電路分析基礎(chǔ)第5章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析

1、第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 5.1正弦信號(hào)的基本概念正弦信號(hào)的基本概念 5.2正弦信號(hào)的相量表示正弦信號(hào)的相量表示 5.3三種基本電路元件三種基本電路元件VAR的相量形式的相量形式 5.4基爾霍夫定律的相量形式和電路的相量模型基爾霍夫定律的相量形式和電路的相量模型 5.5阻抗與導(dǎo)納阻抗與導(dǎo)納 5.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量法分析 5.7正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率 *5.8三相電路三相電路 習(xí)題習(xí)題5 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 5.1正弦信號(hào)的基本概念正弦信號(hào)的基本概念 5.1.1正弦信號(hào)的三要素正弦信號(hào)的三要素 正弦信號(hào)是指隨時(shí)間按正弦規(guī)律變化的電

2、壓或電流，它 是周期信號(hào)。所謂周期信號(hào)，是指每隔一定的時(shí)間間隔T重 復(fù)變化且無始無終的信號(hào)。圖5.1-1給出了幾種常見的周期 信號(hào)的波形。 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 圖5.1-1幾種周期信號(hào)的波形 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 周期信號(hào)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為 f(t)=f(t+kT)k=0，1，2， (5.1-1) 我們把周期信號(hào)在單位時(shí)間內(nèi)重復(fù)變化的次數(shù)稱為頻率， 用f表示，單位為赫茲(Hz)。根據(jù)上述周期和頻率的定義， 有 正弦信號(hào)通常有兩種表述方法: 一種是三角函數(shù)表達(dá)式， 另一種是波形圖。 以電流為例，正弦信號(hào)的三角函數(shù)表達(dá)式為 i(t)=Im cos(wt+y) (5.1-3) 其波形如圖5.1-2

3、所示。 1 f T (5.1-2) 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 圖5.1-2正弦電流信號(hào)波形圖 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 式(5.1-3)中，Im稱為正弦信號(hào)i(t)的振幅值或最大值，它 表示正弦信號(hào)i(t)所能達(dá)到的最大值；wt+ y稱為正弦信號(hào) i(t)的相位角，簡稱相位，單位為弧度或度，它反映了正弦 信號(hào)每一瞬間的狀態(tài)。相位每增加2 p弧度，正弦信號(hào)經(jīng)歷 一個(gè)周期，即 w(t+T)+ y(wt+ y)=2p 解上式得 (5.1-4) 2 2f T w 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 【例【例5.1-1】試?yán)L出正弦信號(hào) 的波形圖。 解解由題目告知的i(t)表達(dá)式可得：振幅Im=50 mA，角 頻率w=1

4、00p rad/s，初相。畫i(t)波形時(shí)，取縱坐 標(biāo)為i(t)，橫坐標(biāo)為wt。 由三角函數(shù)的性質(zhì)可知, 正振幅Im出現(xiàn)在， 即時(shí)，正振幅出現(xiàn)點(diǎn)確定以后，根據(jù)正弦信號(hào)的波 形特征，便可畫出i(t)的波形，如圖5.1-3所示。 50cos 100 mA 3 i t 3 y 1000 3 t 3 tw 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 圖5.1-3例5.1-1用圖 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 【例【例5.1-2】已知電壓波形如圖5.1-4所示。 (1) 試求振幅、周期和角頻率。 (2) 寫出u(t)的表達(dá)式。 圖5.1-4例5.1-2用圖 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 解解(1) 由波形圖可知： 振幅為 Um=100

5、 V 周期為 T=22.5-2.5=20 ms (兩峰值之間的時(shí)間間隔) 由式(5.1-4)得角頻率為 3 22 100 rad/s 20 10T w 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 (2) 要寫出正弦信號(hào)u(t)的表達(dá)式，必須知道其三要素： 振幅、角頻率和初相。由波形圖可知，從坐標(biāo)原點(diǎn)(即時(shí)間 起點(diǎn))到第一個(gè)正最大值所需時(shí)間為2.5 ms，則初相的絕對值 為 3 0 1002.5 10 rad/s 4 tyw 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 5.1.2相位差相位差 設(shè)兩個(gè)同頻率正弦信號(hào)為 u1(t)=U1m cos(wt+y1) u2(t)=U2m cos(wt+y2) 它們的相位分別為wt+y1和wt+y

6、2，它們的相位之差為 j12=(wt+y1)(wt+y2)=y1y2 (5.1-5) 如果相位差j12=y1j20，則表示u1(t)超前于u2(t)，或 u2(t)滯后于u1(t)，如圖5.1-5(a)所示。 如果相位差j12=y1y20，則表示u1(t)滯后于u2(t)，或 u2(t)超前于u1(t)，如圖5.1-5(b)所示。 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 圖5.1-5兩同頻率正弦信號(hào)超前或滯后示意圖 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 在對同頻率正弦信號(hào)相位差的計(jì)算中，有時(shí)會(huì)遇到下列 三種特殊情況，如圖5.1-6所示。 圖5.1-6同頻正弦信號(hào)同相、正交和反相示意圖 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 【例【例5.1

7、-3】已知兩同頻正弦電壓分別為 試求它們的相位差，并指出其超前、滯后相位關(guān)系。 解解u1(t)是cos函數(shù)，u2(t)是sin函數(shù)，計(jì)算相位差時(shí)應(yīng) 將它們化為同名函數(shù)。 將u2(t)化為cos函數(shù)形式 1 10cos V 6 u ttw 2 sin V 6 uttw 22 ( )sincoscos V 6623 utu ttttwww 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 由u1(t)和u2(t)函數(shù)的表達(dá)式知初相 則相位差 12 63 yy， 1212 636 jyy 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 【例【例5.1-4】已知同頻正弦電流分別為 試畫出它們的波形圖，并計(jì)算相位差。 11m 3 cos A 4 i t

