北師大版七年級數(shù)學(xué)下冊《一章 整式的乘除5 平方差公式平方差公式的應(yīng)用》公開課教案_1

1、第1課時(shí) 1.1.計(jì)算下列各式：計(jì)算下列各式： (1)(m+2)(m-2)=_.(1)(m+2)(m-2)=_. (2)(1+x)(1-x)=_.(2)(1+x)(1-x)=_. (3)(2x+y)(2x-y)=_.(3)(2x+y)(2x-y)=_. m m2 2-4-4 1-x1-x2 2 4x4x2 2-y-y2 2 2.2.觀察以上算式及其運(yùn)算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？觀察以上算式及其運(yùn)算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？ 答：上述各式的左邊是二項(xiàng)式乘以二項(xiàng)式答：上述各式的左邊是二項(xiàng)式乘以二項(xiàng)式, ,即是兩個(gè)數(shù)的即是兩個(gè)數(shù)的_與與 它們的它們的_的乘積，結(jié)果等于這兩數(shù)的的乘積，結(jié)果等于這兩數(shù)的_.

2、_. 【歸納歸納】兩數(shù)兩數(shù)_與這兩數(shù)與這兩數(shù)_的積的積, ,等于它們的等于它們的_，即，即 (a+b)(a-b)=(a+b)(a-b)=_. . 【點(diǎn)撥點(diǎn)撥】運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算時(shí)運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算時(shí), ,要分清公式中的要分清公式中的a a，b b分分 別代表著什么別代表著什么. . 和和 差差平方差平方差 和和平方差平方差 a a2 2-b-b2 2 差差 【預(yù)習(xí)思考預(yù)習(xí)思考】 平方差公式中的平方差公式中的a a或或b b能是多項(xiàng)式嗎？能是多項(xiàng)式嗎？ 提示：提示：能能. . 平方差公式平方差公式 【例例】(9(9分分) )計(jì)算：計(jì)算：(1)(3x+1)(3x-1).(1)(3x+1)(

3、3x-1). (2)(a-2b)(-a-2b).(2)(a-2b)(-a-2b). (3)(a-b)(a+b)(a(3)(a-b)(a+b)(a2 2+b+b2 2).). 【規(guī)范解答規(guī)范解答】(1)(3x+1)(1)(3x+1)(3x-1)=(3x-1)=(3x)(3x)2 2- -1 12 2 = =9x9x2 2-1-1. .3 3分分 (2)(a-2b)(-a-2b)(2)(a-2b)(-a-2b) =(-2b+a)(-2b=(-2b+a)(-2b-a-a) )1 1分分 = =(-2b)(-2b)2 2- -a a2 2= =4b4b2 2-a-a2 2. .3 3分分 (3)(a-

4、b)(a+b)(a(3)(a-b)(a+b)(a2 2+b+b2 2) ) = =(a(a2 2-b-b2 2) )(a(a2 2+b+b2 2) ) 1 1分分 = =(a(a2 2) )2 2- -(b(b2 2) )2 2= =a a4 4-b-b4 4. . 3 3分分 特別提醒：特別提醒：在在(3)(3)式的計(jì)算中要式的計(jì)算中要 先對前兩個(gè)括號內(nèi)的式子做乘法先對前兩個(gè)括號內(nèi)的式子做乘法. . 【互動探究互動探究】平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是什么？平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是什么？ 提示：提示：平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是：平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是：(1)(1)左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，

5、 并且這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)并且這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù). . (2)(2)右邊是乘式中兩項(xiàng)的平方差，即用完全相同項(xiàng)的平方減去互右邊是乘式中兩項(xiàng)的平方差，即用完全相同項(xiàng)的平方減去互 為相反數(shù)的項(xiàng)的平方為相反數(shù)的項(xiàng)的平方. . 【規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)】 運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算的運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算的“三步法三步法” 變形變形 套公式套公式 計(jì)算計(jì)算 將算式變形為兩數(shù)和與兩數(shù)差的積的形式將算式變形為兩數(shù)和與兩數(shù)差的積的形式 套用公式，將結(jié)果寫成兩數(shù)平方差的形式套用公式，將結(jié)果寫成兩數(shù)平方差的形式 根據(jù)積的乘方計(jì)算根據(jù)積的乘方計(jì)算. .套用平方差公式時(shí)，結(jié)

