線性代數(shù)試題及答案

1、線性代數(shù)習(xí)題和答案第一部分 選擇題（共28分）、單項(xiàng)選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分）在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的,請(qǐng)將其代碼填在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選或未選均無分。1.設(shè)行列式a11a12二ma13a11a2ia22a23a2i=n ,則行列式a11a2ia12 - a13a 22 - a 23精品資料a. m+nb. - (m+n)c. n - md. m - n2.設(shè)矩陣00，則a-1等于（a.c.3.設(shè)矩陣012*-102-1,a*是a的伴隨矩陣，則中位于（1,2）的元素是（4,b. 6)b. b #c 時(shí) a=0a. 6c. 2 4.設(shè)a是方陣，如有矩陣

2、關(guān)系式 ab=ac,則必有（a. a =0c. a #0 時(shí) b = cd. |a| #0 時(shí) b = c5.已知3x4矩陣a的行向量組線性無關(guān)，則秩（ at）等于（a. 1b. 2c. 3d. 46.設(shè)兩個(gè)向量組a 1 , a2,，as和31，2,，3s均線性相關(guān)，則（a.有不全為 0的數(shù)入1,入2,，入s使入10c1+入20c2 + xsa s=0和入1 3 1+入22+入sb.有不全為 0的數(shù)入1,入2,，入s使入l(al+3l) +入2 (a 2+ 3 2)+入s(as+3s) =0c.有不全為0的數(shù)入1 ,入2,，入s使入1 (al-3l) +入2 (a 2- 3 2) +入s (a

3、s- s) =0d.有不全為0的數(shù)入1,入2,，x s和不全為0的數(shù)(11, 112,，s使入10c1+入20c2+7 .設(shè)矩陣a的秩為r,則a中（a.所有r- 1階子式都不為0c.至少有一個(gè)r階子式不等于08 .設(shè)ax=b是一非齊次線性方程組，a.刀1+打2是ax=0的一個(gè)解c.刀1-刀2是ax=0的一個(gè)解9 .設(shè)n階方陣a不可逆，則必有（a.秩（a）nc.a=0+ 入 s a s=0 和1 3 1+(1 2 3 2+(1 s 3 s=0）b.所有r- 1階子式全為0d.所有r階子式都不為0y 1, y 2是其任意2個(gè)解，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（b. - y1 1 + -刀2是ax=b的一個(gè)解2

4、2d.2刀1-刀2是ax=b的一個(gè)解）b.秩（a尸n- 1d.方程組ax=0只有零解10.設(shè)a是一個(gè)n（3）階方陣，下列陳述中正確的是（）a.如存在數(shù)入和向量a使aa = x a ,則a是a的屬于特征值入 的特征向量b.如存在數(shù)入和非零向量a,使（入e-a）a=0,則入是a的特征值c.a的2個(gè)不同的特征值可以有同一個(gè)特征向量d.如入1,入2,入3是a的3個(gè)互不相同的特征值，“1, a 2, a 3依次是a的屬于入1,入2,入3的特征向量，則a 1, a 2, a 3有可能線性相關(guān)11.設(shè)入0是矩陣a的特征方程的3重根，a的屬于入0的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)為k,則必有（）b. k3c. k=3

5、d. k312 .設(shè)a是正交矩陣，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）a.|a|2 必為 1b.|a| 必為 1c.a-1=atd.a的行（列）向量組是正交單位向量組13 .設(shè)a是實(shí)對(duì)稱矩陣，c是實(shí)可逆矩陣，b=ctac4u （）a.a與b相似b. a與b不等價(jià)c. a與b有相同的特征值d. a與b合同14 .下列矩陣中是正定矩陣的為（）2a. 3c.10034102與b.d.3-114 i16/1 112002第二部分二、填空題（本大題共 10小題，每小題 小題的空格內(nèi)。錯(cuò)填或不填均無分。非選擇題（共72分）2分，共20分）不寫解答過程，將正確的答案寫在每1115.5625 3616 .設(shè) a =17 .

6、設(shè) a=(aij)3x3,b=112-234?.則a+2b =|a|二2 ,aj表示|a|中元素aij的代數(shù)余子式（i,j=1,2,3 ）,則(aila2l+a 12a22 + a 13a23)2 + (a 21a21+a 22 a22+a 23 a23)2+(a 31 a21 +a 32 a22+a 33 a23)2 =18 .設(shè)向量（2, -3, 5）與向量（19 .設(shè)a是3%矩陣，其秩為3,的通解為-4, 6, a）線性相關(guān)，則 a=y 2為非齊次線性方程組 ax=b的2個(gè)不同的解，則它20.設(shè)a是m刈矩陣，a的秩為數(shù)為r(n)，則齊次線性方程組 ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系中含有解的個(gè)21.

