求向量組的秩與極大無(wú)關(guān)組(修改整理)

1、精品文檔求向量組的秩與最大無(wú)關(guān)組一、對(duì)于具體給出的向量組，求秩與最大無(wú)關(guān)組1、求向量組的秩(即矩陣的秩)的方法：為階梯形矩陣【定理】矩陣的行秩等于其列秩，且等于矩陣的秩.(三秩相等)把向量組的向量作為矩陣的列(或行)向量組成矩陣a;對(duì)矩陣a進(jìn)行初等行變換化為階梯形矩陣b;階梯形b中非零行的個(gè)數(shù)即為所求向量組的秩.的秩.【例 1】 求下列向量組 ai=(1,2, 3,4), 02=( 2, 3, 4, 5), as =(3, 4, 5, 6)解1 ：以ai，02, 03為列向量作成矩陣 a,用初等行變換將 a化為階梯形矩陣后可求2歡迎下載因?yàn)殡A梯形矩陣的列秩為 2,所以向量組的秩為 2.解2：以

2、ai, 02,03為行向量作成矩陣 a,用初等行變換將 a化為階梯形矩陣后可求.因?yàn)殡A梯形矩陣的行秩為2,所以向量組的秩為 2.2、求向量組的最大線性無(wú)關(guān)組的方法方法1逐個(gè)選錄法給定一個(gè)非零向量組a：1,2,，n設(shè)1 0,則1線性相關(guān)，保留1加入2,若2與1線性相關(guān)，去掉 2;若2與1線性無(wú)關(guān)，保留1,2；依次進(jìn)行下去，最后求出的向量組就是所求的最大無(wú)關(guān)組【例2】求向量組：11,2, 1 t , 22, 3,1 t , 34,1, 1 t ,的最大無(wú)關(guān)組解：因?yàn)閍非零，故保留a1取a2,因?yàn)閍1與比線性無(wú)關(guān)，故保留 a1, 比取a3,易得a3=2a1+a2,故a1, a2 , a3線性相關(guān)。所

3、以最大無(wú)關(guān)組為 a. a2方法2初等變換法【定理】矩陣a經(jīng)初等行變換化為 b,則b的列向量組與 a對(duì)應(yīng)的列向量組有相同的線性相關(guān)性證明從略，下面通過(guò)例子驗(yàn)證結(jié)論成立.向量組：1=(1,2,3) t,2=(-1,2,0)t,3=(1,6,6) t拽件關(guān)泵。產(chǎn)組+/丹=邛+凡 力=2為 a=縊十及%=25中小由上可得，求向量組的最大線性無(wú)關(guān)組的方法：(1)列向量行變換把向量組的向量作為矩陣的列向量組成矩陣a;對(duì)矩陣a進(jìn)行初等行變換化為階梯形矩陣b;a中的與b的每階梯首列對(duì)應(yīng)的向量組，即為最大無(wú)關(guān)組.【例 3】求向量組：1=(2,1,3,-1) t,2=(3,-1,2,0) t,3=(1,3,4,-

4、2) t,4=(4,-3,1,1) t 的秩和一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，并把不屬于最大無(wú)關(guān)組的向量用最大無(wú)關(guān)組線性表示。解以1, 2, 3, 4為列構(gòu)造矩陣a并實(shí)施初等行變換化為行階梯形矩陣求其秩：精品文檔1, 2, 3, 423141133324110211 -13-30 5 -5 100 5 -5 100 -11-21 -13-301-1200000000知 r ( a)=2, 故向量組的最大無(wú)關(guān)組含 2 個(gè)向量而兩個(gè)非零行的非零首元分別在第1, 2 列, 故 1, 2為向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組事實(shí)上，1，1 -101知 r ( 1, 2)=2, 故 1, 2 線性無(wú)關(guān)0000為把 3, 4 用 1,

5、 2 線性表示 , 把 a 變成行最簡(jiǎn)形矩陣a102-101-12b00000000記矩陣b=( 1,2,3,4), 因?yàn)槌醯刃凶儞Q保持了列向量間的線性表出性，因此向量1,2,3,4 之間有相同的線性關(guān)系。1 , 2, 3, 4 與向量21010而32300112 12, 412 200003=2 1- 2,1+2 28歡迎下載4】求下列向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，其中：1, 2,0,322, 5, 3,630,1,3,0, 42, 1,4, 755, 8,1, 2解：以給定向量為列向量作成矩陣a,用初等行變換將 a化為階梯形矩陣 b他設(shè)第s列為，該如何表示？廠12025) p 2 0 250-1