8、Itw 22m cos A 2 itItw 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 解解由i1(t)和i2(t)的函數(shù)表達(dá)式可畫出其波形圖如圖5.1- 7所示。 由i1(t)和i2(t)的表達(dá)式可知初相 則相位差 12 3 42 yy， 1212 35 424 jyy 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 圖5.1-7例5.1-4用圖 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 5.1.3周期信號(hào)的有效值周期信號(hào)的有效值 周期信號(hào)的有效值是這樣定義的：設(shè)有兩個(gè)阻值相等的 電阻R，分別通以周期電流i(t)和直流電流I(見圖5.1-8)，如果 在相同時(shí)間T內(nèi)，兩個(gè)電阻消耗的能量相等，則稱直流電流I 為周期電流i(t)的有效值。 圖5.1-8有效值

9、定義用圖 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 由圖(a)可知，電阻R在時(shí)間T內(nèi)消耗的能量為 由圖(b)可知，電阻R在時(shí)間T內(nèi)消耗的能量為 若兩能量相等 22 000 ddd TTT Wp ttRittRitt 22 00 dd TT Wp ttRItRI T 22 0 d T RittRI T 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 則有 類似地，同樣可給出周期性電壓u(t)的有效值為 正弦信號(hào)是周期信號(hào)，將正弦電流信號(hào)i(t)=Im cos(wt+y)代 入式(5.1-6)中，可得正弦電流信號(hào)的有效值為 2 0 1 d T Iitt T 2 0 1 d T Uutt T 22 m 0 1 cosd T IItt T w

10、y 2 m 0 1 1 cos2d 2 T I tt T wy m m 0.707 2 I I (5.1-7) (5.1-6) 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 即 同理可得正弦電壓信號(hào)的有效值 (5.1-8) m m 0.707 2 I II m m 0.707 2 U UU(5.1-9) 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 5.2正弦信號(hào)的相量表示正弦信號(hào)的相量表示 5.2.1復(fù)數(shù)的相關(guān)知識(shí)復(fù)數(shù)的相關(guān)知識(shí) 設(shè)A為一復(fù)數(shù)，a和b分別為其實(shí)部和虛部，則復(fù)數(shù)A可 表示為 A=a+jb (5.2-1) 復(fù)數(shù)A在復(fù)平面上可用一帶箭頭的線段表示，如圖5.2-1 所示。 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 圖5.2-1復(fù)數(shù)A在復(fù)平面上的

11、表示 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 由圖5.2-1可得復(fù)數(shù)A的另一表示形式 A=|A| cosq+j|A| sinq (5.2-2) 式(5.2-2)稱為復(fù)數(shù)A的三角形式表示。 根據(jù)歐拉公式 ejq=cosq+j sinq 式(5.2-2)可寫為 A=|A|ejq (5.2-3) 式(5.2-3)稱為復(fù)數(shù)A的指數(shù)形式表示。在工程上常把式(5.2-3) 簡寫為 A=|A|q (5.2-4) 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 【例【例5.2-1】將復(fù)數(shù)A=3+j4化為指數(shù)表示形式。 解解 復(fù)數(shù)A的指數(shù)表示形式為 A=|A|q=553.1 22 345A 4 arctan53.1 3 q 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 【

12、例【例5.2-2】將復(fù)數(shù)A=1030化為直角坐標(biāo)形式。 解解 103010cos30jsin30 31 10j105 3j5 32 A 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 5.2.2用相量表示正弦信號(hào)用相量表示正弦信號(hào) 設(shè)正弦電壓為 u(t)=Um cos(wt+uu) 顯然可把它看做一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部，寫為 式中 jjj mm j m ReeReee Ree u u t t t u tUU U wyy w w j mmm u u UU eU y y (5.2-5) (5.2-6) (電壓振幅相量) 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 相量是一個(gè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面上可用一條帶箭頭的線段表 示，如圖5.2-2所示。相量在復(fù)平面

13、上的圖示稱為相量圖。 圖5.2-2相量圖 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 式(5.2-5)中，ejwt稱為旋轉(zhuǎn)因子，相量 與ejwt的乘積 是時(shí)間t的復(fù)函數(shù)，在復(fù)平面上可用一 個(gè)以恒定角速度w逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的相量表示，如圖5.2-3所 示。 m U jj mm ee u t t UU wy w 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 圖5.2-3旋轉(zhuǎn)相量及其在實(shí)軸上的投影 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 同樣地，正弦電流可表示為 式中 j mm jjj mm cosRee ReeeRee i i t i tt i tItI II wy yww wy mmm i j i II eI y y (5.2-7) (電流振幅相量) 第

14、5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 【例【例5.2-3】已知正弦電流i1(t)和i2(t)分別為 i1(t)=5 cos(314t+60) A i2(t)=10 sin(314t+120) A 試寫出i1(t)和i2(t)對應(yīng)的振幅相量和有效值相量，并作相量 圖。 解解用相量表示正弦信號(hào)時(shí)，該正弦信號(hào)必須是cos函 數(shù)形式。將i2(t)化為cos函數(shù)形式 i2(t)=10 sin(314t+120)= 10 cos(314t+210) =10 cos(314t150)A 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 于是振幅相量 有效值相量 振幅相量圖如圖5.2-4所示。 11m 5 60 Ai tI 22m 10150 Ait

15、I 1 5 60 A 2 I 2 10 150 A 2 I 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 圖5.2-4例5.2-3用圖 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 【例【例5.2-4】試計(jì)算4 cos2t+3 sin2t。 解解先將同頻正弦信號(hào)用相應(yīng)的相量表示，用相量進(jìn)行 運(yùn)算(即復(fù)數(shù)運(yùn)算)，最后再將相量的運(yùn)算結(jié)果還原為正弦信 號(hào)，這樣就避開了繁瑣的三角函數(shù)運(yùn)算，使運(yùn)算過程得以大 大簡化。 將正弦信號(hào)化為統(tǒng)一的cos函數(shù)形式： 4 cos2t+3 sin2t=4 cos2t+3 cos(2t90) 寫出對應(yīng)相量，作相量運(yùn)算: 40+390=4 cos0+j4 sin0+3 cos(90) +j3 sin(90)=4j3

