11矩陣、行列式與算法初步a

1、第十一章 矩陣、行列式與算法初步基本要求（1）理解矩陣和行列式的意義（矩陣是一個(gè)數(shù)表，行列式是表示特殊算式的記號(hào)），會(huì)用矩陣的記號(hào)表示線性方程組。掌握二階、三階行列式展開的對(duì)角線法則，以及三階行列式按照某一行（列）展開的方法，知道矩陣相等、矩陣加減、數(shù)與矩陣相乘、矩陣與矩陣相乘的意 義以及行列式的加法、數(shù)乘等運(yùn)算法則。（2 ）掌握二元、三元線性方程組的公式解法（用行列式表示），會(huì)對(duì)含字母系數(shù)的二元、三元線性方程組的解的情況進(jìn)行討論。（3 ）通過對(duì)具體問題的過程與步驟的分析，了解算法的含義，體會(huì)算法的思想和特點(diǎn)；理 解算法的三個(gè)主要邏輯結(jié)構(gòu)順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)；會(huì)用程序框圖表達(dá)簡(jiǎn)單的算法

2、問題。11.1矩陣與行列式知識(shí)梳理1.由m n個(gè)數(shù)ay R（i =1,2,m, j =1,2，n）排成的m行、n列的矩形數(shù)表叫做矩陣a11a2na21 a22，其中a0 （ i =1,2/ m, j =1,2n ）叫做矩陣第i行第0m1am2amn1,其余元素均為零的方的元素。當(dāng)行數(shù)與列數(shù)相等時(shí)，稱該矩陣為方陣。把對(duì)角線元素為 矩陣叫做單位矩陣。2.通過對(duì)線性方程組所對(duì)應(yīng)的增廣矩陣進(jìn)行適當(dāng)?shù)木仃囎儞Q可以得到線性方程組的解。矩陣變換主要有以下三種：（1）互換矩陣的兩行；（2）把某一行同乘（除）以一個(gè)非零的數(shù);（3）某一行乘以一個(gè)數(shù)加到另一行。 *3.矩陣的運(yùn)算：（1）矩陣相等；（2）實(shí)數(shù)與矩陣的

3、乘積;（3）矩陣的加法和減法運(yùn)算；（4） 矩陣的乘法（只有當(dāng)矩陣 A的列數(shù)與矩陣 B的行數(shù)相等時(shí)，矩陣之積 AB才有意義，一般AB = BA）4.二階行列式:91a2b2，用來(lái)表示算式a|b2 -a2d，即;91a2b1b2= ae2 _ a2b1 (階行列式的展開式），其計(jì)算結(jié)果叫做行列式的值，a1,a2,b1,b2都叫做行列式的元素。5.三階行列式:aibiCia2b2c2，用來(lái)表示算式a3b35aib2C3 玄2匕36 a3biC2 -玄3匕2& - a2biC3 - aib3C2,即:aia2a3式),其計(jì)算結(jié)果叫做行列式的值,ai,bi ,ci(i,2,3)都叫做行列式的元素。bi

4、Cib2 c2 = aib2ca2b3c +a3b-|Ca3b2c a2bic a-|b3c2 （三階行列式的展開b3 C36. 三階行列式的兩種展開方法:a) 按對(duì)角線展開；b) 按一行或一列展開。7. 二元一次方程組的解：方程組a x + a y = G a2 x + b2 y = c2當(dāng)D = 0時(shí)，方程組有唯一解aa2bib2C2ab2aiCia? C2Dxx 二DDyJ當(dāng)D = 0時(shí)，若Dx二Dy =0，則方程組有無(wú)窮多解；當(dāng)D =0時(shí)，若Dx,Dy中至少有一個(gè)不為零時(shí)，則方程組無(wú)解。8. 三元一次方程組的解：aix b| y討方程組 a?x +b?y +C2 =d2 ,記：03X

5、+dy 弋3當(dāng)D = 0時(shí)，方程組有唯一解Dy;當(dāng)D =0時(shí)，方程組無(wú)解或有無(wú)窮多解。a 1 biCidi bicia i diCiaibidiD =a 2b：C2,Dx =d2 b2 c2,Dy =a 2 d 2C21 =a2 b2 d2a 3b3C3d 3b3C3a 3d3C3a3b3d 3xDz z 二D9如果按逆時(shí)針方向排列的三點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為 (Xi, y i),(x?, y2 )，(X3，y3)，那么4y114y1 11也ABC的面積等于一X2y1，若沒有給出三點(diǎn)1A,B,C的排列順序，則取-X2y 122X3y31X3y 1的絕對(duì)值。典型例題【例1】展開并化簡(jiǎn)下列行列式(

