八年級(jí)上數(shù)學(xué)暑期講義五馬路

1、全等三角形知識(shí)框架：證題的思路：第一課 全等三角形的性質(zhì)圖形全等：一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變化了，但形狀、大小都沒(méi)有改變，即平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等?！叭取庇帽硎?，讀作“全等于”全等三角形的定義：兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上，如全等時(shí)，點(diǎn)a和點(diǎn)d，點(diǎn)b和點(diǎn)e，點(diǎn)c和點(diǎn)f是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，記作。 把兩個(gè)全等的三角形重合到一起，重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，重合的角叫做對(duì)應(yīng)角。全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。例1.已知：如圖，則的大小為 例2.如圖，在平面上將abc繞b點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到abc的位置時(shí)，aabc，ab

2、c=70，則cbc為_(kāi)度.例3.如圖，在abc中，a:b:c=3:5:10，又mncabc，則bcm：bcn等于（ ） a1:2 b1:3 c2:3 d1:4 課堂同步：1.根據(jù)下列條件，能畫(huà)出唯一的是( )a. ，b. ，c. ，d. ，2.如圖12=200，ad=ab， db，e在線段bc上，則aec=（ ） a.200 b.700 c.500 d.800 3.如圖，abcdef，a與d，b與e分別是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，b=，a=，ab=13cm，則f=_度，de=_cm 4.已知abcdef,a=52,b=67bc=15cm則f=_,fe=_cm. 5.如圖，p是正abc內(nèi)的一點(diǎn)，若將pab繞點(diǎn)a

3、逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到p/ac，則pap/的度數(shù)為_(kāi)6.將一張正方形紙片按如圖的方式折疊，bc,bd為折痕，則cbd的大小為_(kāi)7.如圖所示，的延長(zhǎng)線交于，交于，則的度數(shù)為 8.如圖，把a(bǔ)bc繞點(diǎn)c順時(shí)針旋轉(zhuǎn)350，得到a/b/c, a/b/交ac乎點(diǎn)d，已知a/dc=90，求a的度數(shù).課后練習(xí)：1.下列說(shuō)法：全等圖形的形狀相同、大小相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；全等三角形的周長(zhǎng)、面積分別相等，其中正確的說(shuō)法為（） a b c d2.如果d是中bc邊上一點(diǎn)，并且，則是（ ） a銳角三角形 b鈍角三角形 c直角三角形d等腰三角形3.對(duì)于兩個(gè)圖形，給出下列結(jié)論：兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)相等；兩個(gè)

4、圖形的面積相等；兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)和面積都相等；兩個(gè)圖形的形狀相同，大小也相等其中能獲得這兩個(gè)圖形全等的結(jié)論共有（）a1個(gè) b2個(gè) c3個(gè) d4個(gè)4.如圖，繞點(diǎn)o逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，已知，則等于（） a b c d 5.如圖，abe acd,ab=ac,be=cd, b=50，aec=120，則dac的度數(shù)等于（ ）a.120 b.70 c.60 d.506.如圖，已知ab=ac，ad=ae，bad=25，則cae= 7.如圖,abdace,則ab的對(duì)應(yīng)邊是_,bad的對(duì)應(yīng)角是_8.已知:如圖,abeacd,b=c,則aeb=_,ae=_ _9.如圖:abcdcb,ab和dc是對(duì)應(yīng)邊,a和d是對(duì)應(yīng)

5、角,則其它對(duì)應(yīng)邊是_,對(duì)應(yīng)角是_10.已知:如圖,abcdef,bcef,a=d,bc=ef,則另外兩組對(duì)應(yīng)邊是_,另外兩組對(duì)應(yīng)角是_ 11.如圖，abe和adc是abc分別沿著ab、ac邊翻折180形成的，若1：2：3=28：5：3，則a的度數(shù)為能力提高：1.長(zhǎng)為l的一根繩,恰好可圍成兩個(gè)全等三角形,則其中一個(gè)三角形的最長(zhǎng)邊x的取值范圍為( ) a. b. c. d.2.已知abcabc，abc的三邊為3、m、n，abc的三邊為5、p、q，若abc的各邊都是整數(shù)，則m+n+p+q的最大值為_(kāi)3.觀察圖中每一個(gè)大三角形中白色三角形的排列規(guī)律，則第5個(gè)大三角形中白色三角形有 個(gè) 課堂小練01-全