6、果為套用平方差公式時(shí)，結(jié)果為 ( (完全相同項(xiàng)完全相同項(xiàng)) )2 2-(-(互為相反數(shù)的項(xiàng)互為相反數(shù)的項(xiàng)) )2 2 【跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練】 1.1.計(jì)算計(jì)算(2a+b)(2a-b)(2a+b)(2a-b)的結(jié)果是的結(jié)果是( )( ) (A)4a(A)4a2 2-b-b2 2 (B)b (B)b2 2-4a-4a2 2 (C)2a(C)2a2 2-b-b2 2 (D)b (D)b2 2-2a-2a2 2 【解析解析】選選A.(2a+b)(2a-b)=(2a)A.(2a+b)(2a-b)=(2a)2 2-b-b2 2=4a=4a2 2-b-b2 2. . 2.2.下列各式能用平方差公式計(jì)算的是下列

7、各式能用平方差公式計(jì)算的是( )( ) (A)(3a+b)(a-b) (B)(-3a-b)(-3a+b)(A)(3a+b)(a-b) (B)(-3a-b)(-3a+b) (C)(3a+b)(-3a-b) (D)(-3a+b)(3a-b)(C)(3a+b)(-3a-b) (D)(-3a+b)(3a-b) 【解析解析】選選B.B.平方差公式中必須存在一組符號相同的項(xiàng)和一組平方差公式中必須存在一組符號相同的項(xiàng)和一組 符號相反的項(xiàng)符號相反的項(xiàng).A.A，C C，D D中不存在相同的項(xiàng)，因此中不存在相同的項(xiàng)，因此A A，C C，D D都不符都不符 合平方差公式的要求合平方差公式的要求. . 【變式備選變式

8、備選】下列各式中，不能用平方差公式計(jì)算的是下列各式中，不能用平方差公式計(jì)算的是( )( ) (A)(x-y)(-x+y) (B)(-x-y)(-x+y)(A)(x-y)(-x+y) (B)(-x-y)(-x+y) (C)(x-y)(-x-y) (D)(x+y)(-x+y)(C)(x-y)(-x-y) (D)(x+y)(-x+y) 【解析解析】選選A.AA.A中的兩項(xiàng)符號都相反，不能用平方差公式計(jì)算中的兩項(xiàng)符號都相反，不能用平方差公式計(jì)算. . 3.3.計(jì)算：計(jì)算：(2x+3y)(2x-3y)=_.(2x+3y)(2x-3y)=_. 【解析解析】(2x+3y)(2x-3y)=(2x)(2x+3y

9、)(2x-3y)=(2x)2 2-(3y)-(3y)2 2=4x=4x2 2-9y-9y2 2. . 答案：答案：4x4x2 2-9y-9y2 2 4.(-xy-1)(_)=x4.(-xy-1)(_)=x2 2y y2 2-1.-1. 【解析解析】根據(jù)平方差公式右邊根據(jù)平方差公式右邊a a2 2-b-b2 2中被減數(shù)中的中被減數(shù)中的a a代表相同的項(xiàng)代表相同的項(xiàng), , 而減數(shù)中的而減數(shù)中的b b在等式左邊中應(yīng)是互為相反數(shù)的項(xiàng)在等式左邊中應(yīng)是互為相反數(shù)的項(xiàng). .本式中含本式中含xyxy的項(xiàng)的項(xiàng) 為為a,a,即相同的項(xiàng)即相同的項(xiàng), ,而含而含1 1的項(xiàng)為的項(xiàng)為b,b,即互為相反數(shù)的項(xiàng)，所以括號中即