6、1)1a0(2)0b11c1n - - 35cos2 日 3sin 6sin v - 0.6(3)lg(xx2 -1)-1lg(x_ Jx2 _1)1解：(1)原式=-3cos2 v-3sin2(2) 原式=a bc(3) 原式=0(2)4,B則AB，BA =(3)51510 ，則(AB C =，ABC =(4)三階行列式-5-2中元素-2的代數(shù)余子式的值是(1 )已知矩陣A =r 305、r_2 1，B =-2 14;2 2 1；,若 2A-3X =B，則O【例2】解：(1)X 二2(2) AB = 30，BA -12I41216.丿(3) (ABp =:,A BC =2 3 7、2 9 2

7、(4)說明：（1 ）矩陣乘法只有當(dāng)A的列數(shù)與B的行數(shù)相等時(shí)，矩陣之積AB才有意義，一般-1=一115AB = BA ；（2）要注意區(qū)分余子式、代數(shù)余子式、代數(shù)余子式的值的區(qū)別?！纠?】解關(guān)于x,y的二元一次方程組mx y 二 m 1，并討論解的情況。x my = 2m解：D = (m 1)(m1)， Dx 二m(m1)， Dy =(2m 1)(m1)(1)工0，方程組有唯一解x = m +1 2m 1 y =m 1(2)一1 時(shí)，D=0, Dx = 2 =0，無(wú)解(3)=1時(shí)，D = Dx = Dy =0，方程組有無(wú)窮多組解【例4】某公司研制生產(chǎn)的某種新型電子產(chǎn)品的成本y （萬(wàn)元）與生產(chǎn)數(shù)量

8、x （百臺(tái)）之間有一定的函數(shù)關(guān)系（成本函數(shù)），經(jīng)預(yù)測(cè)可推算出這是一個(gè)二次函數(shù)，現(xiàn)根據(jù)實(shí)際測(cè)算有以 下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：產(chǎn)品的數(shù)量x（單位：百臺(tái)）2610總成本y （單位：萬(wàn)兀）64104160設(shè)每臺(tái)電子產(chǎn)品的銷售價(jià)格為2000元，目前最大的產(chǎn)量為1500臺(tái)。（1）求該電子產(chǎn)品的利潤(rùn)函數(shù)Q（x） ；（2）該電子產(chǎn)品的產(chǎn)銷量在多少臺(tái)范圍內(nèi)時(shí)，公司可以贏利?64 = 4a 2b c解：(1)設(shè)成本函數(shù)為 y = ax2 +bx +c，由條件* 104 = 36a +6b +c，貝U D = 128， J60 =100a +10b + c1Da - -64, Db - -768,Dc - -6400 ,可得

9、a ,b=6, c=50 ,因此成本函數(shù)為2yx2 6x 50，又當(dāng)銷量為x百臺(tái)時(shí)銷售收入為 20x萬(wàn)元，則利潤(rùn)函數(shù)為21 2 1 2 1 * Q(x) = 20x -( x 6x 50) x14x -50，其中 x 1,15 且 x N2 21 2(2)令Q(x) 0得 x ，14x-500 , 4.20 ： x ： 23.80，又根據(jù)公司的實(shí)際生產(chǎn)能2力，因此當(dāng)產(chǎn)銷量在 420臺(tái)至1500臺(tái)時(shí)，公司可以盈利。【備用題 1 】空間三點(diǎn) A（0,2,3） , B（2,1,6）, C（1,_1,5）。（1）（2）求以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的面積; 若有向量a滿足a_ab， aac，且a =

10、 73，求向量a的坐標(biāo);(3)將行列式按第一行展開得到向量 b，試觀察b與（2）中a的關(guān)系；并將1-3其抽象成一個(gè)一般結(jié)論，使上述結(jié)論為其特例；（4）又若 AD =（1,1,2），試求以 AB，AC，為棱的平行六面體的體積;-2(5)試求11-13-3 2的值，比較其與（4）中體積的關(guān)系，猜測(cè)更一般結(jié)論。2 2解:(1)=(-2, -1,3)，AC =(1,-3,2)，S -7. 3(2) a =(7,7,7)或 a = (-7, -7, -7)（3）b =（7,7,7），故 b 二a屮彳4 i j一般地，向量a =（為，,乙），b=（X2,y2,Z2），若向量n =為 X2 y2則n為以a，