16、=536.9 于是，得 4 cos2t+3 sin2t=5 cos(2t36.9) 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 5.3三種基本電路元件三種基本電路元件VAR的相量形式的相量形式 1. 電阻元件電阻元件 圖5.3-1(a)所示為電阻元件的時(shí)域模型，uR和iR取關(guān)聯(lián)參 考方向。設(shè)通過電阻的正弦電流 iR(t)=Im cos(wt+yi) 根據(jù)歐姆定律，電阻兩端的電壓 uR(t)=RiR(t)=RIm cos(wt+yi)=Um cos(wt+yu) 上式表明：電阻上的電壓uR與電流iR是同頻率、同相位的正 弦信號(hào)。它們的振幅值和相位具有如下關(guān)系 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 又因 所以 由式(5.3-2)可

17、畫出電阻元件的相量模型如圖5.3-1(b)所示。電 阻元件的電壓相量與電流相量的相位關(guān)系如圖5.3-1(c)所示。 mm ui URI yy mmmmui UURIRIyy mm URIURI 或 (5.3-2) (5.3-1) 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 圖5.3-1電阻元件的時(shí)域模型、相量模型及電壓和電流的相量圖 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 2. 電感元件電感元件 圖5.3-2(a)所示為電感元件的時(shí)域模型，uL和iL取關(guān)聯(lián)參 考方向，有 由上式可見，在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，電感元件的電壓uL(t)與電 流iL(t)是同頻率的正弦信號(hào)，且電壓超前于電流90，它們 的振幅與相位關(guān)系是 (5.3-3) d

18、( ) d L L i utL t mm 2 ui ULIw yy (5.3-4) 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 又因 所以 由式(5.3-5)可畫出電感元件的相量模型如圖5.3-2(b)所示。電 感電壓和電流的相量圖如圖5.3-2(c)所示。 (5.3-5) mmmmm jj 2 uii UULILILIywqwqw mm jjULIULIww 或 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 圖5.3-2電感元件的時(shí)域模型、相量模型及電壓和電流的相量圖 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 3. 電容元件電容元件 圖5.3-3(a)所示為電容元件的時(shí)域模型，uC和iC取關(guān)聯(lián)參 考方向，有 由上式可見：在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，電容元件的電

19、流iC(t)與電 壓uC(t)是同頻率的正弦信號(hào)，且電流超前于電壓90，或電 壓滯后于電流90。它們的振幅與相位關(guān)系是 (5.3-7) d ( ) d C C u itC t m 2 m iu ICUw yy (5.3-6) 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 一般將上式寫為 由式(5.3-8)可畫出電容元件的相量模型如圖5.3-3(b)所示。電 容電壓和電流的相量圖如圖5.3-3(c)所示。 (5.3-8) mm 11 jj UIUI CCww 或 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 圖5.3-3電容元件的時(shí)域模型、相量模型及電壓和電流的相量圖 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 5.4基爾霍夫定律的相量形式基爾霍夫定律的相量

20、形式 和電路的相量模型和電路的相量模型 5.4.1基爾霍夫定律的相量形式基爾霍夫定律的相量形式 基爾霍夫定律指出：對于集總參數(shù)電路中的任一節(jié)點(diǎn)， 在任意時(shí)刻，流出或流入該節(jié)點(diǎn)的所有支路電流的代數(shù)和恒 等于零。KCL的時(shí)域表達(dá)式為 i(t)=0 在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，所有的激勵(lì)和響應(yīng)都是同一頻率的 正弦信號(hào)，設(shè) i(t)=Im cos(wt+y) 則 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 要使上式對任意時(shí)間t都成立(等于零)，必有 同理可得，基爾霍夫電壓定律KVL的相量形式為 j() mm j m ( )cos()Re Re0 e e t t i tItI I wy w wy m 00II 或 m 00UU 或

21、(5.4-2) (5.4-1) 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 5.4.2電路的相量模型電路的相量模型 前面我們討論了正弦信號(hào)的相量表示，三種基本電路元 件R、L、C的電壓相量與電流相量的關(guān)系，以及基爾霍夫定 律的相量形式，它們是建立電路相量模型和列寫電路相量方 程的基本依據(jù)。下面以一個(gè)簡單例子來說明電路相量模型的 建立。 圖5.4-1(a)所示為一正弦穩(wěn)態(tài)電路。 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 圖5.4-1電路的時(shí)域模型和相量模型 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 【例【例5.4-1】已知正弦穩(wěn)態(tài)電路的時(shí)域模型如圖5.4-2(a) 所示，試畫出其相量模型。 解解將時(shí)域模型中的正弦量is(t)、i1(t)、uC(t)用

22、它們對應(yīng) 的相量表示，基本電路元件R、L、C用它們的相 量模型代替，得圖5.4-2(b)所示的電路的相量模型。 s1C IIU 、 、 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 圖5.4-2例5.4-1用圖 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 5.5阻阻 抗抗 與與 導(dǎo)導(dǎo) 納納 5.5.1阻抗阻抗 圖5.5-1(a)所示為無源二端正弦穩(wěn)態(tài)電路。 在正弦穩(wěn)態(tài)時(shí)，定義無源二端電路端口的電壓相量與電 流相量的比值為該無源二端電路的阻抗，記為Z，即 其等效電路模型如圖5.5-1(b)所示。阻抗的單位為歐姆()。 式(5.5-1)亦可寫為 m m UU ZZ II 或 mm UZIUZI 或(5.5-2) (5.5-1) 第5章正弦

23、穩(wěn)態(tài)電路分析 圖5.5-1無源二端正弦穩(wěn)態(tài)電路及其阻抗 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 阻抗是一個(gè)復(fù)數(shù)，將代入式 (5.5-1)，有 在5.4節(jié)中我們討論了三個(gè)基本電路元件VAR的相量形 式，在關(guān)聯(lián)參考方向下，它們是 (5.5-3) ui UUIIyy ， ()j u uiz i UUU ZZRX III y yyj y 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 將其與阻抗定義式(5.5-2)對照，可得電阻、電感、電容的阻 抗分別為 (5.5-4) RR URI j LL ULIw 1 j CC UI Cw jj 1 j j R LL CC ZR ZLX ZX C w w 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 5.5.2導(dǎo)納導(dǎo)納 仍

