高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)資料向量在立體幾何中的應(yīng)用

1、第 48 講 向量在立幾中的應(yīng)用第 48 講 向量在立體幾何中的應(yīng)用要點梳理考點剖析向量空間基礎(chǔ)【例 1】(2013 全國 )一個四面體的頂點在空間直角坐標(biāo)系 O-xyz 中的坐標(biāo)分別是 (1,0,1)，(1,1,0)， (0,1,1)，(0,0,0)，畫該四面體三視圖中的正視圖時，以 zOx 平面為投影面，則得到的正視圖可以為 ()【解析】 選 A 在空間直角坐標(biāo)系中作出幾何體的直觀圖，如圖所示，結(jié)合 “正投影 ”的性質(zhì)可知以 zOx 平面為投影面的正視圖為A項【拓展練習(xí)】1已知正方體 ABCDA1 B1C1D1中，E 為側(cè)面 BCC1B1 的中心若 AE zAA1 yAD，則 xy z 的

2、值為 ()xAB33A 1B.2C2 D.4 1 1 【解析】 AE AB BE AB2AA12AD.1 1 xyz 1 2 2 2.8已知四邊形 ABCD 滿足 ABBC0， BCCD0，CDDA0， DAAB0，則該四邊形為()A 平行四邊形B梯形C平面四邊形D空間四邊形【解析】由已知條件得四邊形的四個外角均為銳角，但在平面四邊形中任一四邊形的外角和都是 360，這與已知條件矛盾，所以該四邊形是一個空間四邊形證明平行【例 2】【拓展練習(xí)】證明垂直【例 3】2(2012 銀川質(zhì)檢 )若直線 l1、 l2 的方向向量分別為 a(2,4， 4)，b (6,9,6)，則()A l1 l2Bl 1

3、l 2C l 1 與 l 2 相交但不垂直D以上均不正確答案B【解析】 ab 2( 6) 49 ( 4) 60， a b， l1 l2 .3已知空間四邊形 ABCD 的每條邊和對角線的長都等于 a，點 E、F 分別是 BC、AD 的中點，則 AE 的值為 ()AF2121232A aB.2a C.4aD.4 a 1【解析】AE 1 AC12( AB)4AF2 AD 2 21AC 1(ABADAD)4(a cos60a cos60 )42a .故選 C.【拓展練習(xí)】計算角與距離ABCD A11 11【例 4】如圖，在正方體DB C中， M 、N 分別是棱 CD、CC1 的中點，則異面直線 A1與

4、DN 所成的角的大小是 ()M- 1 -“功夫 ”文科第 一輪復(fù)習(xí)資料A30 B45 C60 D90【解析】 解法 1：取 CN 的中點 H，連接1MH、A1H，則 MH 2DN.設(shè)正方體的棱長為2，則 DN5，MH5 2 ，A1M2222212 9.2122241從而 A1H (22) 22 4 A1H2 MH 2A1M2， A1MH 90解法 2：以 D 為原點， DA、 DC、 DD 1所在直線分別為x 軸、 y 軸、 z 軸建立空間直1角坐標(biāo)系，設(shè) AB 1，則 D(0,0,0)，N(0,1，2)，11M(0，2，0)，A1(1,0,1)，DN (0,1，2)，MA1 (1， 1，1)

5、，DN10，DNMA1，2MA所成角的大小為A1 與DNM90 .【拓展練習(xí)】如圖所示，在正方體 ABCD ABCD中，棱長為 1， E， F 分別是 BC， CD 上的點，且 BECFa(0a1)，則 DE與 BF 的位置關(guān)系是 ()A 平行B垂直C相交D與 a 值有關(guān)【解析】方法一：如下圖甲所示，連接 AB，AB，AF，DE 易知 AB 是 DE 在平面 ABBA 上的射影AB AB， DEAB.又由 BECF，知 ECFD ，而 ADCD， RtDCERtADF . EDC FAD.而 EDC EDA90， FAD EDA 90，從而 AF DE.又易知 DE 是 DE 在底面 ABCD

6、 上的射影，DE AF.綜上，知 DE平面 ABF，從而 DE BF.方法二：建立如圖乙所示空間直角坐標(biāo)系則 D (0,0,1)，E(1 a,1,0)，B (1,1,1)，F(xiàn)(0,1 a,0)，DE (1a,1，1)，BF (1，a， 1)DEBF(1a) (1)1( a)( 1) (1)a1a10.DE BF，即 DEBF.考點練習(xí)1若平面 的一個法向量為 (1,2,0)，平面 的一個法向量為 (2，1,0)，則平面 和平面 的位置關(guān)系是 ()A 平行 B相交但不垂直C垂直 D重合答案C【解析 】由 (1,2,0) (2， 1,0) 122( 1)000，知兩平面的法向量互相垂直，所以兩平面

7、互相垂直2已知點A(2， 5,1)， B(2， 2,4)，C(1， 4,1)，則向量 AB與AC的夾角為 ()A 30 B 45C60 D90【解析】由已知得 AB(0,3,3)，AC(1,1,0)，- 2 - 3cosAB，AC ABAC3 2 21|AB|AC|2.向量 AB與 AC的夾角為 60.3已知 A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，則平面 ABC 的一個單位法向量是 ()333333A(3，3，3 )B( 3，3 ，3 )33333C( 3，3，3)D( 3， 3，3 3 )【解析】 AB(1,1,0)，AC(1,0,1)，設(shè)平面 ABC 的一個法向量 n(x，