6、等三角形的性質(zhì)姓名：1.已知:如圖,abcdef,acdf,bcef.則不正確的等式是（ ） a.ac=df b.ad=be c.df=ef d.bc=ef 2.如圖，bcdcbe，bc6，ce5，be4，則cd的長(zhǎng)是（ ）a4 b5 c6 d無(wú)法確定3.已知圖中的兩個(gè)三角形全等，則度數(shù)是（ ） a.72 b.60 c.58 d.504.如圖，將rtabc(其中b34，c90）繞a點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到ab1 c1的位置，使得點(diǎn)c、a、b1在同一條直線上，那么旋轉(zhuǎn)角最小等于（）a.56 b.68 c.124 d.180 5.如圖，abeacd，b50，aeb60，則dac的度數(shù)等于（ ）a120

7、 b70 c60 d50 6.若兩個(gè)三角形的面積相等 , 則這兩個(gè)三角形_全等7.如圖,abdace,且bad和cae,abd和ace,adb和aec是對(duì)應(yīng)角,則對(duì)應(yīng)邊_8.如圖,abcdbc,且a和d,abc和dbc是對(duì)應(yīng)角,其對(duì)應(yīng)邊:_,對(duì)應(yīng)角:_9.已知:如圖,abcfed,且bc=de.則a=_,a d=_10.如圖，abocdo，oa2，ab4，bo3，則dc ，oc ，od . 11.已知：如圖，oadobc，且o70，c25，則aeb_度.12.如圖，分別為的，邊的中點(diǎn)，將此三角形沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處若，則等于 13.如圖，把大小為44的正方形方格圖形分割成兩個(gè)全等圖形，例

8、如圖1請(qǐng)?jiān)谙聢D中，沿著虛線畫(huà)出四種不同的分法，把44的正方形方格圖形分割成兩個(gè)全等圖形 第二課 全等三角形的判定一如果兩個(gè)三角形滿足上述六個(gè)條件中的一個(gè)或兩個(gè)時(shí)有幾種情形，能否保證兩個(gè)三角形全等？滿足一個(gè)條件：只有一條邊對(duì)應(yīng)相等；只有一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等；結(jié)論： 滿足兩個(gè)條件：兩角對(duì)應(yīng)相等；兩邊對(duì)應(yīng)相等；一邊一角對(duì)應(yīng)相等結(jié)論： 如果兩個(gè)三角形滿足上述六個(gè)條件中的三個(gè)時(shí)，有幾種可能的情況？ 兩邊一角對(duì)應(yīng)相等兩角一邊對(duì)應(yīng)相等三邊對(duì)應(yīng)相等三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等 如果兩個(gè)三角形有兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊角邊”或簡(jiǎn)記為（s.a.s.）例1.如圖，aedb， bcef， bcef，求證：

9、 abcdef例2.已知：如圖，be、cf是abc的高，分別在射線be與cf上取點(diǎn)p與q，使bp=ac，cq=ab。求證：（1）aq=ap；（2）apaq例3.如圖已知：abc和bde是等邊三角形，d在ae延長(zhǎng)線上。 求證：bd+dc=ad 例4.如圖，已知，等腰rtoab中，aob=90o，等腰rteof中，eof=90o，連結(jié)ae、bf求證：（1）ae=bf；（2）aebf課堂同步練習(xí)：1.已知：adbc，ad=cb，求證：adccba2.如果把題1中的adc沿著ca方向平移到adf的位置(如圖5)，那么除了adbc、ad=cb的條件外，還需要一個(gè)什么條件才能證明adfceb？請(qǐng)補(bǔ)充條件，

10、并證明。3.如圖，abc中，abac，ad平分bac，試說(shuō)明abdacd.4.如圖，abad， acae， baedac，求證： abcade 5.已知:如圖,ad是bc上的中線,且df=de求證:becf6.如圖，在中，分別以為邊作兩個(gè)等腰直角三角形和，使（1）求的度數(shù)；（2）求證： 7.如圖，在abe中，abae,adac,badeac, bc、de交于點(diǎn)o. 求證：(1) abcaed； (2) oboe .課后練習(xí)題：1.在abc和abc中 , 要使abcabc , 需滿足條件（ ） a.ab=ab, ac=ac, b=b b.ab=ab, bc=bc, a=a c.ac=ac, bc