24、以圖5.5-1(a)所示的無源二端正弦穩(wěn)態(tài)電路為例。 在正弦穩(wěn)態(tài)時(shí)，定義無源二端電路端口的電流相量與電 壓相量的比值為該無源二端電路的導(dǎo)納，記為Y，即 顯然，導(dǎo)納等于阻抗的倒數(shù)，導(dǎo)納的單位為西門子(S)。式 (5.5-5)也可寫為 (5.5-6) m m II YY UU 或 mm IYUIYU 或 (5.5-5) 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 導(dǎo)納也是一個(gè)復(fù)數(shù)，將代入式 (5.5-5)，有 由三個(gè)基本電路元件電阻、電感和電容的VAR的相量形 式，可得它們的導(dǎo)納分別為 (5.5-7) ui UUIIyy ， ()j i iuY u III YYGB UUU y yyj y 1 11 jj j jj

25、R LL CC YG R YB LL YCB ww w (5.5-8) 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 5.5.3無源單口正弦穩(wěn)態(tài)電路的等效阻抗與導(dǎo)納計(jì)算無源單口正弦穩(wěn)態(tài)電路的等效阻抗與導(dǎo)納計(jì)算 1. 阻抗串聯(lián)阻抗串聯(lián) 設(shè)有n個(gè)阻抗串聯(lián)，如圖5.5-2(a)所示，它可等效為圖 5.5-2(b)，其等效阻抗為 式(5.5-9)表明, 阻抗串聯(lián)的等效阻抗等于各串聯(lián)阻抗之和。 因此，凡是串聯(lián)的元件，用阻抗來表征較為方便。 分壓公式為 (5.5-9) eq12 1 n nk k ZZZZZ eq k k Z UU Z (5.5-10) 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 圖5.5-2阻抗的串聯(lián)及等效 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分

26、析 2. 導(dǎo)納并聯(lián)導(dǎo)納并聯(lián) 設(shè)有n個(gè)導(dǎo)納并聯(lián)，如圖5.5-3(a)所示，它可等效為圖(b)， 其等效導(dǎo)納為 式(5.5-11)表明，導(dǎo)納并聯(lián)的等效導(dǎo)納等于各并聯(lián)導(dǎo)納之和。 因此，凡是并聯(lián)的元件，用導(dǎo)納來表征較為方便。 分流公式為 (5.5-12) eq12 1 n nk k YYYYY eq k k Y II Y (5.5-11) 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 圖5.5-3導(dǎo)納的并聯(lián)及等效 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 在兩個(gè)元件并聯(lián)時(shí)，如圖5.5-4所示，由式(5.5-11)和式 (5.5-12)不難得出端口的等效阻抗為 分流公式為 (5.5-14) 12 eq 12 Z Z Z ZZ 2 1 12 1

27、 2 12 Z I ZZ Z I ZZ (5.5-13) 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 圖5.5-4兩個(gè)阻抗并聯(lián) 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 3. 無源單口正弦穩(wěn)態(tài)混聯(lián)電路的等效化簡無源單口正弦穩(wěn)態(tài)混聯(lián)電路的等效化簡 【例【例5.5-1】正弦穩(wěn)態(tài)電路如圖5.5-5(a)所示，已知 w=3 rad/s，求ab端口的輸入阻抗，并指出電壓與電流的相位 關(guān)系。 圖5.5-5例5.5-1用圖 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 解解首先作出其相量模型，如圖5.5-5(b)所示。仿照電 阻混聯(lián)電路的處理方法，可得ab端口的輸入阻抗為 1.5j1/(1j2) j1(1j2)2j1 1.51.5 j1 1j21j1 (2j1)(1

28、j1)1j3 1.51.5 (1j1)(1j1)2 2j1.52.5 36.9 ab Z = = 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 【例【例5.5-2】正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量模型如圖5.5-6所示， 求ab端的輸入阻抗。 圖5.5-6例5.5-2用圖 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 解解這是一個(gè)含受控源的無源單口電路。根據(jù)電阻電路 部分的處理方法，用外加激勵(lì)法求該單口電路的輸入阻抗。 在端口施加一源電壓 ，求該端口電流，找出端口的 VAR式。沿端口所在回路列KVL方程 結(jié)合式(1)、(2)，有 11 1 ()2UIII 1 j1UI 111 1 j1 1j1 IIIII U I (1) (2) 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分

29、析 將上式代入式(2)中，得 于是ab端口的輸入阻抗 111 j1(j ) 1j122 UII 11 j0.5 2135 22 ab U Z I 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 5.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量法分析 5.6.1相量分析法的一般步驟相量分析法的一般步驟 用相量分析法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路的步驟可歸納如下： (1) 由電路的時(shí)域模型畫出對應(yīng)的相量模型。 (2) 仿照電阻電路的分析方法建立相量形式的電路方程， 求出響應(yīng)相量。 (3) 將求得的響應(yīng)相量變換成對應(yīng)的時(shí)域瞬時(shí)值表達(dá)式。 下面舉例說明相量分析法的應(yīng)用。 【例【例5.6-1】正弦穩(wěn)態(tài)電路如圖5.6-1(a)所示，已知激 勵(lì)

30、，求電流i(t)。 s( ) 10 2cos2 Vu tt 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 圖5.6-1例5.6-1用圖 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 解解(1) 由電路的時(shí)域模型畫出電路的相量模型，如圖 5.6-1(b)所示。圖(b)中： (2) 仿照電阻電路的分析方法建立相量形式的電路方程 并求解。由圖(b)可知 s 10 0 V jj 2 2j4 11 j2 jj 2 0.25 U L C w w s 10 0 2.5 245 A j42j22j2 U I 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 (3) 寫出電流相量對應(yīng)的時(shí)域瞬時(shí)值表達(dá)式： 【例【例5.6-2】已知正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量模型如圖5.6-2 所示，求支路電