8、y，z)， xy0， xz 0.令 x1，則 y1，z 1， n(1,1,1)單位法向量為 n(3，3，3|n|333 )(1,5， 2)，BC(3,1， z)，4已知 ABBP(x1，y，3)若ABBC，且BP平)面 ABC，則 BP(20154015A( 7 ，7，3)B (7 ，7 .3)33153315C(7，7， 3)D( 7， 7， 3) 0，即13【解析】 AB BC .AB BC51 2z 0，解得 z 4.又BP平面 ABC， BPAB0，有即 BPBC0，x15y6 0，3x 1y120，40x 7，3315解得15BP(7 ，7 ，y 7 .3)第 48 講 向量在立幾中

9、的應(yīng)用故選 D.6設(shè)平面 與向量 a( 1,2， 4)垂直，平面 與向量 b(2,3,1)垂直，則平面 與 位置關(guān)系是 _答案垂直【解析】由已知 a，b 分別是平面 ，的法向量 ab 2640，ab，. 7下列命題中，所有正確命題的序號為_若 n1，n2 分別是平面 ，的法向量，則 n1n2? ；若 n1，n2 分別是平面 ，的法向量，則 ? n1n20；若 n 是平面 的法向量， a 與 共面，則 na 0；若兩個平面的法向量不垂直，則這兩個平面一定不垂直答案2.如圖，平面 ABCD平面 ABEF，四邊形 ABCD 是正方形，四邊形 ABEF 是矩形，且1AF 2ADa，G 是 EF 的中點

10、，則 GB 與平面 AGC 所成角的正弦值為 ()63A. 6B. 362C. 3D. 3答案C【解析】 如圖，以 A 為原點建立空間直角坐標(biāo)系如圖- 3 -“功夫 ”文科第 一輪復(fù)習(xí)資料以直線EF 和平面BDD1B1 所成的角為2FEH，因為FH 2 ，AF1，EF6，F(xiàn)H3故 sinFEH EF 6 ，選 B.4如圖， ABCD A1B1C1D1 是棱長為6的正方體， E、F 分別是棱 AB、BC 上的動點，且 AEBF.當(dāng) A1、E、F、C1 四點共面時，平面 A1DE 與平面 C1DF 所成二面角的余弦值為則 A(0,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a,2a)，G(a，()a,

11、0)，F(xiàn)(a,0,0)，AG(a，a,0)，AC (0,2a,2a)，BG(a， a,0)， BC(0,0,2a)，設(shè)平面 AGC 的法向量為 n1(x1， y1,1)，AGn10，1ay10，ax則2ay1 2a0，ACn10，x1 1，n1 (1， 1,1)y1 1，BGn12a6sin 2a 3 3 .|BG|n1|3(2013 荊州市質(zhì)檢 )已知 E、F 分別是正方體的棱 BB1 、AD 的中點，則直線EF 和平面 BDD1B1 所成角的正弦值是 ()31A. 2B.2126C.5D.5答案B【解析】 以 D 為原點， DA、DC、DD 1 所在直線分別為 x 軸、 y 軸、 z 軸建

12、立空間直角坐標(biāo)系，則 A1(6,0,6)、 E(6,3,0)、F(3,6,0)，設(shè)平面 A1DE 的法向量為 n1 (a，b，c)，依題意得n1DE6a 3b0，令 a 1，23A. 6B. 616C.3D.6答案B【解析】 設(shè)正方體 ABCD A1B1C1D1 的棱長為 2，過點 F 作 BD 的垂線 FH 交 BD 于點 H，連接 EH，則 FH 平面 BDD 1B1，所n1DA16a6c 0，則 c1，b2，所以 n1 (1,2,1)，同理得平面 C1DF 的一個法向量為 n2 (2， 1,1)，由題圖知，平面 A1DE 與平面 C1DF 所成二面|n1n2|1角的余弦值為 .|n1|n

13、2|25.4已知二面角 l 的大小為 60，點 B、C 在棱 l 上，A，D，AB l，CD l，AB2，BC1，CD3，則 AD 的長為 ()A. 14 B. 13 C2 2 D2 5 答案 C【解析】由條件知 |AB|2，|BC| 1，- 4 -|CD|3，AB BC，BC CD，AB，CD120，ADABBCCD， |AD |2 |AB|2 |BC|2 |CD |2 2ABBC2BCCD2ABCD419 223cos120 8， |AD| 2 2.5平面 經(jīng)過三點 A( 1,0,1)、B(1,1,2)，C(2， 1,0)，則下列向量中與平面 的法向量不垂直的是 ()1A. 2， 1， 1B(6， 2， 2)C(4,2,2)D( 1,1,4)答案 D【解析】 設(shè)平面 的法向量為 n，則 n，n AC，nBC，所有與 AB或AC、BC)AB(平行的向量或可用AB與 AC線性表示的向量都與 n 垂直，故選 D.6二面角的棱上有 A、B 兩點，直線 AC、 BD 分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)， 且都垂直于 AB.已知 AB4，AC6，BD8，CD 21