11、=bc, c=c d.ac=ac, bc=bc, c=b2.如圖 , 在aob的兩邊上截取ao=bo , 在ao和bo上截取co=do , 連結(jié)ad和bc交于點(diǎn)p , 則aodboc理由是（ ） a.asa b.sas c.aas d.sss3.如圖，在和中，已知，根據(jù)（sas）判定 ，還需的條件是（）a. b. c. d.以上三個(gè)均可以 4.如圖 , ad=ae , ab=ac , be、cd交于f , 則圖中相等的角共有_對(duì),（除去dfe=bfc）( ) a.5 b.4 c.3 d.25.在rtacd和rtbce中,若ad=be,dc=ec,則不正確的結(jié)論是（ ） a.rtacdrtbce

12、 b.oa=ob c.e是ac的中點(diǎn) d.ae=bd6.如果兩個(gè)三角形全等,則不正確的是（ ） a.它們的最小角相等 b.它們的對(duì)應(yīng)外角相等 c.它們是直角三角形 d.它們的最長(zhǎng)邊相等7.如圖,已知:abeacd,1=2,b=c,不正確的等式是（ ） a.ab=ac b.bae=cad c.be=dc d.ad=de 8.下圖中全等的三角形是（ ） a.和 b.和 c.和 d.和9.如圖，已知12，要使abcade，還需條件（ ）.a.abad，bcde b.bcde，acaec.bd，ce d.acae，abad10.如圖，adbc,adcbcd.求證：bacabd11.如圖,已知:adbc

13、,ad=bc求證:abcd12.如圖,已知:ac=df,acfd,ae=db,求證:abcdef.13.已知:如圖,點(diǎn)b,e,c,f在同一直線上,abde,且ab=de,be=cf.求證:acdf14.已知:如圖,ad是bc上的中線 ,且df=de求證:becf15.如圖，在中，是上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，與有什么位置關(guān)系？說(shuō)明你判斷的理由。16.已知:如圖,ab=ac,ad=ae,bac=dae.求證:bd=ce。17.已知c為ab上一點(diǎn),acn和 bcm是正三角形.(1)求證:am=bn；(2)求afn的度數(shù).18.如圖，已知，abde，ab=de，af=dc。請(qǐng)問(wèn)圖中有那幾對(duì)全等三角形？請(qǐng)任選一對(duì)

14、給予證明。 19.如右圖，已知deac，bfac，垂足分別是e、f，ae=cf，dcab，（1）試證明：de=bf；（2）連接df、be，猜想df與be的關(guān)系？并證明你的猜想的正確性能力提高：1.觀察下列圖形，則第個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)是（ ）第1個(gè)第2個(gè)第3個(gè)a.b.c.d.2.如圖，為等邊三角形，點(diǎn)分別在上，且，與交于點(diǎn)。求的度數(shù)。3.如圖，已知的邊長(zhǎng)為1的正三角形，是頂角的等腰三角形，以d為頂點(diǎn)作一個(gè)角，角的兩邊分別交ab于m，交ac于n，連mn形成，求證：的周長(zhǎng)等于2。4.已知在中，ad平分交bc于d點(diǎn)，求證：ac=ab+bd。5.如圖，abc是等腰直角三角形，其中ca=cb，四邊形cd

15、ef是正方形，連接af、bd. (1)觀察圖形，猜想af與bd之間有怎樣的關(guān)系，并證明你的猜想； (2)若將正方形cdef繞點(diǎn)c按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使正方形cdef的一邊落在abc的內(nèi)部，請(qǐng)你畫(huà)出一個(gè)變換后的圖形，并對(duì)照已知圖形標(biāo)記字母，題(1)中猜想的結(jié)論是否仍然成立？若成立，直接寫(xiě)出結(jié)論，不必證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.課堂小練02-判定一 姓名：1.下面各條件中，能使abcdef的條件的是（）aabde，ad，bcefbabbc，be，deefcabef，ad，acdfdbcef，cf，acdf2.如圖，相交于點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（ ）a. b. c. d. 3.如圖，已知，下列結(jié)論不正確

16、的有（ ）a. b. c.ab=bc d.bd=ce4.如圖所示,abc與bde都是等邊三角形,abcd c.aecd d.無(wú)法確定5.已知：如圖 , ceab , dfab , 垂足分別為e , f , af=be , 且ac=bd , 則不正確的結(jié)論是（ ） a.rtaecrtbfd b.c+b=90 c.a=d d.acbd. 6.如果abc和def全等，def和ghi全等，則abc和ghi_全等， 如果abc和def不全等，def和ghi全等，則abc和ghi_全等（填“一定”或“不一定”或“一定不”）7.如圖，已知abbd于b，edbd于d，ab=cd，bc=de，則ace=_.8.