11、b為鄰邊的平行四邊形的面積4H（4）因a = （7,7,7）的同方向的單位向量為a0，則平行六面體的高k乙滿足瞎丄a,Z2AD35丄-2(5)計(jì)算11-13-3 2 =352 2故一般地，以4X1y13b，c為鄰邊的平行六面體的體積V =X2y2Z2X3y3Z3呻呻彳（其中 a=（N，y1，W），b =（X2，y2，Z2），c =（X3,3/3）鞏固練習(xí)2 7 c-A c若_1 3 1，則 A 一 B 二08 5,2A 5B=2.-3*42丿丿33.在三階行列式4.1 -sin :cos中,5的余子式的值是5.函數(shù)y =.2sin x2cos x的最大值是6. x24x 1可用行列式表示為廣1

12、、-1-1l-b_1I 1丿2 3-17. (1)計(jì)算 2 3-110廣2r5A+3，其中A =2(2)設(shè) f(A) =A，試求f (A)1 根據(jù)(1)寫出行列式的一個(gè)性質(zhì)并加以證明。8. (1)計(jì)算sin 2x9.當(dāng)R時(shí),函數(shù)y=2cos x的取值范圍是10 .用行列式求解關(guān)于 x和 y的方程組3x + my = m + 2omx+3y = 2m 111 把一個(gè)矩陣 A的行列互換所得到的矩陣成為矩陣A的轉(zhuǎn)置，記作 A . a b、* fa c、例如：對(duì)于 A=,A=|.lc d丿2 d丿（11 （1）若 A = |,B = |,分別求（A+B和A+Bi2 1丿r1（2）觀察（1）的結(jié)論，試推

13、廣轉(zhuǎn)置矩陣的一個(gè)性質(zhì)（不必證明） 。12某蛋糕店可根據(jù)客戶的預(yù)訂制作代B,C三種不同規(guī)格的生日蛋糕，每種蛋糕的配料比例（配料的質(zhì)量單位為千克）以及各種配料的單價(jià)（單位：元/千克）如下表所示：水果油糖面粉雞蛋酒A0 30 60 80 10 60 3B0 20 40 60 10 40 2C0 10 20 40 10 20 1配料單價(jià)654154有一天該店要制作 A種蛋糕4個(gè)，B種蛋糕6個(gè)，C種蛋糕8個(gè)，試用矩陣求當(dāng)天制作的 三種蛋糕的單個(gè)成本及所有蛋糕所需的總成本。結(jié)果必然不同11.2 算法初步(一課時(shí))知識(shí)梳理1. 算法的含義：對(duì)于一類有待求解的問題，如果建立了一套通用的解題方法，按部就班地實(shí)施

14、這套方法就能使該類問題得以解決，那么這套解題方法是求解該類問題的一種算法。2. 兩類算法問題：(1)數(shù)值性計(jì)算問題(2)非數(shù)值性計(jì)算問題。3. 算法的一般特征：(1)有限性(2)確定性(3)可行性(4)每個(gè)算法必須有已知信息的 輸入和運(yùn)算結(jié)果的輸出。4. 算法的結(jié)構(gòu)：(1)順序結(jié)構(gòu)(2)條件結(jié)構(gòu)(3)循環(huán)結(jié)構(gòu)。5. 程序框圖：為了使算法的表述更簡(jiǎn)練，結(jié)構(gòu)更清晰，常用含有算法內(nèi)容的框和箭頭構(gòu)成 的圖來(lái)表示算法，這種圖叫做算法的程序框圖。典型例題【例1】(1)下面對(duì)算法描述正確的一項(xiàng)是(B)算法只能用圖形方式來(lái)表示(A) 算法只能用自然語(yǔ)言來(lái)描述(C)同一問題可以有不同的算法(D)同一問題的算法不

