2019年空間向量與立體幾何單元練習題

1、空間向量與立體幾何習題、選擇題(每小題5分，共50 分)1.如圖，在平行六面體 ABCDA1B1C1D1中，M為AC與BD的交點.若AR =a.AD“=b, A,A=c,貝U下列向量中與B1M相等的向量是1 1A. a+ b+c2 21 1+ b+c2 21 1b+c2 211D. a b+c222.下列等式中，使點M與點AA. OM 3OA 2OBOCB、C 一定共面的是1 - OM OA25OCB.C. OM OA OB OC 0D.MA MB MC3.已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于1,占八、E、F分別是AB、AD的中點，貝U EFDC等于B.C.3D.34.若 a (1

2、,2)，b(2,1,1) , a與b的夾角為60，則的值為或-1C.-15.設 OA(1,1, 2)，OB(3,2,8)，OC(0,1,0)，則線段AB的中點P到點C的距離為A.2B.532C.D.6.下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個視圖相同的是B534A 7.右圖是C D 個幾何體的三視圖，根據圖中數(shù)據，可得該幾何體的表面積是A.衛(wèi) B.U35C.衛(wèi) D.5A. 9 nB. 10nC. 11 nD. 12n8.如圖，ABCD-A1B1C1D1為正方體,/平面 CB1D1丄BD丄平面CB1D1D.異面直線AD與CB1所成的角為 9.如圖，在長方體 ABCD-AiBiCiDi 中，AB=B

3、C=2,AAi=1,則 BCi 與平面 BBiDiD所成角的正弦值為10. / ABC的三個頂點分別是A（1, 1,2）,B(5, 6,2)，C(1,3, 1)，則 AC邊上的高 BD長為B.D.、填空題（每小題5分，共20分）2,y），且 a/b，11.設 a (x,4,3)，b (3,則xy12.已知向量a （0, 1,1），b (4,1,0)，b 29且 0，則13.在直角坐標系xOy 中,設 A（ -2，3），B（ 3, -2），沿x軸把直角坐標平面折成大小為 的二面角后，這時AB 2J11，則14.如圖，PABCD是正四棱錐,ABCD A1B1C1D1是正方體，其中AB 2, PA

4、. 6 則 B1 到平面 FAD的距離為三、解答題（共80 分）15.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABC是邊長為1的正 方形，側棱PA的長為2,且PA與 AB AD的夾角都等于60, M是PC的中點，設 AB a,AD b, AP c .(1) 試用a,b, c表示出向量BM ；(2) 求BM的長.16.（本小題滿分14分）如下的三個圖中，上面的是一個長方體截去一個角所得 多面體的直觀圖，它的正視圖和側視圖在下面畫出（單位：cm） . （1）在正視圖下面，按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖；（2）按照給出的尺寸，求該多面體的體積；（3）在所給直觀圖中連結BC，證明

5、：BC /面EFG.17.（本小題滿分12分）如圖，在四面體ABCD中，CB CD，AD BD，點E，F(xiàn)分別是AB, BD的中點.求證:（1）直線 EF 面 ACD ;（2）平面 EFC 面 BCD .18.(本小題滿分14分)如圖，已知點P在正方體ABCD ABCD的對角線BD 上，/ PDA=60 .(1) 求DP與CC所成角的大??；(2) 求DP與平面AADD所成角的大小.DCC19.(本小題滿分14分)已知一四棱錐P-ABCD的三視圖如下，E是側棱PC上的動點.(1) 求四棱錐P-ABCD的體積；(2) 是否不論點E在何位置，都有BD丄AE ?證明你的結論；(3) 若點E為PC的中點，

6、求二面角D AE B的大小.DB20.(本小題滿分14分)如圖，已知四棱錐P ABCD，底面ABCD為菱形，PA 平面ABCD， ABC 60，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點.(1) 證明：AE PD ;(2) 若H為PD上的動點，EH與平面PAD所成最大角的正切值為 丄6，求二2D面角E AF C的余弦值.練習題參考答案一、選擇題一 一 一 1 一111丄.”1. B1M B1B BM A1A(BA BC)=c+ ( a+b)= a+b+c，故選 A.2 222丄.lK2.由于 M、A、B、C四點共面OM xOA yOB zOC(x, y, z R)且x y z 1選項(A)、(B)、(C)都

7、不正確.由于 MA MB MC 0 MA MB MC所以存在 x 1,y1,使MA xMB yMC MA, MB,MC共面由于M為公共點 M、A、B、C四點共面，故選D.3. v E,F分別是AB,AD的中點,EF / BD且EF i EF DC -BD DC2故選B.bD DC cos bD,DC21BD,2-1 12EF】BD,2cos120010.由于AB ACADAB, ACAC4,所以|bDAD5,故選A、填空題13.作Ad x軸于C, BD丄x軸于D,則ABAC CDDBv|ac| 3,|cd| 5,|db2, AC CD 0,CD DB 0,AC DB 網 岡述(!8006cos