7、設(shè)向量a、3的長(zhǎng)度依次為2和3,則向量a + 3與a - 3的內(nèi)積（a + 3 , a - 3 ）二22.設(shè)3階矩陣a的行列式|a|=8,已知a有2個(gè)特征值-1和4,則另一特征值為23.設(shè)矩陣 a =0：1v-210106 1-3 ,已知8/2、-1是它的一個(gè)特征向量，則2 /a所對(duì)應(yīng)的特征值三、計(jì)算題（本大題共12 0、25 .設(shè) a= 3 4 0l 2 13 -526 .試計(jì)算行列式21,4 227 .設(shè)矩陣a= 11l1 224.設(shè)實(shí)二次型f（x1,x2,x3,x4,x5）的秩為4,正慣性指數(shù)為3,則其規(guī)范形為 .7小題，每小題6分，共42分)b= 01 t-5 3-3 0 ,求矩陣b使

8、其滿足矩陣方程 ab =a+2b.3 t.求(1) abt； (2) |4a|. k-2 4 0 7仔28.給定向量組a 1 =2= 2=10(3 j4是否為a 1,a 2,a 3-2-102、-2426-62-102333334 29.設(shè)矩陣試判斷a的線性組合；若是，則求出組合系數(shù)。求：(1)秩(a)；(2) a的列向量組的一個(gè)最大線性無關(guān)組。,0-2 2、30.設(shè)矩陣a= -2 4 的全部特征值為1 , 1和-8.求正交矩陣t和對(duì)角矩陣d ,使t- 1at=d.、24應(yīng)31.試用配方法化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形2_ 2_ 2.f(x1,x2,x3)= x1 +2x2 -3x3 +4x1 x2 -

9、4x1x3 -4x2x3 , 并寫出所用的滿秩線性變換。四、證明題(本大題共 2小題，每小題5分，共10分)32 .設(shè)方陣a滿足a3=0,試證明e-a可逆，且(e-a) -1=e+a+a2.33 .設(shè)刀0是非齊次線性方程組 ax=b的一個(gè)特解，衛(wèi)1, e 2是其導(dǎo)出組 ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系 試證明(1)打1 =刀0+衛(wèi)1,刀2=刀0+衛(wèi)2均是 ax=b的解；(2) y 0, y 1 , y 2 線性無關(guān)。答案：一、單項(xiàng)選擇題(本大題共14小題,每小題2分，共28分)1.d2.b3.b4.d5.c6.d7.c8.a9.a10.b11.a12.b13.d14.c二、填空題(本大題共 10空，每空

10、2分，共20分)15. 633 716.l-3 7)17. 418. -1019. y1 1+c( y 2 y 1 )(或 y 2+c( y 2 y 1) , c 為任意常數(shù)20. n r21. -5 22. 2 23.1222224. z1，z2，z3 z4三、計(jì)算題（本大題共 7小題，每小題6分，共42分）1 225.解(1 ) abt= 3 41 2-240 j,86 18 102 10.，(2) 14a|=43|a|=64| a|,而120|a|= 3 4 0 =2-1 2 1所以 14a|=64 ( - 2) =- 12826.解3為21-5-4311-5110-5-113 -110

11、30-11-51-1027.解5-6-5112 0-5 0-6_ -5=30 - 10 =40.ab=a+2b 即(a-2e) b=a,而3it .4 2 31 02 322(a- 2e)-11-12所以b=(a-2e)-1a=3-8-62-9-6v-2 129 j產(chǎn)2130、0-53-2110-1110-10224011234-19）013-112.j28.解一100010000100所以a 4=2 a81400102110，814.，1+ a 2+ a 3,組合系數(shù)為1012, 1, 1).解二 考慮 a 4=x1 a 1+x2 a 2+x3 a 3 ,-2x1 +x2 +3x3 =0x1

12、 -3x2 =-12x2 +2x3 =43x 1 +4x2 -x3 =9.方程組有唯一解（2,1,1）29.解 對(duì)矩陣a施行初等行變換組合系數(shù)為2, 1, 1).-203-1022-2-2(1)秩,21/5/5275/151 1 =-v5/5,刀2=475/152、片-21 020328與k03280006-270003-1600-2170000=b.所以秩（a）=秩(b)(b)=3 ，=3.（2）由于a與b的列向量組有相同的線性關(guān)系，而 b是階梯形，b的第1、2、4列是b的列向量組的一個(gè)最大線性無關(guān)組，故 a的第1、2、4列是a的列向量組的一個(gè)最大線性無關(guān)組。（a的第1、2、5列或1、3、4

13、歹u,或1、3、5列也是）30.解 a的屬于特征值入=1的2個(gè)線性無關(guān)的特征向量為e 1= （2, - 1 , 0） t經(jīng)正交標(biāo)準(zhǔn)化，得入=-8的一個(gè)特征向量為1/3 y 3= 2/3l2 /3./2近 / 5 2jt5/151/32/3-2/3,所求正交矢i陣為 t =彳0對(duì)角矩陣 d= 0 10 0 275/5（也可取t= 0和5-j5/5 4 括/15、0v5/30 0 .-8215/15 1/3痣/32/3 .)-475/15 -2/3，31.解 f(x1, x2,x3)=(x1+2x2- 2x3)2- 2x22+4x2x3- 7x32=(x1+2x2- 2x3)2- 2(x2-x3)

14、2- 5x32.y1 =x1 +2x2 -2x3設(shè) y2 = x2 -x3，j3 =x3a -2因其系數(shù)矩陣c= 0 100x1 =y1 -2y2即/2 = y2 +y3,x3 =y30、1可逆，故此線性變換滿秩。經(jīng)此變換即得f（x1, x2, x3）的標(biāo)準(zhǔn)形y12- 2y 22- 5y 32 .四、證明題（本大題共 2小題，每小題5分，共10分）32 .證 由于（e-a） （e+a+a2） =e-a3=e,所以e-a可逆，且(e- a) -1= e+a+a2 .33 .證 由假設(shè) ar0=b, a 1 = 0, a 2=0.(1) a r) 1=a (刀0+21)=a r 0+a 1 = b,同理 ay12= b , 所以r 1,刀2是ax=b的2個(gè)解。(2 )