17、已知如圖，f在正方形abcd的邊bc邊上，e在ab的延長(zhǎng)線上，fbeb，af交ce于g，則agc的度數(shù)是_.9.如圖，abc是不等邊三角形，de=bc，以d ，e為兩個(gè)頂點(diǎn)作位置不同的三角形，使所作的三角形與abc全等，這樣的三角形最多可以畫(huà)出_個(gè)10.如圖，已知abc的六個(gè)元素,則下面甲、乙、丙三個(gè)三角形中和abc全等的圖形是 。11.已知:如圖,ac=ab,ae=ad,1=2.求證:3=4。12.已知:如圖,1=2,bd=cd,求證:ad是bac的平分線13.已知:如圖,ab=ac,ae平分bac.求證:dbe=dce第三課 全等三角形判定二定義：如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)角及其夾邊分別對(duì)應(yīng)相等

18、，那么這兩個(gè)三角形全等簡(jiǎn)記為“角邊角”或簡(jiǎn)記為(a.s.a.)。如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)角及其其中一角的對(duì)邊分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)記為“角角邊”或簡(jiǎn)記為（a.a.s）問(wèn)題：一塊三角形玻璃碎成如圖形狀4塊，配一塊與原來(lái)一樣的三角形玻璃dbca（1）要不要4塊都帶去？（2）帶哪一塊呢？（3）帶d塊，帶去了三角形的幾個(gè)元素？另外幾快呢？例1.如圖，bda=cea， ae=ad求證:ab=ac例2.如圖，ac=bc，d為ab上一點(diǎn),，交cd延長(zhǎng)線于f點(diǎn).求證：bf=ce.例3.如圖，已知在中，ad是角平分線，cfad交ab于f，垂足為m，cead交ba的延長(zhǎng)線于e，求證：ac=ae=af。

19、例4.如圖，abc中，bac=900，ab=ac，bd是abc的平分線，bd的延長(zhǎng)線垂直于過(guò)c點(diǎn)的直線于e，直線ce交ba的延長(zhǎng)線于f求證：bd=2ce課堂同步：1.已知：如圖 , ac=cd , b=e=90 , accd , 則不正確的結(jié)論是( ) a.a與d互為余角 b.a=2 c.abcced d.1=2 2.在abc中，ac=5，中線ad=4，則邊ab的取值范圍是( ) a.1ab9 b.3ab13 c.5ab13 d.9ab133.如圖，點(diǎn)d,e,f,b在同一條直線上，abcd，aecf，且bf=de，若bd=10，bf=2，則ef=_4.已知：如圖 , 四邊形abcd中 , ab

20、cd , adbc求證：abdcdb.5.如圖，試說(shuō)明abcdcb.6.如圖，12，bc.求證：abac.7.已知:如圖,四邊形 abcd中,adbc,f是ab的中點(diǎn),df交cb延長(zhǎng)線于e , ce=cd.求證：ade=edc課后練習(xí)：1.如圖，abcd，adbc，ac、bd相交于點(diǎn)o。（1）由adbc，可得 = ，由abcd，可得 = ，又由 ，于是abdcdb；（2）由 ，可得ad=cb，由 ，可得aodcob；（3）圖中全等三角形共有 對(duì)。 2.如圖，12,bd，求證: abcadc3.如圖,cd, cede求證:badabc4.如圖，已知點(diǎn)b、c、e在一條直線上，ab=cd，ac=bd