15、同，(2)給出如下的程序框圖，那么其循環(huán)體執(zhí)行的次數(shù)是()(A )500( B ) 499( C)1000(D) 998(3 )給出四個(gè)問題：輸入一個(gè)數(shù)X,輸出它的相反數(shù)；求面積為6的正方形的周長(zhǎng)；求三個(gè)數(shù)a,b,c中的最大數(shù)；求函數(shù)X -1, x 色0f(X)=的函數(shù)值，其中不需要用條件語(yǔ)句來(lái)描述其算x+2,0法的有()(A) 1 個(gè) (B) 2 個(gè)(C) 3 個(gè) (D) 4 個(gè)(4)下列說法正確的是()(A) 算法就是某個(gè)問題的解題過程；(B) 算法執(zhí)行后可以產(chǎn)生不同的結(jié)果；(C) 解決某一個(gè)具體問題算法不同結(jié)果不同；(D) 算法執(zhí)行步驟的次數(shù)不可以為很大，否則無(wú)法實(shí)施。解：(1) (C)

16、(2) ( B)(3) ( B)(4) ( B)說明：選B，例如：判斷一個(gè)整數(shù)是否為偶數(shù)，結(jié)果為“是偶數(shù)”和“不是偶數(shù)”兩種；選項(xiàng) A，算法不能等同于解法；選項(xiàng) C,解決 某一個(gè)具體問題算法不同結(jié)果應(yīng)該相同，否則算法構(gòu)造得有問題；選 項(xiàng)D，算法可以為很多次，但不可以無(wú)限次?！纠?】根據(jù)如圖所示的程序框圖，輸出結(jié)果i =解：根據(jù)如圖所示的程序框圖，所得的數(shù)據(jù)如下表i1234567s56463626166一6 0所以輸出的i = 7.開始第i次12345678觀測(cè)數(shù)據(jù)ai2021232324262728【例3】如圖所示，對(duì)一個(gè)作直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程觀 測(cè)了 8次，依次得到8個(gè)數(shù)據(jù)：對(duì)上述數(shù)據(jù)按

17、算法流程圖執(zhí)行，輸出的S的值是解：24S 0111【例4】如圖給出的是計(jì)算 S=1的一個(gè)程序3 519框圖，其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是（）A .i 10B .i ：10C.i 9D .i 9解：A. i 10【例5】執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的 S值為A 3 B -6C 10 D -15解：Crii= 1H S=0恥2=S + *| 14 l/輸出S /開始S 0, t :1,k hp：1p: s t輸出p結(jié)束判斷框中應(yīng)填入的關(guān)于k的判斷條件錯(cuò)誤.的是（)(A ) k=8( B)k蘭8(C) k9(D)k=9辱解：D是|$十? xA l4卜1 I鞏固練習(xí)1 .任何一個(gè)算法都必須有的基本結(jié)構(gòu)是

18、則這堆珠子最多有()【備用題1】9.執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的n是4,則輸出的P=.解：3【備用題2】18、若框圖所給的程序運(yùn)行的結(jié)果為S=90，那么（A）順序結(jié)構(gòu)（B）條件結(jié)構(gòu)（C）循環(huán)結(jié)構(gòu)（D）三個(gè)都有2.用二分法求方程x2-x-3=0的近似根的算法中用到了哪些算法結(jié)構(gòu)（）（A）順序結(jié)構(gòu)（B） 條件結(jié)構(gòu) （C）循環(huán)結(jié)構(gòu)（D） 以上三種結(jié)構(gòu)3有一堆形狀、大小相同的珠子，其中只有一粒重量比其它的輕，某同學(xué)經(jīng)過思考，他說 根據(jù)科學(xué)的算法，利用天平，三次肯定能找到這粒最輕的珠子，6 下面的程序框圖(如圖所示)，能判斷任意輸入的數(shù) x的奇偶性：其中判斷框內(nèi)的條件是 ( )(A) m=0(B) x=01，0，則輸入 x的取值范圍第8題&有程序框圖如圖，則該程序框圖表示的算法的功能是2.矩陣、行列式和算法單元測(cè)試題(二課時(shí))、填空題已知方程組系數(shù)行列式 D=0是二元一次方程組無(wú)解的 3x規(guī)定矩陣A A A A，若矩陣11丿條件1 11 O3.若關(guān)于x, y的線性方程組的增廣矩陣為的值為4.若在行列式2x5.6. _3，該萬(wàn)程組的解為廠4.則mn已知函數(shù)-3-1-252xf(x)24 x-4中，元素a的代數(shù)余子式的值是0，則實(shí)數(shù)x =xe -1-2ex+2，其中X滿足_0，則函數(shù)f (x)的值域?yàn)?7如圖給出的是計(jì)算11311 的值的一個(gè)程52011序框圖，其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件二、選