義：如果曲面S與一個(gè)三元方程：| I存在關(guān)系（1）曲面上任何點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程，（2）凡是坐標(biāo)滿足方程的點(diǎn)都在曲面上，那么方程-稱為曲面S的方程，曲面S稱為方程的圖 形。研究空間曲面時(shí)有兩方面的問題：（1）已知一曲面作為動(dòng)點(diǎn)的幾何軌跡，建立曲面的方程，（2）已知方程- ：1研究它所表示的曲面的形狀。作為問題（1），我們建立球面方程和旋轉(zhuǎn)曲面的方程，作為問題（2）我們討論柱面。例1到定點(diǎn)的距離

2、等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的幾何軌跡是球面，定點(diǎn)是球心，定長(zhǎng)是半徑。建 立球心在點(diǎn)V- - IJ-，半徑為乩的球面方程。解：設(shè)是球面上的任一點(diǎn)，貝y卜所以；.I 球心在原點(diǎn)，半徑為F：的球面方程為圖 9一25例2討論方程- 宀 表示怎樣的曲面？解通過配方，原方程可寫為 -叮一* 一 ：所以，此方程表示球心在點(diǎn) V ，半徑為的球面。二、柱面先分析一個(gè)例子例3方程十 工表示怎樣的曲面？解 方程一 ?：在面上表示圓心在原點(diǎn)、半徑為匸的圓。圖 9-26在空間直角坐標(biāo)系中，這方程不含 Z,即不論空間點(diǎn) 的豎坐標(biāo)二怎樣，只要它的橫坐標(biāo) 二和縱坐標(biāo)能滿足這方程，那么這些點(diǎn)就在這曲面上。即凡是通過工:丁 面內(nèi)圓上一點(diǎn)川：，

3、且平行于匚軸的直線都在這曲面上，因此，這曲面可以看作是由 平行于二軸的直線I沿T面上的圓移動(dòng)而形成的。這曲面叫圓柱面，工二面上的圓=疋叫做它的準(zhǔn)線，平行于-軸的直線叫做它的母線。一般地，沿定曲線c并平行于定直線Z移動(dòng)的動(dòng)直線所形成的軌跡叫柱面, 定曲線c叫準(zhǔn)線，動(dòng)直線叫柱面的母線。不含廠的方程表示母線平行于二軸的圓柱面。類似地，方程表示母線平行于二軸的拋物柱面。方程， 表示母線平行于工軸的平面，+ - 1-=1& X表示母線平行于日軸的橢圓柱面，亦於表示母線平行于巳軸的雙曲柱面。09-27一般地，只含 刁、而缺孑的方程 1，在空間直角坐標(biāo)系中表示母線平行于匚軸柱面，其準(zhǔn)線是“面上的曲線c：。由類似的分析方法可知:母線平行于門軸的柱面方程為工忙母線平行于 芫軸的柱面方程為三、旋轉(zhuǎn)曲面一條平面曲線c,繞著同一平面內(nèi)的一條直線 L旋轉(zhuǎn)一周，這時(shí)由c所產(chǎn)生的 曲面稱為旋轉(zhuǎn)面，c稱為旋轉(zhuǎn)面的母線，L為旋轉(zhuǎn)面的軸。YOZ平面內(nèi)曲線亠-，繞Z軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)面方程為：，繞Y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)面方程為：-XOZ平面內(nèi)曲線繞Z軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)面方程為繞X軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)面方程為XOY平面內(nèi)曲線 / - 1繞X軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)面為-一 /_ ： _繞Y軸旋轉(zhuǎn)所得曲面為j2T例4由拋物線繞Z軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)面方程為_：（旋轉(zhuǎn)拋物面）。2 以乙+冬1例5由橢圓繞Z軸、Y