10、互為相反數(shù)的項(xiàng)，所以括號中 應(yīng)填應(yīng)填-xy+1.-xy+1. 答案：答案：-xy+1-xy+1 5. 5. (2)(a+3)(a(2)(a+3)(a2 2+9)(a-3).+9)(a-3). 【解析解析】(1) (1) (2)(a+3)(a(2)(a+3)(a2 2+9)(a-3)=(a+3)(a-3)(a+9)(a-3)=(a+3)(a-3)(a2 2+9)+9) =(a=(a2 2-9)(a-9)(a2 2+9)=(a+9)=(a2 2) )2 2-9-92 2=a=a4 4-81.-81. 11 1 (abc)(cab). 22 22 11111 (abc)(cab)(abc)(abc)

11、(ab)c 22222 222 1 a bc . 4 1.(20121.(2012哈爾濱中考哈爾濱中考) )下列運(yùn)算中，正確的是下列運(yùn)算中，正確的是( )( ) (A)a(A)a3 3aa4 4=a=a12 12 (B)(a (B)(a3 3) )4 4=a=a12 12 (C)a+a(C)a+a4 4=a=a5 5 (D)(a+b)(a-b)=a (D)(a+b)(a-b)=a2 2+b+b2 2 【解析解析】選選B.B.因?yàn)橐驗(yàn)閍 a3 3a a4 4=a=a7 7；(a(a3 3) )4 4=a=a12 12； ；a a與與a a4 4不是同類項(xiàng)，不不是同類項(xiàng)，不 能合并；能合并；(a+

12、b)(a-b)=a(a+b)(a-b)=a2 2-b-b2 2，所以，所以A A，C C，D D錯誤，錯誤，B B正確正確. . 2.(-4a-1)2.(-4a-1)與與(4a-1)(4a-1)的積等于的積等于( )( ) (A)-1+16a(A)-1+16a2 2 (B)-1-8a (B)-1-8a2 2 (C)1-4a(C)1-4a2 2 (D)1-16a (D)1-16a2 2 【解析解析】選選D.(-4a-1)(4a-1)=1-16aD.(-4a-1)(4a-1)=1-16a2 2. . 3.3.已知已知a-b=1a-b=1，a+b=2 013a+b=2 013，則，則a a2 2-b

13、-b2 2的值為的值為_._. 【解析解析】因?yàn)橐驗(yàn)閍-b=1a-b=1，a+b=2 013a+b=2 013，(a+b)(a-b)=a(a+b)(a-b)=a2 2-b-b2 2，所以，所以 a a2 2-b-b2 2=(a+b)(a-b)=2 013=(a+b)(a-b)=2 0131=2 013.1=2 013. 答案：答案：2 0132 013 4.4.有三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，中間一個(gè)是有三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，中間一個(gè)是x x，則它們的積是，則它們的積是_._. 【解析解析】它們的積是它們的積是x x(x-1)(x-1)(x+1)=x(x+1)=x3 3-x.-x. 答案：答案：x x3 3-

14、x-x 5.5.計(jì)算：計(jì)算：(1)(-0.3m+0.1)(-0.3m-0.1).(1)(-0.3m+0.1)(-0.3m-0.1). (2)(x(2)(x2 2-3y)(-x-3y)(-x2 2-3y).-3y). 【解析解析】(1)(-0.3m+0.1)(-0.3m-0.1)(1)(-0.3m+0.1)(-0.3m-0.1) =(-0.3m)=(-0.3m)2 2-0.1-0.12 2=0.09m=0.09m2 2-0.01.-0.01. (2)(x(2)(x2 2-3y)(-x-3y)(-x2 2-3y)=(-3y+x-3y)=(-3y+x2 2)(-3y-x)(-3y-x2 2) ) =