21、，deac，試說(shuō)明e=dbc。5.如圖，ac、bd交于點(diǎn)，圖中共有幾對(duì)長(zhǎng)度相等的線段，你是通過(guò)什么辦法找到的？6.已知:如圖,abcd,1=2,o是ad的中點(diǎn),ef、ad交于o求證：o也是ef的中點(diǎn) 7.如圖，adbe,acd,bcef，求證:abcdef8.已知：如圖, fb=ce , abed , acfd, f、c在直線be上求證：ab=de , ac=df9.已知：在abc中，ad為bc邊上的中線，cead，bfad。求證：ce=bf。10.在等邊三角形abc中，ae=cd，ad，be交于p點(diǎn)，bqad于q求證：bp=2pq能力提高：1.三角形abc中，ab=ac，在ab上取一點(diǎn)d，在

22、ac的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)e，使ce=bd，連結(jié)de交bc于g，求證：dg=ge.2.已知：如圖，在abc 中，ad是bac的角平分線，e、f分別是ab、ac上的點(diǎn)，且edfeaf180。求證：dedf。3.如圖，在abc中，ab=ac，試說(shuō)明aed是等腰三角形。4.已知：如圖 , e、d、b、f在同一條直線上 , adcb , bad=bcd , de=bf求證：aecf.5.已知：如圖 , ae=bf , adbc , ad=bc.ab、cd交于o點(diǎn)求證：oe=of課堂小練03-全等三角形判定二 姓名：1.如圖,a=d,oa=od,doc=50,求dbc的度數(shù)為( ) a.50 b.30 c.4

23、5 d.25 2.已知:如圖，ad=dc,adc=deb=b=90,四邊形abcd的面積為16,則de的長(zhǎng)為（ ） a.5 b.4 c.3 d.23.如圖在 abc中,adbc于d,beac于e,ad交be于f,若bf=ac,那么abc的大小是 4.已知：如圖 , 1=2 , abbc , addc , 垂足分別為b、d 求證：ab=ad5.如圖，四邊形abcd的對(duì)角線ac與bd相交于o點(diǎn)，1=2，3=4求證：（1）；（2）bo=do6.已知：如圖accd于c , bdcd于d , m是ab的中點(diǎn) , 連結(jié)cm并延長(zhǎng)交bd于點(diǎn)f求證：ac=bf第四課 全等三角形判定三定義：如果兩個(gè)三角形的三條

24、邊分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等簡(jiǎn)寫(xiě)為“邊邊邊”，或簡(jiǎn)記為（s.s.s.）。例1.已知：如圖ab=cd,ad=bc，求證：adbc。例2.已知：如圖 , abc和adc有公共邊ac , e是ac上一點(diǎn) , ab=ad , be=de求證：abc=adc例3.已知：如圖，點(diǎn)a、c、b、d在同一條直線上，ac=bd , am=cn , bm=dn，求證：amcn,bmdn。例4.已知：如圖,ab=ae,ac=ad,bc=de, c,d在be邊上.求證：cae=dab課堂同步：1.如圖，已知ab=dc，ad=bc，e、f是db上兩點(diǎn)且bf=de，若aeb=120，adb=30，則bcf= 2.如

25、圖，四邊形abcd中，adbc，abdc，試說(shuō)明abccda.3.已知：如圖 , ab=dc , bd=ac , ac , bd交于o求證：aobdoc4.如圖 , 已知：ab=ac , bd=cd , e為ad上一點(diǎn) , 求證：bed=ced。5.已知：如圖，a、e、f、b在一條直線上，ac=bd , ae=bf，cf=de。求證：ad=bc6.已知：如圖 , ab=cd , ad=bc ,o為bd中點(diǎn) , 過(guò)o作直線分別與da、bc的延長(zhǎng)線交于e、f求證：oe=of.7.如圖在abc和dbc中 , 1=2 , 3=4 , p是bc上任意一點(diǎn)求證：pa=pd.課后練習(xí)：1.若abcbad，a

26、和b、c和d是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，如果，則bc的長(zhǎng)是（ ）a. b. c. d.無(wú)法確定2.如圖，已知ab=cd，ad=bc，e,f是bd上的兩點(diǎn)，且be=df，若，則_； 3.如圖，ac=bc，ad=bd，ae=be，af=bf，則圖中共有 對(duì)全等三角形，4.已知：如圖：be=cf，ab=de，ac=df ，求證：abcdef5.如圖，ac=bd， bc=ad，求證: abcbad6.如圖，點(diǎn)d、b分別在a的兩邊上，c是a內(nèi)一點(diǎn)，ab=d，bc=cd，cead于e，cfaf于f求證：ce=cf.7.已知如圖，b是ce的中點(diǎn)，ad=bc，ab=dcde交ab于f點(diǎn)。 求證：（1）adbc;（2）af=b