31、流。 圖5.6-2例5.6-2用圖 I ( )2.5 22cos(245 )5cos(245 ) Ai ttt s 30 45 VI 12 II 和 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 解解由阻抗分流公式(5.5-14)，得 或由KCL相量形式，可求得為 1s j4j4 30 451245 3j4j43 II 2s 343j4 30 455 53.110 4550 98.1 A 3j4j43 j II 2 I 2s1 3045124550 98.1 III 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 5.6.2電路的基本分析法和電路定理在正弦穩(wěn)態(tài)電路中的電路的基本分析法和電路定理在正弦穩(wěn)態(tài)電路中的 應(yīng)用應(yīng)用 1. 節(jié)點(diǎn)分析法

32、和回路分析法用于正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析節(jié)點(diǎn)分析法和回路分析法用于正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析 對于具有3個(gè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)和3個(gè)獨(dú)立回路(網(wǎng)孔)的正弦穩(wěn)態(tài) 相量模型電路，可得到相量形式的節(jié)點(diǎn)方程和回路方程為 111122133s11 211222233s22 311322333s33 Y UY UY UU Y UY UY UU Y UY UY UU (5.6-1) 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 【例【例5.6-3】正弦穩(wěn)態(tài)電路如圖5.6-3(a)所示，已知 ，試用節(jié)點(diǎn)分 析法求電流i(t)。 (5.6-2) 111213s11 212223s22 313233s33 ABC ABC ABC Z IZ IZ II Z IZ

33、 IZ II Z IZ IZ II s( ) 10 2cos2 i tt s( ) 20 2cos2 Vu tt 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 圖5.6-3例5.6-3用圖 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 【例【例5.6-4】圖5.6-4(a)所示的正弦穩(wěn)態(tài)電路中，已知 ，求電流 i(t)。 圖5.6-4例5.6-4用圖 3 s1( ) 10 2cos(10 ) Vutt 3 s2( ) 10 2sin(10 ) VUtt 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 2. 電路定理用于正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析電路定理用于正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析 在電阻電路部分曾講過，一個(gè)線性含源單口電路N，就 其端口來看，可等效為一個(gè)理想電壓源串聯(lián)電阻支

34、路(或理 想電流源并聯(lián)電阻組合)，即戴維南等效電路(或諾頓等效電 路)。類似地，在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，也可將一個(gè)線性含源單 口電路N的相量模型等效為戴維南等效電路(或諾頓等效電 路)相量模型，如圖5.6-5所示。 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 圖5.6-5線性含源單口電路等效相量模型 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 【例【例5.6-5】已知正弦穩(wěn)態(tài)電路如圖5.6-6所示，求電 流。 圖5.6-6例5.6-5用圖(一) I 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 解解將待求電流支路移去，求余下含源單口電路的戴維 南等效電路。 (1) 求端口開路電壓。作對應(yīng)電路如圖5.6-7(a)所示。 圖5.6-7例5.6-5用圖(二) oc

35、U 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 【例【例5.6-6】正弦穩(wěn)態(tài)電路如圖5.6-8所示，已知 ，求電流iR(t)。 圖5.6-8例5.6-6用圖(一) s( ) 5 2cos5 A i tt s( ) 5 2cos10 Vu tt 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 解解本題為多頻激勵(lì)源作用下求取正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)?？蓱?yīng) 用疊加原理，按同一頻率激勵(lì)源分別單獨(dú)作用于電路，求出 各分響應(yīng)瞬時(shí)值，再將分響應(yīng)瞬時(shí)值疊加即為各激勵(lì)源共同 作用所產(chǎn)生的響應(yīng)。 (1) 電流源單獨(dú)作用(w=5 rad/s)，對 應(yīng)電路相量模型如圖5.6-9(a)所示，此時(shí)us(t)=0，視作短路。 s( ) 5 2cos5 Ai tt 第5章正弦穩(wěn)態(tài)

36、電路分析 圖5.6-9例5.6-6用圖(二) 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 5.6.3正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量圖分析正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量圖分析 【例【例5.6-7】RC并聯(lián)正弦穩(wěn)態(tài)電路如圖5.6-10(a)所示， 已知I=2.5 A，I2=2 A。 (1) 求電流I1； (2) 若電壓u(t)=20 cos105t V，求電容C的值。 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 圖5.6-10例5.6-7用圖 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 【例【例5.6-8】正弦穩(wěn)態(tài)電路相量模型如圖5.6-11(a)所示， 是一個(gè)測量電感線圈電感和電阻的電路。已知R1=50 ，用 電壓表測得電壓U=110 V，U1=60 V，U2=70 V， 電路

37、的工作頻率f=50 Hz，求電感線圈的電感Lx和電阻Rx。 圖5.6-11例5.6-8用圖 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 5.7正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率 5.7.1單口網(wǎng)絡(luò)的功率單口網(wǎng)絡(luò)的功率 正弦穩(wěn)態(tài)單口網(wǎng)絡(luò)N如圖5.7-1所示，設(shè)端口電壓u(t)和 端口電流i(t)取關(guān)聯(lián)參考方向，其表達(dá)式分別為 u(t)=Um cos(wt+yu) i(t)=Im cos(wt+yi) 1. 單口網(wǎng)絡(luò)單口網(wǎng)絡(luò)N的瞬時(shí)功率的瞬時(shí)功率 p(t)=u(t)i(t)=UmIm cos(wt+yu) cos(wt+yi) 根據(jù)三角公式 1 coscoscos()cos() 2 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 圖5.7

38、-1單口網(wǎng)絡(luò) 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 p(t)可寫為 式中，j=yuyi。電壓u(t)、電流i(t)和瞬時(shí)功率p(t)的波形 如圖5.7-2所示。 mm ( )cos()cos(2) 2 uiui U I p ttyywyy coscos(2) ui UIUItjwyy (5.7-1) 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 圖5.7-2單口網(wǎng)絡(luò)的瞬時(shí)功率波形 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 2. 單口網(wǎng)絡(luò)單口網(wǎng)絡(luò)N的平均功率的平均功率 瞬時(shí)功率在一個(gè)周期內(nèi)的平均值稱為平均功率，記為P， 其計(jì)算式為 將式(5.7-1)代入上式，得 (5.7-2) 0 1 ( )d T Pp tt T 0 1 coscos(2) d