15、(-3y)=(-3y)2 2-(x-(x2 2) )2 2=9y=9y2 2-x-x4 4. . 第2課時(shí) 1.1.計(jì)算下列各組算式：計(jì)算下列各組算式： 2.2.把以上各組算式中的規(guī)律用字母表示出來為：把以上各組算式中的規(guī)律用字母表示出來為： _，這一規(guī)律符合，這一規(guī)律符合_公式公式. . 【歸納歸納】利用平方差公式可以對一些猜想進(jìn)行驗(yàn)證利用平方差公式可以對一些猜想進(jìn)行驗(yàn)證. . 1515 1616 3 5_ 4 4_ ， ； 2424 2525 4 6_ 5 5_ ， ； 143143 144144 11 13_ 12 12_. ， (a+1)(a-1)=a(a+1)(a-1)=a2 2-1

16、-1平方差平方差 3.3.與平方差公式有關(guān)的混合運(yùn)算的一般步驟：與平方差公式有關(guān)的混合運(yùn)算的一般步驟： (1)(1)確定運(yùn)算順序確定運(yùn)算順序. . (2)(2)明確平方差公式中明確平方差公式中a a與與b.b. (3)(3)按運(yùn)算順序依次運(yùn)算按運(yùn)算順序依次運(yùn)算. . (4)(4)合并結(jié)果中的同類項(xiàng)合并結(jié)果中的同類項(xiàng). . 【預(yù)習(xí)思考預(yù)習(xí)思考】 什么樣的二項(xiàng)式才能逆用平方差公式寫成兩數(shù)的和與這兩數(shù)的什么樣的二項(xiàng)式才能逆用平方差公式寫成兩數(shù)的和與這兩數(shù)的 差的積？差的積？ 提示：提示：當(dāng)二項(xiàng)式表示某兩個(gè)數(shù)平方差的時(shí)候，可逆用平方差公當(dāng)二項(xiàng)式表示某兩個(gè)數(shù)平方差的時(shí)候，可逆用平方差公 式寫成兩數(shù)的和與

17、這兩數(shù)的差的積式寫成兩數(shù)的和與這兩數(shù)的差的積. . 平方差公式的應(yīng)用平方差公式的應(yīng)用 【例例】(6(6分分) )先化簡，再求值：先化簡，再求值：(b-a)(a+b)-b(b-1)(b-a)(a+b)-b(b-1)，其中，其中 a=-1,b=1.a=-1,b=1. 【規(guī)范解答規(guī)范解答】原式原式=b=b2 2-a-a2 2- -b b2 2+ +b b 2 2分分 =-a=-a2 2+ +b b. .4 4分分 當(dāng)當(dāng)a=-1a=-1，b=1b=1時(shí)，時(shí)， 原式原式=-(-1)=-(-1)2 2+ +1 1= =0 0. . 6 6分分 特別提醒：特別提醒：對于后面單項(xiàng)對于后面單項(xiàng) 式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算

18、不要弄式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算不要弄 錯了符號錯了符號. . 【互動探究互動探究】在化簡求值時(shí)，要特別注意哪些問題？在化簡求值時(shí)，要特別注意哪些問題？ 提示：提示：(1)(1)去括號時(shí)去括號時(shí), ,若括號前為負(fù)號若括號前為負(fù)號, ,要變號要變號. . (2)(2)合并同類項(xiàng)時(shí)，一定要弄清各項(xiàng)的系數(shù)合并同類項(xiàng)時(shí)，一定要弄清各項(xiàng)的系數(shù). . (3)(3)應(yīng)用平方差公式時(shí)應(yīng)用平方差公式時(shí), ,要緊抓公式的結(jié)構(gòu)特征要緊抓公式的結(jié)構(gòu)特征. . 【規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)】 平方差公式的應(yīng)用及注意事項(xiàng)平方差公式的應(yīng)用及注意事項(xiàng) 兩個(gè)應(yīng)用：兩個(gè)應(yīng)用： 1.1.利用平方差公式簡化一些數(shù)字計(jì)算利用平方差公式簡化一些數(shù)字計(jì)算.