6、13 2 。-1132 0334 1 00-5-52 0 0 -b -bj 【。力】矩陣8匕是階癡影履陣田的每階花 首列所在的則是1, 2, 4列，所以的第 1, 3 4列就是j的列向量組的極大線性 無(wú)關(guān)組，即,2, b4是向置組的一個(gè) 極大心牲無(wú)關(guān)姐ii再利用初等行變換，將 b再化成行最簡(jiǎn)形矩陣 c.rl 2 0 0 3、0-110-11。0 0 1 1i。 0 0 0 0即列向量組的一個(gè) 極大無(wú)關(guān)組化為了單 位向量綱.根據(jù)行最簡(jiǎn)形矩陣c可知小，2,。力 是向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，且% a. + ct? +a4.用最大線性無(wú)關(guān)組表示其它向量的方法為：把向量組的向量作為矩陣的列向量組成矩陣a;

7、對(duì)矩陣a進(jìn)行初等行變換化為階梯形矩陣b;把階梯形b進(jìn)行初等行變換化為行最簡(jiǎn)形矩陣c;初等矩陣a, b, c初等變換行作為求秩無(wú)關(guān)b中見(jiàn)線性無(wú)關(guān)c做陪根據(jù)行最簡(jiǎn)形矩陣列向量的分量，用最大無(wú)關(guān)組表示其它向量.【例5】求向量組解:(2)2b1 2b初錯(cuò)h變旗 -的秩和一個(gè)最大無(wú)關(guān)組0 0- g 1-3(4-20)當(dāng)上黃0且時(shí)，rank 4= 3 ,故向量組的秩為 3,且烏，里，珥是一個(gè)最大無(wú)關(guān)組;當(dāng)上=0時(shí)，ramk4二3 ,故向量組的秩為 3,且居,藥,肉是一個(gè)最大無(wú)關(guān)組;b 二一6 w -當(dāng)c = l時(shí)，若2 ,則2 ,此時(shí)向量組的秩為2,且馬，里是一個(gè)最大無(wú)關(guān)組.若 2,則 nmk/=3 ,此

8、時(shí)向量組的秩為 3,且烏，碼，r是一個(gè)最大無(wú)關(guān)組.（2）行向量列變換同理，也可以用向量組中各向量為行向量組成矩陣（即列向量的轉(zhuǎn)置矩陣），通過(guò)做初等列變換來(lái)求向量組的最大無(wú)關(guān)組?！纠?求向量組, = 3-1如)g=w3l2)丐=00714)產(chǎn);加的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組.解：以給定向量為行向量作成矩陣用初等列變換將 a化為行最簡(jiǎn)形0j（行向量列變換）由于gt的第12,4個(gè)行向量構(gòu)成的向量組線性無(wú)關(guān)，故4/ &是向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組方法3線性相關(guān)法（了解）若非零向量組 a：1,2,，n線性無(wú)關(guān)，則 a的最大無(wú)關(guān)組就是1,2,，n若非零向量組 a線性相關(guān)，則 a中必有最大無(wú)關(guān)組二、對(duì)于抽象的向量組，求秩與

9、最大無(wú)關(guān)組常利用一些有關(guān)的結(jié)論，如：1、若向量組（i）可由向量組（n）線性表示，則（i）的秩不超過(guò)（n）的秩2、等價(jià)向量組有相同的秩3、秩為產(chǎn)的向量組中任意t個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量都是該向量組的最大無(wú)關(guān)組【例71設(shè)向量組的秩為廠.又設(shè)旦二里+珥+氏=g+r+ ，+/，凡=巧一%+，,+/求向量組丸出14的秩.解法1：由于4+自+凡=（附t）（烏+生+ -，），且q*月=+ 4（=12所以，工工叫一立m a 八一0、：故向量組q與4，耳.，凡等價(jià)，從而4%，色的秩為尸.解法2:將4 a,凡看做列向量，則有。1 - 11 。1產(chǎn)=.* ?立 *3期,&）尸，其中 1l可求得出”三s產(chǎn)（* d 0,即？可逆，從而4可由危住、凡線性表示，由已知凡&.工乩可由*,線性表示，故這兩個(gè)向量組等價(jià)，即它們有相同的秩.【例71設(shè)向量組（i）：礙四產(chǎn)，珥和向量組（n）： 4片，4的秩分別為。和，而向量組（出）：4%烏，珞色,月的秩為r .證明:丁 x勺+2證：若1和勺中至少有一個(gè)為零，顯然有 二勺+勺，結(jié)論成立.,向量組（n）的最