39、T ui PUIUItt T jwyy cosUIj 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 如果單口網(wǎng)絡(luò)N內(nèi)不含獨(dú)立源(無源單口網(wǎng)絡(luò))，則可以 等效為一個(gè)阻抗Z，此時(shí)式(5.7-2)可寫為 P=UI cosjZ (5.7-3) 設(shè)無源單口網(wǎng)絡(luò)的等效阻抗為 即 將上式代入式(5.7-3)，有 P=I2R (5.7-4) cosjsinj ZZZ UUUU ZRX IIII jjj cos cos ZZ U RURI I jj 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 同理，由無源單口網(wǎng)絡(luò)的等效導(dǎo)納表達(dá)式可導(dǎo)出 P=U2G (5.7-5) 由平均功率計(jì)算式(5.7-3)、式(5.7-4)、式(5.7-5)可見， 無源單口網(wǎng)絡(luò)的平

40、均功率只與電阻有關(guān)，與電抗無關(guān)。也就 是說，一個(gè)無源單口網(wǎng)絡(luò)N的平均功率實(shí)質(zhì)上就是該網(wǎng)絡(luò)中 各電阻所消耗的平均功率之和，即 P=PR (5.7-6) 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 3. 單口網(wǎng)絡(luò)單口網(wǎng)絡(luò)N的視在功率和功率因數(shù)的視在功率和功率因數(shù) 單口網(wǎng)絡(luò)N端口的電壓有效值與電流有效值的乘積稱為 視在功率，用S表示，即 S=UI (5.7-7) 視在功率的單位為伏安(VA)，以區(qū)別于平均功率。 由平均功率表達(dá)式(5.7-2)與視在功率表達(dá)式(5.7-7)可看 出，平均功率是在視在功率上打了一個(gè)折扣，這個(gè)折扣就是 cosj，稱為功率因數(shù)，用l表示，即 =cos P S lj (5.7-8) 第5章正弦穩(wěn)

41、態(tài)電路分析 4. 單口網(wǎng)絡(luò)單口網(wǎng)絡(luò)N的無功功率的無功功率 式(5.7-1)可寫為 上式表明，瞬時(shí)功率是由兩個(gè)分量組成的，這兩個(gè)分量 的波形分別如圖5.7-3所示。 ( )coscos(2) coscoscos2sinsin2 cos1 cos2sinsin2 RX p tUIUIt UIUItUIt UItUIt pp jwj jjwjw jwjw 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 圖5.7-3瞬時(shí)功率的兩個(gè)分量 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 第二個(gè)分量pX是以角頻率2w在橫軸上下波動(dòng)的交變分 量，其正、負(fù)半周與橫軸之間構(gòu)成的面積分別代表等量的吸 收能量和釋放能量，其平均值為零，是一個(gè)在平均意義上不 能作功的

42、無功分量。這個(gè)分量反映了網(wǎng)絡(luò)與外部電路之間能 量往返交換的速率，我們把它的最大值定義為無功功率，用 Q表示，即 Q=UI sinj (5.7-9) 如果單口網(wǎng)絡(luò)N內(nèi)不含獨(dú)立源，則式(5.7-9)可寫為 Q=UI sinjZ (5.7-10) 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 類似于平均功率計(jì)算式(5.7-4)和式(5.7-5)的推導(dǎo)，同樣 可根據(jù)阻抗和導(dǎo)納定義式導(dǎo)出無源單口網(wǎng)絡(luò)無功功率的另外 兩個(gè)計(jì)算式： Q=I2X=U2B (5.7-11) 由以上分析可見，無源單口網(wǎng)絡(luò)的無功功率只與電抗有 關(guān)，與電阻無關(guān)。也就是說，一個(gè)無源單口網(wǎng)絡(luò)的無功功率 等于網(wǎng)絡(luò)中各電抗的無功功率之和，即 Q=Qk (5.7-1

43、2) 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 5. 單口網(wǎng)絡(luò)單口網(wǎng)絡(luò)N的復(fù)功率的復(fù)功率 視在功率、有功功率、無功功率和功率因數(shù)角可以用一 個(gè)復(fù)數(shù)來統(tǒng)一表達(dá)，這個(gè)復(fù)數(shù)稱為復(fù)功率。 設(shè)單口網(wǎng)絡(luò)端口的電壓相量和電流相量為 且電流相量的共軛 則定義端口的電壓相量與電流相量的共軛的乘積為復(fù)功 率，用表示，即 , ui UUIIyy i IIy U * I * () ui SUIUIUISyyjj (5.7-13) 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 將式(5.7-13)寫成復(fù)數(shù)的直角坐標(biāo)形式，有 由式(5.7-13)和式(5.7-14)可見，復(fù)功率的模就是視在功率， 復(fù)功率的輻角就是功率因數(shù)角，故復(fù)功率的單位與視在功率 的單位相同

44、，都是伏安(VA)，復(fù)功率的實(shí)部為有功功率P， 虛部為無功功率Q，從而可將它們之間的關(guān)系用圖5.7-4 所示的功率三角形表示。由功率三角形可得以下關(guān)系式： (5.7-15) cosjsinjSUIUIPQjj 22 cos tan SPQ P Q Q P j j (5.7-14) 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 圖5.7-4功率三角形 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 前面討論有功功率和無功功率時(shí)，導(dǎo)出式(5.7-6)和式 (5.7-12)，現(xiàn)結(jié)合式(5.7-14)有 但 【例【例5.7-1】電路如圖5.7-5所示，輸入端電壓相量 ，求該無源二端網(wǎng)絡(luò)的平均功率P、無功功 率Q、視在功率S和功率因數(shù)l。 111

45、jj nnn kkk kkk SPQPQS 1 n k k SS (5.7-16) 100 0 VU 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 圖5.7-5例5.7-1用圖 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 【例【例5.7-2】電路如圖5.7-6所示，已知， 求網(wǎng)絡(luò)N吸收的平均功率PN。 圖5.7-6例5.7-2用圖 10j5 VU 2j1 AI 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 6. 功率因數(shù)的提高功率因數(shù)的提高 可以從兩個(gè)方面來提高負(fù)載的功率因數(shù)：一方面是改進(jìn) 用電設(shè)備的功率因數(shù)；另一方面，由于工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和日常家 用電氣設(shè)備絕大多數(shù)為感性負(fù)載。 【例【例5.7-3】圖5.7-7(a)為一日光燈電路模型，工作頻 率為50 Hz，