27、f 8.已知:如圖,d、e分別是abc的邊ab,ac的中點(diǎn),點(diǎn)f在de的延長(zhǎng)線上,且ef=de求證:(1)bd=fc (2)abcf.課堂小練04-全等三角形判定三 姓名：1.如圖，abcd，acdb，ad與bc交于0，aebc于e，dfbc于f，那么圖中全等的三角形有( )對(duì) a5 b6 c7 d8 2.已知：如圖 , ab=de , ac=df , 要證abcdef , 所缺一個(gè)條件是_或_3.如圖，已知abad，12，要使abcade，還需添加的條件是（只需填一個(gè)）4.已知 ：如圖 , ab=ac , eb=ec , ae的延長(zhǎng)線交bc于d求證：bd=cd5.已知：如圖 , ab=cd

28、, bc=da , e、f是ac上兩點(diǎn) , 且ae=cf求證：bf=de.6.已知：如圖 , e是ad上的一點(diǎn) , ab=ac , ae=bd , ce=bd+de求證：b=cae第五課 全等三角形判定四定義：如果兩個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)直角三角形全等簡(jiǎn)記為hl定理（或斜邊直角邊）例1.如圖，有一個(gè)直角abc，c=90，ac=10，bc=5，一條線段pq=ab，p.q兩點(diǎn)分別在ac和過(guò)點(diǎn)a且垂直于ac的射線ax上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)ap= 時(shí),才能使abc與pqa全等.例2.已知：如圖，ab=cd，ae=df，且aebc于e，dfbc于f.求證：b=c。例3.已知：如圖 ,

29、 e, b, f, c四點(diǎn)在同一直線上, a=d=90 , be=fc, ab=df求證：e=c例4.如圖，abbc于b，addc于d，且cb=cd，ac、bd相交于o求證：abd=adb.例5.證明:在直角三角形中，300所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。例6.已知：如圖，ad為abc的高，e為ac上一點(diǎn)，be交ad于f，且有bf=ac，fd=cd，求證：beac。例7.已知：rtabc中，acb是直角，d是ab上一點(diǎn)，bd=bc，過(guò)d作ab的垂線交ac于e，求證：cdbe.課堂練習(xí)：1.能使兩個(gè)直角三角形全等的條件是( )a. 兩直角邊對(duì)應(yīng)相等b. 一銳角對(duì)應(yīng)相等c. 兩銳角對(duì)應(yīng)相等d. 斜邊相

30、等2.如圖 , 在下列給出的四組條件下，不一定能推導(dǎo)出abdebc的條件是( ) a.be=ba , bd=bc , 1=2 b.3=4 , 1=2 , ab=eb c.ab=eb , 1=2 , ad=ec d.ab=eb , 1=2 , c=d 3.如圖，已知abac，accd，垂足分別是a，c，ad=bc。由此可判定全等的兩個(gè)三角形是 和 4.已知：如圖 , ae , fc都垂直于bd , 垂足為e、f , ad=bc , be=df 求證：oa=oc.5.已知：如圖 , ab=cd , d、b到ac的距離de=bf求證：abcd6.已知：如圖 , oc=od , adob于d , bc

31、oa于c.求證：ea=eb7.如圖，已知：acb和adb都是直角，bc=bd，e是ab上任一點(diǎn)，求證：ce=de8.已知：如圖，a=d=90，ac，bd交于o，ac=bd.求證：ob=oc9.如圖，在等腰直角三角形abc中，acb=90o,直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)c，adl, bel,垂足分別為d、e.求證：ad=ce。 課后練習(xí)：1.下列條件中，不能判定兩個(gè)直角三角形全等的是（ ） a.一條直角邊和一個(gè)銳角分別相等 b.兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等 c.斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等 d.斜邊和一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等2.在下列定理中假命題是（ ）a一個(gè)等腰三角形必能分成兩個(gè)全等的直角三角形b一個(gè)直角三角形必能分成兩個(gè)等腰三角