19、. 2.2.逆用平方差公式進(jìn)行化簡、計(jì)算逆用平方差公式進(jìn)行化簡、計(jì)算. . 四點(diǎn)注意：四點(diǎn)注意： 1.1.必須符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特征必須符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特征. . 2.2.有些式子雖然不能直接應(yīng)用公式，但經(jīng)過適當(dāng)變形或變換符有些式子雖然不能直接應(yīng)用公式，但經(jīng)過適當(dāng)變形或變換符 號后可以運(yùn)用公式進(jìn)行化簡、計(jì)算號后可以運(yùn)用公式進(jìn)行化簡、計(jì)算. . 3.3.計(jì)算結(jié)果一定要注意字母的系數(shù)，指數(shù)的變化計(jì)算結(jié)果一定要注意字母的系數(shù)，指數(shù)的變化. . 4.4.在運(yùn)算過程中，有時(shí)可以反復(fù)應(yīng)用公式在運(yùn)算過程中，有時(shí)可以反復(fù)應(yīng)用公式. . 【跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練】 1.1.計(jì)算計(jì)算a a2 2-(a+1)(a-

20、1)-(a+1)(a-1)的結(jié)果是的結(jié)果是( )( ) (A)1 (B)-1 (C)2a(A)1 (B)-1 (C)2a2 2+1 (D)2a+1 (D)2a2 2-1-1 【解析解析】選選A.aA.a2 2-(a+1)(a-1)=a-(a+1)(a-1)=a2 2-(a-(a2 2-1)=a-1)=a2 2-a-a2 2+1=1.+1=1. 2.2.如圖，在邊長為如圖，在邊長為a a的正方形中裁掉一個(gè)邊長為的正方形中裁掉一個(gè)邊長為b b的小正方形的小正方形( (如如 圖圖1)1)，將剩余部分沿虛線剪開后拼接，將剩余部分沿虛線剪開后拼接( (如圖如圖2)2)，通過計(jì)算，用拼，通過計(jì)算，用拼 接

21、前后兩個(gè)圖形中陰影部分的面積可以驗(yàn)證等式接前后兩個(gè)圖形中陰影部分的面積可以驗(yàn)證等式( )( ) (A)a(A)a2 2-b-b2 2=(a+b)(a-b)=(a+b)(a-b) (B)(a+b)(B)(a+b)2 2=a=a2 2+2ab+b+2ab+b2 2 (C)(a+2b)(a-b)=a(C)(a+2b)(a-b)=a2 2+ab-2b+ab-2b2 2 (D)(a-b)(D)(a-b)2 2=a=a2 2-2ab+b-2ab+b2 2 【解析解析】選選A.A.圖圖1 1中陰影部分的面積等于兩個(gè)正方形的面積之差，中陰影部分的面積等于兩個(gè)正方形的面積之差， 即為即為a a2 2-b-b2

22、2；圖；圖2 2中陰影部分為矩形，其長為中陰影部分為矩形，其長為a+ba+b，寬為，寬為a-ba-b，則其，則其 面積為面積為(a+b)(a-b)(a+b)(a-b)，因?yàn)榍昂髢蓚€(gè)圖形中陰影部分的面積相等，因?yàn)榍昂髢蓚€(gè)圖形中陰影部分的面積相等， 所以所以a a2 2-b-b2 2=(a+b)(a-b).=(a+b)(a-b). 【變式備選變式備選】如圖，在邊長為如圖，在邊長為a a的正方形中剪去一個(gè)邊長為的正方形中剪去一個(gè)邊長為b b的的 小正方形，把剩下的部分拼成一個(gè)梯形，分別計(jì)算這兩個(gè)圖形小正方形，把剩下的部分拼成一個(gè)梯形，分別計(jì)算這兩個(gè)圖形 陰影部分的面積，可以驗(yàn)證下面的一個(gè)等式是陰影部