46、已知端電壓U=200 V，日光燈功率為40 W，額 定電流為0.4 A。 (1) 試求并電容前電路的功率因數(shù)cosjZ、電感L和電阻 R。 (2) 若要將功率因數(shù)提高到0.95，試求需要在RL支路兩 端并聯(lián)的電容C的值。 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 圖5.7-7例5.7-3用圖 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 5.7.2最大功率傳輸定理最大功率傳輸定理 電路如圖5.7-8所示，圖中電壓源 串聯(lián)內(nèi)阻抗Zs是實(shí) 際電壓源模型，可認(rèn)為是任何一個(gè)線性含源二端電路N的戴 維南等效電路，ZL是負(fù)載阻抗。 設(shè)電源內(nèi)阻抗為 Zs=Rs+jXs 負(fù)載阻抗為 ZL=RL+jXL 由圖5.7-8可知，電路中的電流為 s U s

47、s sLsLsL ()j() UU I ZZRRXX 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 圖5.7-8求最大功率傳輸用圖 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 于是，電流的有效值為 由此得負(fù)載吸收的平均功率為 s 22 sLsL ()() U I RRXX 2 2 sL LL 22 sLsL ()() U R PI R RRXX (5.7-17) 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 由式(5.7-17)可見，XL只出現(xiàn)在分母中，顯然對任意RL 值，當(dāng)Xs+XL=0(即XL=Xs)時(shí)分母最小，此即為所求的XL值。 在XL選定后，功率變成 為確定使上式中PL為最大的RL值，將PL對RL求導(dǎo)數(shù)并令其 為零，即 (5.7-18) 2 sL

48、 L 2 sL () U R P RR 2 2 sLLsLL s 4 LsL ()2()d 0 d() RRRRRP U RRR 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 上式要成立，分子必為零，所以有 (Rs+RL)22RL(Rs+RL)=0 解得 RL=Rs 因此，在電源給定的情況下，負(fù)載ZL獲得最大功率的條件 是： 即 (5.7-19) Ls Ls XX RR * Ls ZZ 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 將式(5.7-19)代入式(5.7-17)，得在共軛匹配條件下負(fù)載 獲得的最大功率為 在某些情況下，負(fù)載阻抗的實(shí)部和虛部以相同的比例增 大或減小，即阻抗角保持不變，只改變阻抗的模|ZL|?？梢?證明，在這種情

49、況下，負(fù)載獲得最大功率的條件是： |ZL|=|Zs| (5.7-21) (5.7-20) 2 s Lmax s 4 U P R 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 【例【例5.7-4】電路如圖 5.7-9(a)所示，ZL為負(fù)載阻抗， 試求在下列情況下負(fù)載ZL獲得的最大功率。 (1) 負(fù)載ZL的實(shí)部和虛部均可調(diào)節(jié)。 (2) 負(fù)載為純電阻RL。 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 圖5.7-9例5.7-4用圖 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 5.8三相電路三相電路 5.8.1三相電源三相電源 1. 對稱三相電源對稱三相電源 三相電源是由三相發(fā)電機(jī)獲得的。圖5.8-1(a)所示是三 相發(fā)電機(jī)的示意圖，它主要由轉(zhuǎn)子和定子組成。圖中，

50、AX、 BY、CZ是完全相同而彼此相隔120的三個(gè)定子繞組，每個(gè) 繞組稱為一相，分別稱為A相、B相和C相，其中A、B、C稱 為始端，X、Y、Z稱為末端，定子是固定不動(dòng)的，它一般由 硅鋼片疊成。三相發(fā)動(dòng)機(jī)中部的磁極是轉(zhuǎn)動(dòng)的，稱為轉(zhuǎn)子。 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 圖5.8-1三相發(fā)電機(jī)示意圖和三相電源模型 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 當(dāng)轉(zhuǎn)子在汽輪機(jī)或水輪機(jī)驅(qū)動(dòng)下以角速度勻速旋轉(zhuǎn)時(shí)， 三個(gè)定子繞組中便會(huì)感應(yīng)出隨時(shí)間按正弦方式變化的電壓。 這三個(gè)電壓的頻率相同，幅值相等，相位彼此相差120， 相當(dāng)于三個(gè)獨(dú)立的正弦電壓源，稱為對稱三相電壓源，其模 型如圖5.8-1(b)所示，它們的瞬時(shí)值表達(dá)式分別為 pmp

51、pmp pmp ( )cos2cos ( )cos(120 )2(cos120 ) ( )cos(120 )2(cos120 ) A B C utUtUt utUtUt utUtUt ww ww ww (5.8-1) 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 式中，Upm為每相電壓的振幅，Up為每相電壓的有效值。由 式(5.8-1)可寫出對稱三相電壓的相量分別為 圖5.8-2是對稱三相電壓源的波形圖和相量圖。 顯然，對稱三相電壓源的瞬時(shí)值之和為零，即 uA+uB+uC=0 (5.8-3) 由圖5.8-2(b)可知，它們的相量之和為零，即 (5.8-2) p p p 0 120 120 A B C UU UU U

52、U 0 ABC UUU (5.8-4) 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 圖5.8-2對稱三相電壓源的波形圖和相量圖 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 2. 對稱三相電源的連接對稱三相電源的連接 1) 星形連接(Y連接) 將對稱三相電源的末端X、Y、Z連接在一起成為節(jié)點(diǎn)N， 稱為中性點(diǎn)(簡稱中點(diǎn))，由中點(diǎn)引出的導(dǎo)線稱為中線(零線)， 由始端A、B 、C引出的三根導(dǎo)線與輸電線相接，輸送電能 到負(fù)載，這三根導(dǎo)線稱為端線(或火線)，如圖5.8-3(a) 所示。圖5.8-3(a)所示的供電方式稱為三相四線制(三根火線 和一根中線)。圖5.8-3(a)中，如果沒有中線，則稱為三相三 線制。 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 圖5.8