32、形c兩個(gè)全等的直角三角形必能拼成一個(gè)等腰三角形d兩個(gè)等腰三角形必能拼成一個(gè)直角三角形 3.如圖，在rtabc中，acb=90，cd、ce，分別是斜邊ab上的高與中線，cf是acb的平分線。則1與2的關(guān)系是（ ）a12 d不能確定4.在直角三角形abc中,若c=90,d是bc邊上的一點(diǎn),且ad=2cd,則adb的度數(shù)是（ ）a30 b60 c120 d1505.如圖，已知bdae于b，c是bd上一點(diǎn)，且bc=be，要使rtabcrtdbe，應(yīng)補(bǔ)充的條件是a=d或 或 或 。 6.如圖，在abc中，adbc于d，ad與be相交于h，且bh=ac，dh=dc，那么abc= 度。7.如圖，adbc，a

33、=900，e是ab上一點(diǎn)，1=2，ae=bc，求證：dec=908.如圖所示，已知ad是bac的平分線，deab于e，dfac于f，且bdcd 求證：becf9.已知bdcd，bfac，ceab 求證：d在bac的平分線上10.如圖，在abe和acd中，給出以下四個(gè)論斷：ab=ac；ad=aeam=anaddc，aebe以其中三個(gè)論斷為題設(shè)，填入下面的“已知”欄中，一個(gè)論斷為結(jié)論，填入下面的“求證”欄中，使之組成一個(gè)真命題，并寫(xiě)出證明過(guò)程已知： 求證： 能力提高：1.已知在rtabc中，c90，acbc，ad為bac的平分線，deab，垂足為c求證：dbe的周長(zhǎng)等于ab2.如圖，已知在中，、都

34、是等邊三角形de交ab于f，求證：df=ef。3.如圖，點(diǎn)c在線段ab上，daab，ebab，fcab，且da=bc，eb=ac，fc=ab，afb=51，求dfe的度數(shù). 2.如圖,abc中,acb=90,ceab于e,ad=ac,af平分cae交ce于f求證:fdcb。3.如圖，a、e、f、c在一條直線上，ae=cf，過(guò)e、f分別作deac，bfac，若ab=cd。請(qǐng)回答下列問(wèn)題：（1）bd平分ef；（2）若將dec的邊ec沿ac方向移動(dòng)變?yōu)閳D2時(shí)其余條件不變，上述結(jié)論是否成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。 4.已知bd、ce是abc的高，點(diǎn)p在bd的延長(zhǎng)線上，bp=ac，點(diǎn)q在ce上，cq=ab。判斷線

35、段ap和aq的關(guān)系，并證明.課堂小練05-全等三角形判定四 姓名：1.兩個(gè)三角形有以下三對(duì)元素相等 , 則不能判定全等的是( ) a.一邊和兩個(gè)角 b.兩邊和它們的夾角 c.三邊 d.兩邊和一對(duì)角2.下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（ ） a.三角形全等的判定方法對(duì)判定直角三角形全等也適用 b.已知兩個(gè)銳角不能確定一個(gè)直角三角形 c.已知一個(gè)銳角和一條邊不能確定一個(gè)直角三角形 d.已知一個(gè)銳角和一條邊可以確定一個(gè)直角三角形3.已知：如圖 , ad=bc , ae , cf分別垂直bd于e、f , ae=cf , 則圖中有_對(duì)相等的角(除直角外)（ ） a.3 b.4 c.5 d.6 4.已知：如圖，ac是

36、bad和bcd的角平分線，則abcadc用_判定( ) a.aaa b.asa或aas c.sss d.sas5.如圖，rtabc中，b=90，acb=60，延長(zhǎng)bc到d，使cd=ac則ac：bd=（ ）a1：1 b3：1 c4：1 d2：36.已知 , 如圖 , a=d=90, be=cf , ac=de , 則abc_7.已知：如圖 , dn=em , 且dnab于d , emac于e , bm=cn求證：b=c.8.已知：如圖 , ceab于e , bfcd于f , 且bf=ce求證：be=cf9.已知：如圖 , bc是abc和dcb 的公共邊 , ab=dc , ac=db , ae、