8、AB2 (AC Cd DB)2ACCD|DB|2 2(AC CD CD DBDBAC)1800,12002222I 0(2 11)2 32 52 22 2(0 0 6cos ), cos由于 014.以A,B,為x軸，A,D,為y軸，A,A為z軸建立空間直角坐標系設平面FAD的法向量是m (x, y,z),:AD (0,2,0), Ap (1,1,2) , y 0,x y 2z 0,取 z 1 得X ( 2,0,1),(2,0,2)，二B!到平面PAD的距離dB,A6需、解答題15.解：(1)V M 是 PC的中點， BM!(BC BP)】AD (AP AB)21尹(c a)1a 1b2 2(

9、2)由于ABAD 1,PA2,1，c 2由于ABAD,PABPAD600,b 0, a ccos601由于BMBM2( a1(ab c),c)2c2 2(a c be)!12 12 2242(0 1 1)16.解:BM的長為6(1)如圖ABCD 中,(2)所求多面體體積V133)證明：在長方體ABCD連結 AD，則 AD / BC .因為E, G分別為AA , AD中點， 所以 AD / EG ,從而EG / BC .又BC 平面EFG , 所以BC /面EFG .17.證明：(1)v E,F分別是AB, BD的中點， EF是厶ABD的中位線，二EF/ AD2284(cm2).31 2 22

10、AD 面 ACD EF 面 ACD 二直線 EF/面 ACD (2)v AD 丄 BD EF / AD，二 EF丄 BDv CB=CD , F 是ED的中點,二 CF 丄 BD 又 EFG CF=F,二 BD 丄面 EFCv BD 面 BCD 二面 EFC 面 BCD.18.解:則DA如圖，以D為原點，DA為單位長建立空間直角坐標系 D xyz .(1,0,0), cC (0,0,1).連結 BD , BD .BBD D中，延長DP交BD于H .由已知 DH,DA60：,在平面設DH 由 DA|DH dIIdH(m, m,)(m0),cos,可得 2m 2m2解得m上2，所以DH2(1)(2)

11、。弓 0 1 1 二1 .2 T ,即DP與CC所成的角為45；.平面AAD D的一個法向量是DC因為 cos dH ,cC所以45 ,(0,1,0) yJ2420 1 1 0 因為 cos DH ,DC-2260：，可得DP與平面AAD D所成的角為30；.1 V2所以19.解：(1)由該四棱錐的三視圖可知，該四棱錐PABCD的底面是邊長為1一 1 2的正方形，側棱PC丄底面ABCD，且PC=2.VP abcd - Sabcd PC -3 L3不論點E在何位置，都有BD丄AE證明如下：連結 AC ,v ABCD是正方形，二BD丄AC PC丄底面ABCD 且BD 平面ABCD二BD丄PC又AC

12、 口 PC C二BD丄平面PAC不論點E在何位置，都有AE 平面PAC不論點E在何位置，都有BD丄AE解法1:在平面DAE內過點D作DG丄AE于G,連結BGCD=CB,EC=EC,. Rt ECD 也 Rt ECB ,二 ED=EB AD=AB , EDA EBA, a BG 丄EA DGB為二面角D EA B的平面角 BC丄 DE, AD / BC,a AD 丄DE在 R ADE 中 DGAD DEAE=BG在厶DGB中，由余弦定理得cos DGB2 2 2DG BG BD2DG BGDGB=2面角D AE B的大小為23解法2:以點C為坐標原點，CD所在的直線為x軸建立空間直角坐標系如圖示

13、:貝U D(1,0,0), A(1,1,0),B(0,1,0), E(0,0,1)，從而DE ( 1,0,1), DA (0,1,0), BAI(1,0,0), be設平面ADE和平面ABE的法向量分別為m (a,b,c), n (a,b,c)由法向量的性質可得：a c 0,b 0 , a 0,(0,(0, 1, 1)令 c 1,c1,則 a 1,b1 , m (1,0,1),設面角D AE B的平面角為，則cos12面角D AE B的大小為20. (1)證明：由四邊形ABCD為菱形， ABC 60：，可得 ABC為正三角形. 因為E為BC的中點，所以AE BC .又 BC / AD，因此 A

14、E AD .因為PA 平面ABCD，AE 平面ABCD，所以PA AE .而PA 平面PAD，AD 平面PAD且PA AD A，所以AE 平面PAD .又PD 平面PAD， 所以AE PD .(2)解：設AB 2，H為PD上任意一點，連接 AH，EH .由(1)知AE 平面PAD，則 EHA為EH與平面PAD所成的角.在 Rt EAH 中，AE 3，所以當AH最短時，EHA最大，即當AH PD時，EHA最大.此時tan EHA 生 36，AH AH 2因此AH 2 .又AD 2，所以 ADH 45， 所以PA 2 .解法一：因為PA 平面ABCD，PA 平面PAC， 所以平面PAC 平面ABC

15、D .過E作EO AC于O，則EO 平面PAC ,過O作OS AF于S，連接ES，貝U ESO為二面角E AF C的平面角,在 Rt AOE 中，EO AE|sin 30 -3 , AO Ae|cos30；又 F 是 PC 的中點，在 Rt ASO中，SO AO|sin45； 土2 ,4又 SE EO2 SO29 晉，在 g ESO 中，cos ESOSOSE3&430415 ?5即所求二面角的余弦值為、155 AD, AP兩兩垂直，以A為坐標原點, F分別為BC, PC的中點，所以解法二：由(1)知AE, 空間直角坐標系，又E,BC、3, 1,0), C(、3,1,0), D(0,2,0),建立