53、-3對稱三相電源的Y連接及相量圖 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 圖5.8-3中，端線與中線之間的電壓(即每相電源的電壓) 稱為相電壓，用uA、uB和uC表示; 兩條端線之間的電壓稱為 線電壓，用uAB、uBC和uCA表示。由圖5.8-3(a)可見，線電壓 與相電壓有如下關(guān)系： 用相量表示為 ABAB BCBC CACA uuu uuu uuu ABAB BCBc CACA UUU UUU UUU (5.8-5) 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 將式(5.8-2)代入式(5.8-5)中，得相電壓和線電壓的相量圖如 圖5.8-3(b)所示。由圖5.8-3(b)可得線電壓的有效值為 同理可得 由此可見，若相電壓是

54、對稱的，則線電壓也是對稱的， 而且線電壓的有效值是相電壓的有效值的倍。設(shè)線電壓的 有效值用表示，則 (5.8-6) p 2cos303 ABA UUU p 3 BC UU 3 p 3 l UU 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 根據(jù)相量圖(見圖5.8-3(b)不難看出，對稱三相線電壓相 量與相電壓相量之間的相位關(guān)系如下： 2) 三角形連接(連接) 將對稱三相電源的始端與末端依次相連，即X與B、Y與 C、Z與A相連形成一個(gè)閉合回路，由三個(gè)連接點(diǎn)引出三根端 線向外供電，就構(gòu)成了連接，如圖5.8-4(a)所示。這種接 法是沒有中線的。 (5.8-7) 3 30 3 30 3 30 ABA BCB CAC UU

55、 UU UU 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 圖5.8-4對稱三相電源的連接及相量圖 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 在連接中，由于每相電源直接連接在兩端線之間，所 以線電壓就等于相電壓，即 也即 Ul=Up (5.8-9) (5.8-8) ABA ABA BCBBCB CAC CAC UU uu uuUU uu UU 或 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 5.8.2對稱三相電路的計(jì)算對稱三相電路的計(jì)算 對稱三相電路是由對稱三相電源連接對稱三相負(fù)載組成 的電路。所謂對稱三相負(fù)載，是指三個(gè)負(fù)載的參數(shù)完全相同， 它們也可接成星形和三角形，如圖5.8-5所示。 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 圖5.8-5對稱三相負(fù)載的連接 第5章正

56、弦穩(wěn)態(tài)電路分析 首先分析圖5.8-6所示的對稱三相電路，稱為三相四線 制Y-Y供電系統(tǒng)。圖中，NN為中線; ZN為中線阻抗；端線電 流稱為線電流，其有效值用Il表示；流過各相負(fù)載的電流稱 為相電流，其有效值用Ip表示。顯然，在負(fù)載為Y連接時(shí)， 相電流等于線電流，即 Ip=Il (5.8-10) 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 圖5.8-6三相四線制Y-Y供電系統(tǒng) 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 設(shè)每相負(fù)載阻抗Z=|Z|jZ，由于圖5.8-6所示的電路只 有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)N和N，因此采用節(jié)點(diǎn)分析法分析較為方便。選 N為參考節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)N到N的電壓為UNN，列節(jié)點(diǎn)方程為 即 1111 CAB N N N UUU U ZZ

57、ZZZZZ 31 ABC N N N UUU U ZZZ 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 由于電源對稱，即 所以有 UNN=0 (5.8-11) 0 ABC UUU 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 由圖5.8-6可知，各線電流(也即各相電流)為 根據(jù)KCL，中線電流為 A A B B C C U I Z U I Z U I Z 0 NABC IIII (5.8-13) (5.8-12) 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 每相負(fù)載的平均功率為 Pp=UpIp cosjZ (5.8-14) 在負(fù)載作Y形連接時(shí)，有 Il=Ip 于是： 三相負(fù)載總的平均功率為 P=3Pp=3UpIp cosjZ (5.8-15) p 3 l

58、UU p cos 3 l lZ U PIj 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 【例【例5.8-1】對稱三相三線制電路如圖5.8-7所示。已 知對稱三相電源的相電壓為220 V，對稱三相負(fù)載阻抗 Z=1045W，求三相負(fù)載的電流和消耗的總功率。 圖5.8-7例5.8-1用圖 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 下面我們分析另一類典型的三相電路，即三角形連接的 對稱三相負(fù)載與對稱三相電源組成的電路。三相電源可能是 Y形連接，也可能是連接。當(dāng)只要求分析負(fù)載的電流和電 壓時(shí)，只需知道線電壓即可。圖5.8-8(a)所示是連接的對 稱三相負(fù)載。 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 圖5.8-8連接的對稱三相負(fù)載及其相量圖 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電

59、路分析 圖5.8-8中，、是線電流，其有效值用Il表示； 、是負(fù)載的相電流，其有效值用Ip表示。 設(shè)線電壓 由圖5.8-8(a)可知，各相負(fù)載的相電壓等于線電壓，于 是得負(fù)載的相電流為 A I 0 120 120 ABl BCl CAl UU UU UU B I C I AB I BC I CA I (5.8-16) 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 線電流為 (5.8-17) p p p 0 120 (120 ) 120 (120 ) lAB ABZ Z BCl BCZ Z CAl CAZ Z UU II ZZ UU II ZZ UU II ZZ j j j j j j AABCA BBCAB CCA

60、BC III III III (5.8-18) 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 由式(5.8-16)、式(5.8-17)和式(5.8-18)繪出電壓、電流的 相量圖如圖5.8-8(b)所示。由圖5.8-8(b)可見，若線電壓是對 稱的，則相電流和線電流也是對稱的。根據(jù)此相量圖可得線 電流的有效值為 同理可得 線電流的有效值是相電流有效值的 倍，即 (5.8-19) p 2cos303 AAB III p p 3 3 B C II II p 3 l II 3 第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析 此外，由圖5.8-8(b)可得各線電流與相電流的相位關(guān)系 為 三相負(fù)載總的平均功率為 三相負(fù)載的瞬時(shí)功率等于各相負(fù)載瞬時(shí)功