37、df分別垂直bc于e , f求證：ae=df10.已知：aob=90，om是aob的平分線，將三角板的直角頂p在射線om上滑動(dòng)，兩直角邊分別與oa、ob交于c、dpc和pd有怎樣的數(shù)量關(guān)系，證明你的結(jié)論第六課 角平分線的性質(zhì)角平分線性質(zhì)：角平分線上任意一點(diǎn)到角兩邊的距離相等。到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。角平分線的畫(huà)法：例1.已知o是abc三條角平分線的交點(diǎn)，odbc于d，若od5，abc的周長(zhǎng)等于20，則abc的面積等于sabc 例2.如圖，abd的三邊ab、bc、ca的長(zhǎng)分別是20、30、40、其中三條角平分線將abd分為三個(gè)三角形，則s：s：s等于_.課堂練習(xí)：1.如圖所示，在ab

38、c中，p為bc上一點(diǎn)，prab于r，psac于s，aqpq，prps，則下列三個(gè)結(jié)論中正確的是 ( ) asar；pqar；brpcsp a和 b和 c和 d全對(duì) 2.aob的平分線上一點(diǎn)m ，m到 oa的距離為1.5 cm，則m到ob的距離為_(kāi)3.如圖，abcd，o是bac、acd的平分線的交點(diǎn)，oeac于e，且oe2，則ab與cd間的距離等于 4.已知abc的周長(zhǎng)是15，abc和acb的平分線交于點(diǎn)o，過(guò)點(diǎn)o作odbc與點(diǎn)d，且od=2，求abc的面積。5.已知bdcd，bfac，ceab。求證：d在bac的平分線上課后練習(xí)：1.如圖，在rtabc中，acb=90，cd、ce，分別是斜邊a

39、b上的高與中線，cf是acb的平分線。則1與2的關(guān)系是（ ）a.12 d.不能確定 2.尺規(guī)作圖作aob的平分線方法如下：以o為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交oa、ob于c、d，再分別以點(diǎn)c、d為圓心，以大于長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)p，作射線op由作法得的根據(jù)是（ ） asas basa caas dsss 3.如圖，在abc中，ac=bc，acb=90 ad平分bac，bead交ac的延長(zhǎng)線于f，e為垂足則結(jié)論：ad=bf；cf=cd；ac+cd=ab；be=cf；bf=2be，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( ) a1 b.2 c3 d44.如圖在rtabc中，c=90，bd是abc的平分線，交于點(diǎn)d，若

40、cd=n，ab=m，則abd的面積是_5.如圖，c為線段ae上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)a，e重合），在ae同側(cè)分別作正三角形abc和正三角形cde、ad與be交于點(diǎn)o，ad與bc交于點(diǎn)p，be與cd交于點(diǎn)q，連結(jié)pq.以下五個(gè)結(jié)論：ad=be；pqae；ap=bq；de=dp；aob=60.恒成立的結(jié)論有_（把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上）。6.如圖，om平分poq，maop,mboq，a、b為垂足，ab交om于點(diǎn)n求證：oab=oba。7.已知abc=3c，1=2，beae，求證：ac-ab=2be.8.已知，如圖，在四邊形abcd中，bcab，ad=dc，bd平分abc。求證：bad+bcd=180。能力

41、提高：1.如圖,已知ae平分bac,be上ae于e,edac,bae=360,那么bed= 2.已知在rtabc中，c90，acbc，ad為bac的平分線，deab，垂足為c求證：dbe的周長(zhǎng)等于ab3.如圖，在四邊形abcd中，ac平分bad，過(guò)c作ceab于e，并且,求abc+adc的度數(shù)。 4.已知，p是bac平分線ad上一點(diǎn)，acab，求證：pc-pbac-ab.課堂小練06-角平分線的性質(zhì) 姓名：1.如圖，abac，beac于e，cfab于f，be、cf交于點(diǎn)d，則abeacf；bdfcde；點(diǎn)d在bac的平分線上，以上結(jié)論正確的是（ ）a. b. c. d. 2.在abc和abc中 , ab=ab;bc=bc; ac=ac;a=a;b=b;c=c; 則下列哪組條件不保證abcabc( ) a. b. c. d.3.如圖，已知點(diǎn)p到be、bd、ac的距離恰好相等，則點(diǎn)p的位置：在b的平分線上；在dac的平分線上；在eac的平分線上；恰是b，dac，eac三個(gè)角的平分線的交點(diǎn)。上述結(jié)論中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（ ）a. 1個(gè) b. 2個(gè) c. 3個(gè) d. 4個(gè) 4.如圖，abc中，c = 90，ac = bc，ad是bac的平分線，deab于e，若ac = 10cm，則