23、分的面積，可以驗(yàn)證下面的一個(gè)等式是( )( ) (A)(a+b)(A)(a+b)2 2=a=a2 2+2ab+b+2ab+b2 2 (B)(a-b)(B)(a-b)2 2=a=a2 2-2ab+b-2ab+b2 2 (C)a(C)a2 2-b-b2 2=(a+b)(a-b)=(a+b)(a-b) 【解析解析】選選C.C.第一個(gè)圖形的陰影部分的面積為第一個(gè)圖形的陰影部分的面積為a a2 2-b-b2 2，第二個(gè)圖，第二個(gè)圖 形是梯形，則面積是形是梯形，則面積是 所以可得所以可得 a a2 2-b-b2 2=(a+b)(a-b).=(a+b)(a-b). 22 22 1 D ababab 2 1

24、(2a2b) ababab 2 ， 3.3.計(jì)算計(jì)算2 0122 0122 2-2 011-2 0112 013=_.2 013=_. 【解析解析】2 0122 0122 2-2 011-2 0112 0132 013 =2 012=2 0122 2-(2 012-1)-(2 012-1)(2 012+1)(2 012+1) =2 012=2 0122 2-(2 012-(2 0122 2-1)=1.-1)=1. 答案：答案：1 1 4.4.若若m m2 2-n-n2 2=6=6，且，且m-n=3m-n=3，則，則m+n=_.m+n=_. 【解析解析】因?yàn)橐驗(yàn)閙 m2 2-n-n2 2=(m+

25、n)(m-n)=3(m+n)=6=(m+n)(m-n)=3(m+n)=6，所以，所以m+n=2.m+n=2. 答案：答案：2 2 5.5.對于任意一個(gè)正整數(shù)對于任意一個(gè)正整數(shù)n n，整式，整式A=(4n+1)(4n-1)-(n+1)(n-1)A=(4n+1)(4n-1)-(n+1)(n-1) 能被能被1515整除嗎？請說明理由整除嗎？請說明理由. . 【解析解析】能能. .理由如下：理由如下： A=(4n)A=(4n)2 2-1-(n-1-(n2 2-1)=16n-1)=16n2 2-1-n-1-n2 2+1=15n+1=15n2 2. . 因?yàn)橐驗(yàn)閚 n是正整數(shù)，所以是正整數(shù)，所以15n15

26、n2 2一定能被一定能被1515整除整除. . 1.1.如圖所示，在邊長為如圖所示，在邊長為a a的正方形中挖去一個(gè)邊長為的正方形中挖去一個(gè)邊長為b b的小正方的小正方 形形(a(ab)b)，再把剩余的部分剪拼成一個(gè)矩形，通過計(jì)算圖形，再把剩余的部分剪拼成一個(gè)矩形，通過計(jì)算圖形( (陰陰 影部分的面積影部分的面積) )，驗(yàn)證了一個(gè)等式是，驗(yàn)證了一個(gè)等式是( )( ) (A)a(A)a2 2-b-b2 2=(a+b)(a-b)=(a+b)(a-b) (B)(a+b)(B)(a+b)2 2=a=a2 2+2ab+b+2ab+b2 2 (C)(a-b)(C)(a-b)2 2=a=a2 2-2ab+b-2ab+b2 2 (D)(a+2b)(a-b)=a(D)(a+2b)(a-b)=a2 2+ab-2b+ab-2b2 2 【解析解析】選選A.A.由題意得：由題意得：a a2 2-b-b2 2=(a+b)(a-b).=(a+b)(a-b). 2.2.若若a a，b b，c c為一個(gè)三角形的三邊，則代數(shù)式為一